位置エネルギー

In this section the relationship between work and potential energy is presented in more detail. The line integral that defines work along curve C takes a special form if the force F is related to a scalar field U′(x) so that $${\displaystyle \mathbf {F} ={\nabla U'}=\left({\frac {\partial U'}{\partial x}},{\frac {\partial U'}{\partial y}},{\frac {\partial U'}{\partial z}}\right).}$$ This means that the units of U′ must be this case, work along the curve is given by $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{C}\nabla U'\cdot d\mathbf {x} ,}$$ which can be evaluated using the gradient theorem to obtain $${\displaystyle W=U'(\mathbf {x} _{\text{B}})-U'(\mathbf {x} _{\text{A}}).}$$ This shows that when forces are derivable from a scalar field, the work of those forces along a curve C is computed by evaluating the scalar field at the start point A and the end point B of the curve. This means the work integral does not depend on the path between A and B and is said to be independent of the path.

Potential energy U = −U′(x) is traditionally defined as the negative of this scalar field so that work by the force field decreases potential energy, that is $${\displaystyle W=U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}}).}$$

In this case, the application of the del operator to the work function yields, $${\displaystyle {\nabla W}=-{\nabla U}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,}$$ and the force F is said to be "derivable from a potential".^[6] This also necessarily implies that F must be a conservative vector field. The potential U defines a force F at every point x in space, so the set of forces is called a force field.

Given a force field F(x), evaluation of the work integral using the gradient theorem can be used to find the scalar function associated with potential energy. This is done by introducing a parameterized curve γ(t) = r(t) from γ(a) = A to γ(b) = B, and computing, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \Phi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \Phi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt,\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\Phi (\mathbf {r} (t))dt=\Phi (\mathbf {r} (b))-\Phi (\mathbf {r} (a))=\Phi \left(\mathbf {x} _{B}\right)-\Phi \left(\mathbf {x} _{A}\right).\end{aligned}}}$$

For the force field F, let v = dr/dt, then the gradient theorem yields, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt,\\&=-\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}U(\mathbf {r} (t))\,dt=U(\mathbf {x} _{A})-U(\mathbf {x} _{B}).\end{aligned}}}$$

The power applied to a body by a force field is obtained from the gradient of the work, or potential, in the direction of the velocity v of the point of application, that is $${\displaystyle P(t)=-{\nabla U}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

Examples of work that can be computed from potential functions are gravity and spring forces.^[7]

質量Mとmの2つの物体が距離rだけ離れている場合の重力は、ニュートンの万有引力の法則によって与えられる。$${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$は、 Mからmに向かう長さ1のベクトルであり、Gは重力定数である。

質量m が速度vで運動するとすると、この質量が位置r ( t ₁ )からr ( t ₂ )へ 移動する際の重力による仕事は次のように与えられる。 $${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}$$ 質量mの位置と速度は次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{\text{r}}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\text{t}},}$$ ここで、e _rとe _tは、 Mからmへのベクトルに対して方向付けられた動径および接線方向の単位ベクトルです。これを使用して、重力の仕事の式を次のように簡略化します。 $${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{\text{r}})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{\text{r}}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\text{t}})\,dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$$

この計算では、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$$

重力場の強さは場所によって変化します。しかし、重力場の発生源からの距離に比べて距離の変化が小さい場合、この重力場の強さの変化は無視できるほど小さく、特定の物体に働く重力は一定であると仮定できます。例えば、地球の表面付近では、重力加速度は一定のg = 9.8 m/s² ^（標準重力）であると仮定します。この場合、仕事の式W = Fdと重力の式を用いて、 重力ポテンシャルエネルギーの簡単な式を導出できます。$${\displaystyle W_{\text{F}}=-\Delta U_{\text{F}}.}$$

持ち上げられた物体が持つ重力ポテンシャルエネルギーの量は、それを持ち上げるために重力に逆らって行われた仕事に等しい。行われた仕事は、物体を上方に動かすのに必要な力と、移動した垂直距離の積に等しい（W = Fdを思い出してください）。一定速度で移動している間に必要な上向きの力は、物体の重さmgに等しいので、高さhまで持ち上げるのに行われた仕事は、積mghになります。したがって、質量、重力、高度のみを考慮すると、式は次のようになります。^{[ 8 ]}$${\displaystyle U=mgh}$$ ここで、Uは地球表面にある物体の位置エネルギー、mは物体の質量、gは重力加速度、hは物体の高度である。^{[ 9 ]}

