一般相対性理論の代替

一般相対性理論に代わるものとして、アインシュタインの一般相対性理論と競合しながら重力現象を記述しようとする物理理論がある。理想的な重力理論を構築しようとする試みは数多く行われてきた。^[1]

これらの試みは、その範囲に基づいて 4 つの大まかなカテゴリに分けることができます。この記事では、量子力学や力の統一を伴わない、一般相対性理論の直接的な代替案について説明します。量子力学の原理を使用して理論を構築しようとする他の理論は、量子化重力理論として知られています。3 番目に、重力と他の力を同時に説明しようとする理論があります。これらは、古典的統一場理論として知られています。最後に、最も野心的な理論は、重力を量子力学的な用語で表現し、力を統一しようとするものであり、これらは万物の理論と呼ばれています。

一般相対性理論に代わるこれらの理論はどれも広く受け入れられていません。一般相対性理論は多くのテストに耐え、^{[2] [3]}これまでのすべての観測と一致しています。対照的に、初期の代替理論の多くは決定的に反証されています。しかし、重力の代替理論のいくつかは少数の物理学者によって支持されており、このテーマは理論物理学における熱心な研究の対象であり続けています。

${\displaystyle c\;}$は光速、は万有引力定数です。「幾何学的変数」は使用されません。 ${\displaystyle G\;}$

ラテンインデックスは 1 から 3、ギリシャインデックスは 0 から 3 です。アインシュタインの加算規則が使用されます。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$はミンコフスキー計量です。はテンソルで、通常は計量テンソルです。 これらはシグネチャ(−,+,+,+) を持ちます。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

偏微分はまたは と書きます。共変微分はまたは と書きます。 ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

^{他の方法との比較のために、一般相対性理論[4] [5]}の式は以下のとおりです。

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,}$

これは次のようにも書ける。

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.}$

一般相対性理論におけるアインシュタイン-ヒルベルト作用は次のようになります。

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

ここで、はニュートンの万有引力定数、は空間のリッチ曲率、は質量による 作用です。${\displaystyle G\,}$${\displaystyle R=R_{\mu}^{~\mu}\,}$${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$${\displaystyle S_{m}\,}$

一般相対性理論はテンソル理論であり、方程式はすべてテンソルを含みます。一方、ノルドストロームの理論は、重力場がスカラーであるため、スカラー理論です。提案されている他の代替案には、一般相対性理論のテンソルに加えてスカラー場を含むスカラーテンソル理論があり、ベクトル場も含む他の変種も最近開発されています。

重力の理論は、大まかにいくつかのカテゴリに分類できます。ここで説明する理論のほとんどには、次のような特徴があります。

• 「作用」（作用の概念に基づく変分原理である最小作用の原理を参照）
• ラグランジアン密度
• メトリック​

理論が重力のラグランジアン密度を持つ場合、たとえば、作用の重力部分はその積分です。 ${\displaystyle L\,}$${\displaystyle S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$。

この式では、直交座標系を使用する場合、空間無限遠に が使われるのが一般的ですが、必須ではありません。たとえば、アインシュタイン-ヒルベルト作用では、 ${\displaystyle g=-1\,}$

${\displaystyle L\,\propto \,R}$

ここで、R はスカラー曲率、つまり空間の曲率の尺度 です。

この記事で説明されている理論のほとんどすべてにアクションがあります。これは、エネルギー、運動量、角運動量の必要な保存則が自動的に組み込まれることを保証する最も効率的な既知の方法です。ただし、これらの保存則に違反するアクションを構築するのは簡単です。標準的な方法は、必要な保存則を持つシステムを構築する別の方法を提供しますが、このアプローチは実装がより面倒です。^{[6] 1983 年のオリジナルの}MONDバージョンにはアクションがありませんでした。

いくつかの理論は作用を持ちますが、ラグランジアン密度を持ちません。良い例はホワイトヘッド^[7]で、そこでの作用は非局所的と呼ばれます。

重力理論は、次の 2 つの条件を満たす数学的表現が与えられる場合にのみ、「計量理論」である:
条件 1 : 特殊相対性理論および一般相対性理論の通常の方法で、固有長と固有時間の測定を支配する、シグネチャ(-, +, +, +) の対称計量テンソル が存在する:${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

ここで、インデックスとの合計があります。条件 2 : 応力を受けた物質と重力の作用を受ける場は、次の式に従って応答します。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\ μ }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

ここで、 はすべての物質および非重力場に対する応力-エネルギーテンソルであり、 は計量に関する共変微分であり、 はクリストッフェル記号です。応力-エネルギーテンソルは、エネルギー条件も満たす必要があります。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

メトリック理論には、次のものが含まれます (最も単純なものから最も複雑なものまで)。

• スカラー場理論（共形平坦理論と共形平坦空間スライスを持つ層状理論を含む）
  • バーグマン
  • コールマン
  • アインシュタイン（1912）
  • アインシュタイン・フォッカー理論
  • リー–ライトマン– Ni
  • リトルウッド
  • ニ
  • ノルドストロームの重力理論（最初に開発された計量重力理論）
  • ペイジ・タッパー
  • パパペトルー
  • ローゼン（1971）
  • ウィットロウ・モルダック
  • ユルマズ重力理論（理論から事象の地平線を排除しようとした。）
• 準線型理論（線型固定ゲージを含む）
  • ボリーニ・ジャンビアージ・ティオムノ
  • デセール・ローラン
  • ホワイトヘッドの重力理論（遅延ポテンシャルのみを使用するように意図されている）
• テンソル理論
  • アインシュタインの一般相対性理論
  • 4次の重力（ラグランジアンがリーマン曲率テンソルの2次の収縮に依存できるようにする）
  • f(R) 重力（ラグランジアンがリッチスカラーの高次の累乗に依存できるようにする）
  • ガウス・ボネ重力
  • ラブロック重力理論（ラグランジアンがリーマン曲率テンソルの高次収縮に依存できるようにする）
  • 無限微分重力
• スカラー-テンソル理論
  • ベケンシュタイン
  • ベルクマン・ワゴナー
  • ブランス・ディッケ理論（一般相対性理論の最もよく知られた代替理論で、マッハの原理をより適切に適用することを意図している）
  • ヨルダン
  • ノルドヴェット
  • ティリ
  • カメレオン
  • プレッシャロン
• ベクトルテンソル理論
  • ヘリングス・ノルドヴェット
  • ウィル–ノルドヴェット
• 二元論理論
  • ライトマン–リー
  • ラスタル
  • ローゼン（1975）
• その他の計量理論

