デデキントグループ

群論において、デデキント群は、 Gのすべての部分群が正規となるような群 Gである。すべてのアーベル群はデデキント群である。非アーベルデデキント群はハミルトン群と呼ばれる。^[1]

ハミルトン群の最もよく知られた（そして最も小さい）例は、 Q ₈で表される 8 次四元数群です。デデキントとベールは、 （それぞれ有限次と無限次の場合に）すべてのハミルトン群が形式G = Q ₈ × B × Dの直積であることを示しました。ここで、B は基本アーベル 2 群であり、D はすべての要素が奇数次である 捩れアーベル群です。

デデキント群は、(Dedekind 1897) でデデキント群を調査し、(有限群に対する) 上記の構造定理の一種を証明したリチャード・デデキントにちなんで名付けられました。彼は、非可換群を、四元数の発見者であるウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名付けました。

1898 年、ジョージ・ミラーはハミルトン群の構造をその位数とその部分群の位数の観点から説明しました。たとえば、彼は「位数 2 ^aのハミルトン群には、 2 ^{2 a − 6 個}の四元数群が部分群として存在する」ことを示しています。2005 年に Horvatら^{[2] は}この構造を使用して、任意の位数n = 2 ^e o ( oは奇数) のハミルトン群の数を数えました。e < 3 の場合、位数nのハミルトン群は存在しませんが、それ以外の場合は位数oのアーベル群と同じ数だけ存在します。

• リチャード・デデキント(1897)、「Ueber Gruppen、deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind」、Mathematische Annalen、48 (4): 548–561、doi :10.1007/BF01447922、ISSN  0025-5831、JFM  28.0129.03、MR  1510943、S2CID  119992274。
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