したがって、電位差は $${\displaystyle \Delta U=mg\Delta h.}$$

しかし、距離が大きく変化すると、 gが一定であるという近似はもはや有効ではなくなり、重力ポテンシャルエネルギーを決定するには、微積分と仕事の一般的な数学的定義を使用する必要があります。ポテンシャルエネルギーを計算するには、ニュートンの万有引力の法則で与えられる重力の大きさを、 2つの物体間の距離rに関して積分することができます。この定義を用いると、ニュートンの万有引力定数_Gを使用して距離rにある質量m1とM2_の系の重力ポテンシャルエネルギーは次のようになります 。$${\displaystyle U=-G{\frac {m_{1}M_{2}}{r}}+K,}$$ ここで、Kは電位を測定する基準点の選択によって決まる任意の定数です。K = 0（つまり無限遠点に対する）という慣例を選択すると、Uが負になるという代償はあるものの、計算は簡単になります。これが物理的に妥当である理由については、後述します。

Uのこの式が与えられれば、 n個の物体からなる系の全ポテンシャルエネルギーは、すべての物体について、合計することによって求められる。${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$2つの物体のペア、すなわち、それら2つの物体からなる系のポテンシャルエネルギー。

物体の系を、物体を構成する小さな粒子の集合とみなし、前述の式を粒子レベルに適用すると、負の重力結合エネルギーが得られます。このポテンシャルエネルギーは、各物体の負の重力結合エネルギーも含むため、物体の系全体のポテンシャルエネルギーよりも強い負の値となります。物体の系全体のポテンシャルエネルギーは、物体同士を無限遠まで分離するために必要なエネルギーの負の値であり、重力結合エネルギーは、すべての粒子を互いに無限遠まで分離するために必要なエネルギーです。 $${\displaystyle U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)}$$ したがって、 $${\displaystyle U=-m\sum G{\frac {M}{r}},}$$

すべての位置エネルギーと同様に、ほとんどの物理的目的においては重力ポテンシャルエネルギーの差のみが重要であり、ゼロ点の選択は任意である。ある特定の有限rを別の有限rよりも優先する合理的な基準がないことを考えると、 Uがゼロになる距離には、次の2つの合理的な選択肢しかないように思われる。${\displaystyle r=0}$そして${\displaystyle r=\infty }$選択${\displaystyle U=0}$無限遠では奇妙に思えるかもしれないし、重力エネルギーが常に負になるという結果は直感に反するように思えるかもしれないが、この選択によって重力ポテンシャルエネルギーの値は、負ではあるものの有限になる。

特異点​${\displaystyle r=0}$重力ポテンシャルエネルギーの式では、他に妥当と思われる代替案は、${\displaystyle U=0}$のために⁠${\displaystyle r=0}$⁠、その結果、位置エネルギーは正になりますが、 rのすべての非ゼロ値に対して無限大になり、位置エネルギーの和や差を含む計算は実数系で可能な範囲を超えてしまいます。物理学者は計算で無限大を嫌うため、また実際にはr は常に非ゼロであるため、${\displaystyle U=0}$無限遠の方がはるかに好ましい選択肢である。たとえ重力井戸における負のエネルギーという考え方が最初は奇妙に思えるとしても。

重力エネルギーの負の値には、宇宙の総エネルギーを意味のある形で考慮できる宇宙論的計算においてより妥当に見えるような、より深い意味合いもあります。これについてはインフレーション理論を参照してください。 ^{[ 10 ]}