（下記の現代理論のセクションを参照）

非計量理論には以下が含まれる

• ベリンファンテ・スウィハート
• アインシュタイン・カルタン理論（スピン軌道角運動量の交換を扱うことを意図）
• クスタンヘイモ（1967）
• テレパラレリズム
• ゲージ理論重力

ここでマッハの原理について一言触れておくのは適切である。なぜなら、これらの理論のいくつかはマッハの原理に依存しており（例えばホワイトヘッド^[7]）、多くの理論がマッハの原理について触れている（例えばアインシュタイン-グロスマン^[8] 、ブランス-ディッケ^[9]）。マッハの原理はニュートンとアインシュタインの中間に位置するものと考えられる。それは次のようになる：^[10]

• ニュートン:絶対空間と絶対時間。
• マッハ: 基準フレームは宇宙における物質の分布から生まれます。
• アインシュタイン：基準フレームは存在しません。

17 世紀に発表された当時、アイザック ニュートンの重力理論は最も正確な重力理論でした。それ以来、さまざまな代替理論が提案されました。1915年に一般相対性理論が定式化される以前の理論については、重力理論の歴史で説明されています。

このセクションでは、一般相対性理論の発表後、銀河の回転の観測によって「暗黒物質」の仮説が生ま​​れる前に発表された一般相対性理論に代わる仮説を取り上げます。ここで検討されているものには以下のものが含まれます（Will ^{[11] [12]} Lang ^{[13] [14]}を参照）。

これらの理論は、特に断りがない限り、宇宙定数や追加のスカラーポテンシャルやベクトルポテンシャルなしでここに提示されています。その理由は単純で、超新星宇宙論プロジェクトと高 Z 超新星探索チームによる超新星観測以前には、これらのいずれかまたは両方の必要性が認識されていなかったためです。宇宙定数またはクインテセンスを理論に追加する方法については、現代の理論で説明されています (アインシュタイン - ヒルベルト作用も参照)。

^{ノルドストローム[50] [51]}のスカラー場理論については既に議論した。リトルウッド^[23]、バーグマン^[25] 、ユルマズ^[28] 、ホイットロウとモルダック^{[30] [31]}、ペイジとタッパー^[35]の理論は、ペイジとタッパーが与えた一般式に従う。

^{ノルドストローム[51]}を除くこれらすべてを議論しているペイジとタッパー^[35]によれば、一般的なスカラー場理論は最小作用の原理から来ている。

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

ここでスカラー場は、

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

cはに依存する場合と依存しない場合があります。 ${\displaystyle \varphi}$

ノルドストロームでは、^[50]

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

^{リトルウッド[23]}とバーグマン^[25]では、

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

WhitrowとMorduchでは、^[30]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

WhitrowとMorduchでは、^[31]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

ペイジとタッパーの事件では、^[35]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

PageとTupper ^[35]は、のときYilmazの理論^[28]を2次の式に一致させている。 ${\displaystyle \alpha =-7/2}$

cが一定の場合、重力による光の偏向はゼロでなければなりません。変数 c と光の偏向ゼロはどちらも実験と矛盾するため、重力のスカラー理論が成功する見込みは非常に低いと思われます。さらに、光の偏向が正しくなるようにスカラー理論のパラメータが調整されると、重力赤方偏移は間違っている可能性が高くなります。

Ni ^[12]はいくつかの理論をまとめ、さらに2つの理論を生み出した。最初の理論では、既存の特殊相対性理論の時空と世界時間の座標が物質と非重力場と作用してスカラー場を生成する。このスカラー場は他のすべてのものと一緒に作用して計量を生成する。

アクションは次のとおりです。

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

ミスナーら^[52]は、この用語を使わずに与えている。は物質作用である。 ${\displaystyle \varphi R}$${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi } +e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

tは世界時座標です。この理論は自己矛盾がなく完全です。しかし、宇宙における太陽系の運動は実験と重大な矛盾を生じます。

Niの第二理論^[12]には、 2つの任意の関数とがあり、それらは次のように計量と関連している。 ${\displaystyle f(\varphi )}$${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ni ^[12]はRosen ^[40]を引用して、 2つのスカラー場があり、それらは計量と次のように関係していると述べています。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

パパペトロウ^[21]によれば、ラグランジアン重力部分は次のようになる。

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

パパペトロウ^[22]には2番目のスカラー場が存在する。ラグランジアン重力部分は次のようになる。 ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

双計量理論には、通常のテンソル計量とミンコフスキー計量（または定曲率計量）の両方が含まれ、他のスカラー場またはベクトル場が含まれる場合もあります。

ローゼン^[53]（1975）バイメトリック理論その作用は：

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

ライトマン・リー^[45]は、ベリンファンテとスウィハートの非計量理論^{[26] [27]}に基づいて計量理論を展開した。その結果はBSLL理論として知られている。テンソル場、、および2つの定数とが与えられた場合、作用は次のようになる。 ${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle a\,}$${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

応力エネルギーテンソルは次のように表されます。

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

ラスタール^[49]では、計量はミンコフスキー計量とベクトル場の代数関数である。^[54] 作用は次の通りである。

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}}$

どこ

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ そして ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

（およびの場の方程式についてはWill ^[11]を参照）。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$${\displaystyle K_{\mu }\;}$

ホワイトヘッド^[7]では、物理的計量はミンコフスキー計量と物質変数から代数的に構築されるため（シンジによって） 、スカラー場さえ持たない。構築は次のようになる。 ${\displaystyle g\;}$${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

ここで、上付き文字（−）は、視野点の過去の光円錐に沿って評価された量を示し、 ${\displaystyle \eta \;}$${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

それにもかかわらず、「長さの収縮」仮説を用いた（非計量理論からの）計量構築は批判されている。^[55]

デザーとローラン^[34]とボリーニ・ジャンビアジ・ティオムノ^[37]は線形固定ゲージ理論である。量子場理論からのアプローチを採用し、ミンコフスキー時空とスピン2テンソル場（すなわち重力子）のゲージ不変作用を組み合わせて定義する。 ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

アクションは次のとおりです。

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

この部分的なゲージ不変性に関連するビアンキ恒等式は誤りです。線形固定ゲージ理論は、 に結合する補助的な重力場を導入して重力作用のゲージ不変性を破ることで、この問題を解決しようとします。 ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

1923年にG.テンプルが示唆したように、ミンコフスキー背景をド・ジッター時空または反ド・ジッター時空に変更するという単純な方法によって、準線型理論に宇宙定数を導入することができる。これを行う方法に関するテンプルの提案は、1955年にCBレイナーによって批判された。^[56]

アインシュタインの一般相対性理論は、1 つの対称テンソル場 (計量テンソル)のみに基づく、最も単純でもっともらしい重力理論です。その他の理論としては、スタロビンスキー (R+R^2) 重力、ガウス・ボネ重力、f(R) 重力、ラブロック重力理論などがあります。

アレクセイ・スタロビンスキーによって提案されたスタロビンスキー重力にはラグランジュ関数があります

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

そして、スタロビンスキーインフレーションの形でインフレーションを説明するために使われてきました。ここに定数があります。 ${\displaystyle M}$

ガウス・ボネ重力は

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

ここで、余分な項の係数は、作用が 4 つの時空次元における一般相対論に還元されるように選択され、余分な項はより多くの次元が導入された場合にのみ非自明になります。

ガウス・ボネ重力の一般化であるステッレの4次微分重力は、次のような作用を持つ。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

f(R)重力は作用する

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

これは、それぞれがリッチ スカラーの異なる関数によって定義される一連の理論です。スタロビンスキー重力は実際には理論です。 ${\displaystyle f(R)}$

無限微分重力は重力の共変理論であり、曲率の2乗、ねじれなし、パリティ不変である。^[57]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

そして

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

これによって、質量のないスピン -2 およびスピン -0 成分のみが、ミンコフスキー背景の周りの重力子伝播関数内を伝播することが確実になります。作用はスケール を超えると非局所的になり、非局所的スケール 未満のエネルギーでは、赤外線で一般相対性理論に戻ります。紫外線領域では、非局所的スケール 未満の距離と時間スケールで、重力相互作用は点状の特異点を解決するのに十分弱まります。これは、シュワルツシルト特異点が重力の無限微分理論で潜在的に解決できることを意味します。 ${\displaystyle M_{s}}$${\displaystyle M_{s}}$${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

ラブロックの重力は作用する

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

一般相対性理論の一般化として考えることができます。

これらはすべて、自由パラメータを持たない一般相対論とは対照的に、少なくとも 1 つの自由パラメータを含みます。

通常は重力のスカラー-テンソル理論とはみなされないが、カルツァ-クラインの5×5計量は4×4計量と単一のスカラーに縮小される。したがって、5番目の要素が電磁場ではなくスカラー重力場として扱われる場合、カルツァ-クラインは重力のスカラー-テンソル理論の先駆者とみなすことができる。これはティリーによって認識された。^[20]

スカラー-テンソル理論には、Thiry、^[20] Jordan、^[24] Brans and Dicke、^[9] Bergman、^[36] Nordtveldt (1970)、Wagoner、^[39] Bekenstein ^[47]、Barker ^{[48]などがある。}

この動作はラグランジアン積分に基づいています。 ${\displaystyle S\;}$${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

ここで、 は、異なるスカラー-テンソル理論ごとに異なる無次元関数です。 この関数は、一般相対性理論における宇宙定数と同じ役割を果たします。は、 の現在の値を固定する無次元正規化定数です。 スカラーに対して任意のポテンシャルを追加できます。 ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle G_{N}\;}$${\displaystyle G\;}$

完全なバージョンはバーグマン^{[36]とワゴナー[39]}に保存されています。特別なケースは次のとおりです。

ノルドヴェット、^[38] ${\displaystyle \lambda =0\;}$

当時はいずれにせよゼロであると考えられていた ため、これは大きな差とはみなされなかったでしょう。より現代的な研究における宇宙定数の役割については、宇宙定数の項で説明します。${\displaystyle \lambda }$

Brans-Dicke、^[9] は定数です ${\displaystyle \omega \;}$

ベッケンシュタイン^[47]可変質量理論宇宙論的解から求められる パラメータとから始めて 関数を決定し、${\displaystyle r\;}$${\displaystyle q\;}$${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

バーカー^[48]定G理論

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

の調整により、スカラーテンソル理論は、現在の時代における の極限で一般相対性理論に近づくことができます。ただし、初期宇宙の一般相対性理論とは大きな違いがある可能性があります。 ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

一般相対性理論が実験によって確認されている限り、一般的なスカラー-テンソル理論（ブランス-ディッケ^[9]を含む）を完全に否定することはできませんが、実験によって一般相対性理論がより正確に確認され続けるにつれて、予測が一般相対性理論の予測に近づくようにパラメータを微調整する必要があります。

上記の例は、計量テンソルとスカラー場から構築され、4次元空間における2次の運動方程式につながる最も一般的なラグランジアンであるホーンデスキーの理論^{[58] [59]}の特殊なケースです。ホーンデスキーを超える実行可能な理論（より高次の運動方程式を含む）が存在することが示されている。^{[60] [61] [62]}