重力ポテンシャルエネルギーには、揚水式水力発電をはじめとする多くの実用的な用途があります。例えば、ウェールズのディノルウィグには、2つの湖があり、一方はもう一方よりも標高が高い場所にあります。余剰電力が必要ない時（つまり比較的安価な時）には、水を高い方の湖に汲み上げ、ポンプを動かす電気エネルギーを重力ポテンシャルエネルギーに変換します。電力需要がピークに達すると、水は発電機のタービンを通って流れ戻り、ポテンシャルエネルギーを運動エネルギーに変換し、さらに電気エネルギーに変換します。このプロセスは完全に効率的ではなく、余剰電力から得られた元のエネルギーの一部は摩擦によって失われます。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

重力による位置エネルギーは、落下する重りによって機構が作動する時計の動力源としても利用されている。

また、エレベーター、クレーン、または上げ下げ窓を持ち上げるためのカウンターウェイト にも使用されます。

ジェットコースターは、位置エネルギーを楽しく利用する手段の一つです。チェーンを使って車両を傾斜面を登らせ（重力による位置エネルギーを蓄積させ）、落下する際にそのエネルギーを運動エネルギーに変換する仕組みになっています。

もう一つの実用的な用途は、自動車、トラック、鉄道列車、自転車、飛行機、パイプライン内の流体などの輸送において、重力ポテンシャルエネルギーを利用して下り坂を下る（おそらく惰性で進む）ことです。場合によっては、下り坂のポテンシャルエネルギーから得られる運動エネルギーを使用して、次の勾配を登り始めることができます。これは、道路が起伏していて頻繁に窪みがある場合に起こります。蓄えられたエネルギー（より高い位置に移動された鉄道車両の形）を、電力網が必要とするときに電気エネルギーに変換する商業化は、米国で先進鉄道エネルギー貯蔵（ARES）と呼ばれるシステムで行われています。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

空間内の2つの物体間の静電ポテンシャルエネルギーは、電荷Qが別の電荷qに及ぼす力から得られ、それは次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{e}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$はQからqに向かう長さ 1 のベクトルであり、ε _0は真空の誘電率です。

物体の電荷が静止していると仮定できる場合、その物体は他の帯電物体との相対的な位置関係によって位置エネルギーを持ちます。静電ポテンシャルエネルギーとは、電場中の（静止した）帯電粒子のエネルギーのことです。これは、物体を無限遠から現在の位置まで移動させるのに必要な仕事量から、物体に作用する非電気的な力を調整した値として定義されます。近くに別の帯電物体が存在する場合、このエネルギーは一般的にゼロにはなりません。

静電場内の任意の 点Aから点Bへqを移動させるのに必要な仕事Wは、次式で与えられる。$${\displaystyle \Delta U_{AB}({\mathbf {r} })=-\int _{A}^{B}\mathbf {F_{e}} \cdot d\mathbf {r} }$$ 通常はジュール（J）で表される。関連する量として電位（一般的には電圧（V ）で表される）があり、これは単位電荷あたりの電気ポテンシャルエネルギーに等しい。

磁気モーメントのエネルギー${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$外部から生成された磁場 B では、Bは位置エネルギーを持つ^{[ 19 ]}$${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

磁場中の 磁化Mは$${\displaystyle U=-{\frac {1}{2}}\int \mathbf {M} \cdot \mathbf {B} \,dV,}$$ ここで、積分は全空間にわたって行うことができ、あるいは同等に、Mがゼロでない場合にも行うことができます。^{[ 20 ]} 磁気ポテンシャルエネルギーは、磁性体間の距離だけでなく、磁場内でのそれらの物質の向き、つまり整列にも関係するエネルギーの形態です。たとえば、コンパスの針は、地球の磁場の北極と南極に整列しているときに磁気ポテンシャルエネルギーが最も低くなります。針が外部の力によって動かされると、地球の磁場によって針の磁気双極子にトルクが加えられ、針は整列に戻ります。針の磁気ポテンシャルエネルギーは、その磁場が地球の磁場と同じ方向にあるときに最も高くなります。2 つの磁石は、互いとそれらの間の距離に関連してポテンシャルエネルギーを持ちますが、これはそれらの向きにも依存します。反対の極が離されている場合、ポテンシャルエネルギーは離れているほど高くなり、近いほど低くなります。逆に、同じ極は、押し付けられるとポテンシャルエネルギーが最も高くなり、離れると最も低くなります。^{[ 21 ] [ 22 ]}