始める前に、ウィル (2001) は次のように言っています。「1970 年代と 1980 年代に開発された多くの代替計量理論は、そのような理論が存在することを証明するため、または特定の特性を説明するために考案された「架空の」理論と見なすことができます。これらの理論のうち、たとえば場の理論や素粒子物理学の観点から十分に根拠のある理論と見なせるものはほとんどありません。ウィル、ノルドヴェット、ヘリングスが研究したベクトル テンソル理論がその例です。」

ヘリングスとノルドヴェット^[44]とウィルとノルドヴェット^[43]はどちらもベクトルテンソル理論である。計量テンソルに加えて、時間的ベクトル場が存在する。重力作用は次のようになる。 ${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

定数と ${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$（およびの場の方程式についてはWill ^[11]を参照）${\displaystyle T^{\mu \nu }}$${\displaystyle K_{\mu }.}$

ウィルとノルドヴェット^[43]は、

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

ヘリングスとノルドヴェット^[44]は特別なケースであり、

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

これらのベクトルテンソル理論は半保存的であり、つまり、運動量と角運動量の保存則を満たしますが、優先フレーム効果を持つ可能性があります。これらが一般相対性理論に還元されると、一般相対性理論が実験によって確認される限り、一般ベクトルテンソル理論が排除されることはありません。 ${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

他にも計量理論が提案されているが、ベッケンシュタイン^[63]の理論については現代理論の項で議論されている。

カルタンの理論は、非計量理論であることと、非常に古い理論であることの両方で特に興味深い。カルタンの理論の地位は不確かである。ウィル^{[11] は、}すべての非計量理論はアインシュタインの等価原理によって排除されると主張している。ウィル (2001) は、非計量理論をアインシュタインの等価原理に照らしてテストするための実験基準を説明することで、その主張を和らげている。ミスナーら^[52]は、カルタンの理論は、その日までのすべての実験テストを生き延びた唯一の非計量理論であると主張し、トゥリシェフ^{[64] は、カルタンの理論を、その日までのすべての実験テストを生き延びた数少ない理論の 1 つとして挙げている。以下は、トラウトマン[65]}によって言い直されたカルタンの理論の簡単な概要である。

カルタン^{[15] [16]}は、アインシュタインの重力理論の単純な一般化を提案した。彼は、計量テンソルと、計量と互換性があるが必ずしも対称ではない線形「接続」を持つ時空のモデルを提案した。接続のねじれテンソルは、固有角運動量の密度に関連している。カルタンとは独立して、同様のアイデアが1958年から1966年にかけてシアマ、キブルによって提唱され、1976年にヘールらによるレビューで最高潮に達した。

元の説明は微分形式で行われていましたが、この記事ではより馴染みのあるテンソルという言語に置き換えています (正確さが失われる恐れがあります)。一般相対論と同様に、ラグランジアンは質量のない部分と質量のある部分から構成されています。質量のない部分のラグランジアンは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

は線形接続です。は、 を伴う完全に反対称な擬テンソル (レヴィ-チヴィタ記号) であり、 は通常どおり計量テンソルです。線形接続が計量であると仮定することで、非計量理論に固有の不要な自由度を取り除くことができます。 応力エネルギーテンソルは次のように計算されます。 ${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

空間の曲率はリーマン的ではありませんが、リーマン時空上ではラグランジアンは一般相対論のラグランジアンに還元されます。

^{BelinfanteとSwihart [26] [27]}の非計量理論のいくつかの方程式は、すでに双計量理論のセクションで議論されている。

明確に非計量的な理論はゲージ理論重力によって与えられ、これは場の方程式の計量を平坦な時空における一対のゲージ場に置き換える。一方では、この理論はアインシュタイン-カルタン理論（またはスピン消失の極限における一般相対性理論）と実質的に等価であり、主にその全体解の性質が異なるため、非常に保守的である。他方では、微分幾何学を幾何代数に置き換えるため、急進的である。

このセクションには、銀河の回転の観測によって「暗黒物質」の仮説が生ま​​れた後に発表された、一般相対性理論に代わる理論が含まれています。これらの理論を比較した信頼できるリストは知られていません。ここで検討されている理論には、ベケンシュタイン、^[63]モファット、^[66]モファット、^[67]モファットなどがあります。^{[68] [69]}これらの理論は、宇宙定数または追加されたスカラーまたはベクトルポテンシャルとともに提示されています。

一般相対性理論に代わる最近の理論の動機は、ほとんどすべて宇宙論的なものであり、「インフレーション」、「暗黒物質」、「暗黒エネルギー」などの概念と関連しているか、またはこれらに取って代わるものである。基本的な考え方は、重力は現時点においては一般相対性理論と一致するが、初期の宇宙ではまったく異なっていた可能性があるというものである。

1980 年代、物理学界では、当時のビッグバン シナリオには地平線問題や、クォークが最初に形成された初期の宇宙にはクォークを 1 つも収容できるほどの空間がなかったという観察など、いくつかの問題が内在しているという認識が徐々に広まりつつありました。インフレーション理論は、これらの困難を克服するために開発されました。もう 1 つの選択肢は、一般相対性理論に代わる、初期宇宙では光速が速かったという理論を構築することでした。銀河の予期せぬ回転曲線の発見は、誰もが驚きました。宇宙には私たちが認識しているよりも多くの質量があるのでしょうか、それとも重力理論自体が間違っているのでしょうか。現在、失われた質量は「冷たい暗黒物質」であるという見解が一致していますが、この見解は一般相対性理論に代わる理論を試した後に初めて得られたものであり、物理学者の中には、重力の代替モデルに答えがあるかもしれないと今でも信じている人もいます。

1990年代、超新星の調査により宇宙の加速膨張が発見されたが、これは現在では通常ダークエネルギーによるものとされている。これによりアインシュタインの宇宙定数が急速に復活し、宇宙定数の代わりとしてクインテッセンスが登場した。一般相対性理論に代わる少なくとも1つの新しい理論が、超新星調査の結果をまったく異なる方法で説明しようとした。重力波イベントGW170817による重力速度の測定により、加速膨張の説明として多くの代替重力理論が排除された。^{[70] [71] [72]}一般相対性理論に代わる理論への最近の関心を刺激した別の観測は、パイオニア異常である。一般相対性理論に代わる理論でこの異常を説明できることがすぐに発見された。これは現在、不均一な熱放射によって説明できると考えられている。

宇宙定数は非常に古い概念で、1917年のアインシュタインまで遡ります。^[5]フリードマン宇宙モデルの成功により、宇宙定数はゼロであることが一般に受け入れられましたが、超新星のデータから宇宙の膨張が加速していることが示されたため、ゼロ以外の値が再び使用されるようになりました。^[要出典]${\displaystyle \Lambda \;}$${\displaystyle \Lambda =0\;}$

ニュートンの重力では、宇宙定数を加えると、ニュートン-ポアソン方程式は次のように変わります。

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

に

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

一般相対論では、アインシュタイン-ヒルベルト作用は

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

に

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

これにより、場の方程式は次のように変わります。

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

に：

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

重力の代替理論では、同様の方法で宇宙定数を作用に加えることができます。

より一般的には、スカラーポテンソル理論にスカラーポテンシャルを追加することができます。これは、スカラー場を含む一般相対論のあらゆる代替案で、ラグランジアン内の項を作用の重力部分、つまり ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle \varphi \;}$${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

は定数ではなくスカラー場の任意の関数であるため、初期宇宙では大きく、現時代では小さい加速度を与えるように設定できます。これはクインテセンスとして知られています。 ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

^{同様の方法は、ラスタール[49]}やベクトルテンソル理論 など、ベクトル場を用いる一般相対論の代替理論でも使用できる。

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

作用の重力部分のラグランジアンに加えられます。

2018年12月、オックスフォード大学の天体物理学者ジェイミー・ファーンズは、アルバート・アインシュタインが以前に提唱した重力反発の負の質量の概念に関連する暗黒流体理論を提唱した。この理論は、宇宙に存在する大量の未知の暗黒物質と暗黒エネルギーをよりよく理解するのに役立つかもしれない。^[73]

この理論は負の質量の概念に依存しており、フレッド・ホイルの創造テンソルを再導入して、負の質量を持つ粒子のみに物質生成を許す。このようにして、負の質量を持つ粒子は銀河を取り囲み、銀河に圧力をかけるため、暗黒物質に似ている。これらの仮説上の粒子は互いに反発し合い、宇宙を押し広げるため、暗黒エネルギーに似ている。物質の生成により、エキゾチックな負の質量を持つ粒子の密度が時間の関数として一定に保たれるため、宇宙定数のように見える。アインシュタインの場の方程式は次のように修正される。

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

オッカムの剃刀によれば、ファーネスの理論は従来のラムダCDMモデルよりも単純な代替案であり、暗黒エネルギーと暗黒物質（2つの仮説）の両方が単一の負の質量流体（1つの仮説）を使用して解決される。この理論は、2022年に稼働予定の世界最大の電波望遠鏡であるスクエア・キロメートル・アレイを使用して直接テストできる。 ^[74]

ミルグロムによる MOND の元の理論は、1983 年に「暗黒物質」の代替として開発されました。ニュートンの万有引力の法則からの逸脱は、距離スケールではなく、加速度スケールによって制御されます。MOND は、銀河の明るさは回転速度の 4 乗に比例するというタリー フィッシャーの観察をうまく説明します。また、矮小銀河の回転の不一致が特に大きい理由も説明します。

MOND には当初いくつかの問題がありました。

1. 相対論的効果は含まれていない
2. それはエネルギー、運動量、角運動量の保存則に違反している
3. ガスと恒星の銀河軌道が異なるという点で矛盾していた。
4. 銀河団からの重力レンズ効果をどのように計算するかについては述べられていませんでした。

1984 年までに、問題 2 と 3 はラグランジアン ( AQUAL ) の導入によって解決されました。スカラー-テンソル理論に基づくこの相対論的バージョンは、スカラー場の波が光より速く伝播することを許すため却下されました。非相対論的形式のラグランジアンは次のとおりです。

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

相対論的なバージョンでは次のようになります。

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

非標準的な質量作用を伴う。ここで、およびは、正しい制限内でニュートンおよびMONDの挙動を与えるために選択された任意の関数であり、およびはMONDの長さスケールである。1988年までに、2番目のスカラー場（PCC）により、以前のスカラー-テンソルバージョンの問題が解決されたが、水星の近日点歳差運動や銀河やクラスターによる重力レンズ効果と矛盾する。1997年までに、MONDは成層相対論理論[Sanders]にうまく組み込まれたが、これは好ましいフレーム理論であるため、独自の問題を抱えている。Bekenstein ^[63]は、テンソル-ベクトル-スカラーモデル（TeVeS）を導入した。これには、2つのスカラー場 ととベクトル場がある。作用は、重力、スカラー、ベクトル、および質量の部分に分割される。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \sigma \;}$${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

重力の部分は一般相対性理論と同じです。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )}$

${\displaystyle k,K}$は定数、添え字の角括弧は反対称化を表し、はラグランジュ乗数（他の場所で計算）、Lは平坦な時空から計量 に翻訳されたラグランジアンです。Gは観測された重力定数 と等しい必要はないことに注意してください。Fは任意の関数であり、 ${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

は、正しい漸近挙動の例として示されている。${\displaystyle \mu =1}$

この理論のパラメトリックポストニュートンパラメータは^[75]で計算されており、それによると、すべてのパラメータは一般相対論のものと等しいが、

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

どちらも幾何学的な単位で表現され、 ${\displaystyle c=G_{Newtonian}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

JW モファット^[66]は非対称重力理論を開発した。これは計量理論ではない。最初はブラックホールの地平線を含まないと主張されたが、バーコとオリ^[76]は非対称重力理論がブラックホールを含む可能性があることを発見した。後にモファットは、この理論は「暗黒物質」を持ち出すことなく銀河の回転曲線を説明するのにも適用されていると主張した。ダムール、デザー、マッカーシー^{[77] は}非対称重力理論を批判し、その漸近的挙動は受け入れがたいと述べている。

数学は難しくはないが、複雑に絡み合っているため、以下は簡単な概要にすぎない。非対称テンソルから始めて、ラグランジアン密度は次のように分割される。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

ここで、は一般相対論における物質の場合と同じです。 ${\displaystyle L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

ここで、は一般相対論のリッチ曲率に類似しているが等しくない曲率項であり、は宇宙定数であり、はの反対称部分である。 は接続であり、再帰的に定義されているため、説明が少し難しい。しかし、${\displaystyle R(W)\;}$${\displaystyle \lambda \;}$${\displaystyle \mu ^{2}\;}$${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$${\displaystyle W_{\mu }\;}$${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

ホーガンとカウフマン^[78]は、銀河から放射される光の偏光測定を利用して、非対称重力理論のいくつかのパラメータの大きさに厳しい制約を課しました。彼らはまた、ヒューズ・ドレーバー実験を使用して残りの自由度を制限しました。彼らの制約は、以前の推定よりも8桁も厳しいものでした。

モファット^[68]の計量歪テンソル重力理論（MSTG）は、暗黒物質やMONDのない銀河の回転曲線を予測することができ、暗黒物質のない銀河団の重力レンズ効果も説明できると主張している。この理論は変数を持ち、ビッグバンから約100万年後に最終的な一定値に増加する。 ${\displaystyle G\;}$

理論には非対称テンソル場とソース電流ベクトルが含まれているようです。アクションは次のように分割されます。 ${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

重力と質量の項は両方とも、宇宙定数を持つ一般相対性理論の項と一致します。スキュー場の作用とスキュー場の物質結合は次のとおりです。

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

どこ

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

はレヴィ・チヴィタ記号です。スキュー場結合はパウリ結合であり、任意のソース電流に対してゲージ不変です。ソース電流は、重粒子とレプトン数に関連付けられた物質フェルミオン場のように見えます。 ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

モファットのスカラー・テンソル・ベクトル重力^[69]には、テンソル、ベクトル、および3つのスカラー場が含まれています。しかし、方程式は非常に単純です。作用は、重力、ベクトル場、スカラー場、および質量の項で分割されます。は、積分内に移動される 例外を除いて、標準的な重力項です。${\displaystyle S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$${\displaystyle K_{\mu },}$${\displaystyle G,\omega ,\mu }$${\displaystyle S_{G}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

ベクトル場のポテンシャル関数は次のように選択されます。

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

ここで、は結合定数です。スカラーポテンシャルに想定される関数は指定されていません。 ${\displaystyle g}$

修正プロパゲーターのゴーストを除去し、漸近的自由度を得るために、ビスワス、マズムダー、シーゲル（2005）は、弦にヒントを得た高階微分項の無限集合を考慮した。

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

ここで、はダランベール演算子の整関数の指数関数である。^{[79] [80]}これにより、原点付近のブラックホール特異点を回避しながら、遠距離での一般相対性ポテンシャルの1/rの低下を回復する。^[81] LoustoとMazzitelli（1997）は、重力衝撃波を表すこの理論の正確な解を発見した。^[82]${\displaystyle F(\Box )}$

一般相対性自己相互作用モデルまたはGRSIモデル^[83]は、一般相対性理論における重力効果を計算する際に、量子色力学における自己相互作用項に類似した自己相互作用項を追加することにより、暗黒物質、暗黒エネルギーなしで天体物理学的および宇宙論的観測を説明しようとする試みである。^[84] さらに、このモデルは、タリー・フィッシャー関係、^[85]、 径方向加速度関係、^[86]などの観測を、現在ラムダCDM内で理解するのが難しいものとして説明する。

このモデルは一連の論文で提案され、最初の論文は2003年に発表された。^[87]基本的なポイントは、一般相対性理論では重力場が互いに結合しているため、質量の大きい物体間の重力相互作用を効果的に増加させることができるというものである。重力が強くなることで暗黒物質の必要性がなくなる。この場の結合が一般相対性理論の非線形挙動の起源である。粒子の言葉で言えば、重力子はエネルギー運動量を運ぶため（質量がないにもかかわらず）互いに相互作用していると理解できる。

このモデルの自然な帰結は、暗黒エネルギーに頼ることなく宇宙の加速膨張を説明できることである。^[84]銀河内の結合エネルギーの増加は、エネルギー保存則により、その銀河の外側の重力引力を弱める必要がある。これは暗黒エネルギーの反発を模倣している。

GRSI モデルは、類似の現象が発生する強い核力からヒントを得ています。静的またはほぼ静的なクォークによって放出されるグルーオン間の相互作用により、クォーク間相互作用が劇的に強化され、最終的には一方ではクォークの閉じ込め(暗黒物質を説明するために強い重力が必要であることに類似) と、ハドロン外部の強い核力の抑制(大規模で重力を均衡させる暗黒エネルギーの反発に類似) につながります。他の 2 つの類似した現象は、強い力から発生するレッジェ軌道に類似した銀河ダイナミクスのタリー-フィッシャー関係です。どちらの場合も、これらの観察を記述する現象論的式は、数値係数は異なりますが、似ています。

これらの類似点は、理論的な観点から予想されるものである。一般相対性理論と強い相互作用のラグランジアンは同じ形をしている。^{[88] [89]すると、GRSIモデルの妥当性は、重力場の結合が十分に大きく、}ハドロンで発生するのと同じ効果が非常に質量の大きいシステムでも発生するかどうかにかかっている。この結合は実質的に で与えられ、ここで は重力定数、はシステムの質量、 はシステムの特性長さである。GRSI支持者の主張は、格子計算、^[89]、背景場モデル。^[90]、または前の段落で述べた銀河またはハドロン力学における偶然の現象論のいずれかに基づいており、 は銀河などの大規模システムに対して実際に十分に大きいというものである。 ${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$

暗黒物質や暗黒エネルギーを必要とすると思われる主な観測は、このモデルで説明できる。すなわち、

• 銀河の平坦な回転曲線。[ ^{89] [90] [91]}しかし、これらの結果は疑問視されている。^{[92] [93]}
• 宇宙マイクロ波背景放射の 異方性^[94 ]
• 遠方の超新星のより暗い光とそれが宇宙の加速膨張に与える影響。^[84]
• 宇宙の巨大構造の形成[ ⁹⁵ ]
• 物質パワースペクトル[ ^94]
• 弾丸銀河団を含む銀河団の内部ダイナミクス。^[89]

さらに、このモデルは、Lambda-CDM内で現在理解するのが難しい観察事項を説明します。

• タリー・フィッシャー関係[ ^{89] [90]}
• 半径方向の加速度の関係。[ ^96]
• ハッブル張力^[97 ]
• 宇宙の偶然とは、現時点では暗黒エネルギーの反発力が宇宙全体の力学における重力の作用をほぼ完全に打ち消しているという事実である。^[91]

最後に、このモデルは、楕円銀河の失われた質量（つまり、暗黒物質接近時の暗黒質量）の量が銀河の楕円率と相関するという予測を立てた。^[89]これはテストされ、検証された。^{[98] [99]}

一般相対性理論に代わる仮説は、受け入れられるためにはさまざまなテストに合格する必要がある。これらのテストの詳細については、Misner et al. ^[52] Ch.39、Will ^[11] Table 2.1、およびNi. ^[12]を参照のこと。これらのテストの ほとんどは、次のサブセクションのように分類できます。

非計量理論間の自己無撞着性には、タキオン、ゴースト極、高次極を許容する理論や、無限遠での挙動に問題がある理論を排除することが含まれる。計量理論の中で自己無撞着性は、このテストに合格しないいくつかの理論を説明することによって最もよく説明される。古典的な例は、FierzとPauliのスピン2場の理論である。^[17]場の方程式は重力物体が直線上を動くことを示唆しているが、運動方程式は重力が物体を直線運動から逸らすことを主張している。Yilmaz (1971) ^[29]には、計量を構築するために使用されるテンソル重力場が含まれているが、テンソル場に対する計量の機能的依存性が明確に定義されていないため、数学的に矛盾している。

重力理論が完全であるためには、あらゆる関心のある実験の結果を分析できなければなりません。したがって、重力理論は電磁気学や他のすべての物理学と調和していなければなりません。たとえば、惑星の動きや原子時計の挙動を第一原理から予測できない理論は不完全です。

初期の理論の多くは不完全であり、理論で使用される密度が応力エネルギーテンソルからとして計算されるべきか、 として計算されるべきかが不明瞭である。ここで、は4元速度、 はクロネッカーのデルタである。Thirry (1948) と Jordan ^[24]の理論は、Jordan のパラメータが -1 に設定されない限り不完全であり、その場合には Brans–Dicke ^[9]の理論と一致するため、さらに検討する価値がある。Milne ^{[19] は、重力赤方偏移の予測を行わないため不完全である。Whitrow と Morduch [30] 、 [31]、} Kustaan​​heimo ^[32]、Kustaan​​heimo と Nuotio ^[33]の理論は、不完全であるか矛盾している。マクスウェル方程式の組み込みは、それが平坦な背景時空に課されると仮定しない限り不完全であり、そのように仮定すると、それらは矛盾する。なぜなら、光の波バージョン (マクスウェル理論) が使用されると重力赤方偏移はゼロと予測され、粒子バージョン (光子) が使用されると非ゼロの赤方偏移が予測されるからである。もう 1 つのより明白な例は、マクスウェル方程式を伴うニュートン重力である。光子としての光は重力場によって偏向される (一般相対性理論の半分) が、波としての光は偏向されない。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \eta \;}$

重力理論が相対論的効果を処理できるかどうかの「古典的な」テスト（1910 年代以前に遡る）は 3 つあります。重力赤方偏移、重力レンズ効果（通常は太陽の周りでテストされます）、および惑星の異常近日点前進です。各理論はこれらの領域で観測された結果を再現するはずであり、これまでのところ、それらは常に一般相対性理論の予測と一致しています。1964 年、アーウィン I. シャピロはシャピロ遅延と呼ばれる 4 番目のテストを発見しました。これも通常「古典的な」テストと見なされます。

ニュートンの実験との相違の例として、バーコフ^[18]理論は相対論的効果をかなり確実に予測しますが、音波は光速で伝わることを要求します。これは、質量の衝突を扱いやすくするために行われた仮定の結果でした。^{[引用が必要]}

アインシュタインの等価原理には 3 つの要素があります。1 つ目は自由落下の一意性で、これは弱い等価原理とも呼ばれます。これは慣性質量が重力質量に等しい場合に満たされます。ηは弱い等価原理の最大許容違反をテストするために使用されるパラメーターです。弱い等価原理の最初のテストは 1900 年以前にエトヴェシュによって行われ、η は5 × 10未満に制限されました。⁻⁹ 。現代のテストでは、5 × 10未満に減少しました⁻¹³。2番目はローレンツ不変性です。重力の影響がない場合、光速は一定です。これをテストするパラメータはδです。ローレンツ不変性の最初のテストは、1890年以前にマイケルソンとモーリーによって行われ、 δ は5 × 10未満に⁻³ 。現代のテストでは、これを1 × 10未満に減らしました。⁻²¹。3番目は局所的位置不変性で、これには空間的および時間的不変性が含まれます。局所的非重力実験の結果は、それがどこでいつ行われたかに依存しません。空間的局所的位置不変性は、重力赤方偏移測定を使用してテストされます。このテストパラメータはαです。1960年にPoundとRebkaによって発見されたこの上限は、 αを0.1未満に制限しました。現代のテストでは、これを1 × 10未満に減らしました。⁻⁴ . ^[2]

シフの予想は、弱い同値原理を具体化する、完全で自己無撞着な重力理論は、必然的にアインシュタインの同値原理を具体化すると述べている。理論が完全なエネルギー保存則を持つ場合、これはおそらく正しい。計量理論はアインシュタインの同値原理を満たす。これを満たす非計量理論は極めて少ない。例えば、ベリンファンテとスウィハートの非計量理論^{[26] [27]は、アインシュタインの同値原理をテストするための}THεμ形式によって排除される。ゲージ理論重力は注目すべき例外であり、そこでは強い同値原理は本質的にゲージ共変微分の最小結合である。

詳細については、 一般相対性理論のテスト、Misner et al. ^[52]およびWill ^[11]も参照。

代替重力モデルを評価するための、アドホックではなく標準化された一連のテストの開発作業は、1922年にエディントンによって開始され、ノルドヴェットとウィル^[100]とウィルとノルドヴェット^[43]のパラメトリックポストニュートン数の標準セットにつながりました。各パラメータは、理論がニュートン重力からどれだけ離れているかを異なる側面から測定します。ここではニュートン理論からの逸脱について話しているため、これらは弱い場の効果のみを測定します。強い重力場の効果については後で検討します。

これら 10 個は次のとおりです。${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.}$

• ${\displaystyle \gamma }$は空間の曲率の尺度であり、ニュートンの重力ではゼロ、一般相対性理論では 1 となります。
• ${\displaystyle \beta }$重力場の加算における非線形性の尺度であり、一般相対性理論における尺度の一つです。
• ${\displaystyle \eta }$優先場所効果のチェックです。
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$「優先フレーム効果」の範囲と性質を測定します。3 つのうち少なくとも 1 つがゼロでない重力理論は、優先フレーム理論と呼ばれます。
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$全体的保存則の破綻の範囲と性質を測定します。重力理論には、エネルギー運動量保存則が 4 つあり、角運動量保存則が 6 つありますが、5 つすべてがゼロである場合に限ります。

パラメトリックポストニュートン理論は、弱い場の効果の尺度に過ぎません。強い重力効果は、白色矮星、中性子星、ブラックホールなどのコンパクトな天体で見られます。白色矮星の安定性、パルサーのスピンダウン率、連星パルサーの軌道、ブラックホールの地平線の存在などの実験的テストは、一般相対性理論に代わる理論のテストとして使用できます。一般相対性理論では、重力波は光速で伝わると予測されています。一般相対性理論に代わる多くの理論では、重力波は光よりも速く伝わるため、因果律が破れる可能性があります。中性子星のGW170817合体の多重メッセージ検出では、光と重力波が同じ速度で伝わることが測定され、誤差は 1/10 ¹⁵でした。その後、これらの修正された重力理論の多くは除外されました。

宇宙規模の有用なテストは、ようやく利用可能になり始めたところである。^{[2] : 88}限られた天文学的データと理論の複雑さを考えると、比較には複雑なパラメータが関係する。例えば、Reyes et al.、^{[101] は、} 70,205 個の明るい赤色銀河を、銀河の速度推定値とレンズ効果から推定された重力ポテンシャルを含む相互相関で解析したが、結果はまだ暫定的である。^{[1] : 164}

暗黒物質の置き換えを目的とする理論では、銀河の回転曲線、タリー・フィッシャーの関係、矮小銀河のより速い回転速度、銀河団による重力レンズ効果などの観測が制約として機能します。インフレーションの置き換えを目的とする理論では、宇宙マイクロ波背景放射のスペクトルのさざ波の大きさが最も厳しいテストです。暗黒エネルギーを取り入れたり置き換えを目的とする理論では、超新星の明るさの結果と宇宙の年齢をテストとして使用できます。もう 1 つのテストは、宇宙の平坦性です。一般相対性理論では、バリオン物質、暗黒物質、暗黒エネルギーの組み合わせが加算されて、宇宙は正確に平坦になります。

（詳細についてはWill ^[11]とNi ^{[12]を参照。Misner et al. [52]は}Niの表記からWillの表記へのパラメータの変換表を示している）

一般相対性理論は今や 100 年以上の歴史があり、その間、次々と重力の代替理論が発表されてきましたが、より正確な観測結果と一致できなくなっています。1 つの実例として、パラメータ化されたポストニュートン形式論が挙げられます。次の表は、多数の理論のパラメータ化されたポストニュートン値を一覧にしたものです。セルの値が列見出しの値と一致する場合、完全な式はここに含められないほど複雑です。

† 理論は不完全であり、2 つの値のいずれかを取ることができます。ゼロに最も近い値がリストされます。 ${\displaystyle \zeta _{4}}$

これまでのところ、すべての実験テストは一般相対性理論と一致しているため、パラメトリックポストニュートン解析は表内のすべてのスカラー場理論を直ちに排除します。パラメトリックポストニュートンパラメータの完全なリストは、Whitehead、^[7] Deser-Laurent、^[34] Bollini–Giambiagi–Tiomino、^[37]については利用できませんが、これら3つのケースでは利用できません^{[要出典] 。これは、一般相対性理論および実験結果と大きく矛盾しています。特に、これらの理論は、地球の潮汐の振幅を不正確に予測します。(}ホワイトヘッドの理論を少し修正すると、この問題は回避されます。ただし、修正により、実験的に制約されている Nordtvedt 効果が予測されます。)${\displaystyle \beta =\xi }$

Ni、^[42] Lee Lightman、Ni ^[46]の成層理論は、いずれも水星の近日点通過を説明できないため、実現不可能である。Lightman と Lee、^[45] Rosen、^[41] Rastall ^[49]の双計量理論は、いずれも強い重力場に関連するいくつかのテストに失敗している。スカラー-テンソル理論は一般相対性理論を特殊なケースとして含んでいるが、一般相対性理論のパラメトリック・ポストニュートン値と一致するのは、実験誤差の範囲内で一般相対性理論と等しい場合のみである。実験テストがより正確になるにつれて、スカラー-テンソル理論の一般相対性理論からの偏差はゼロに圧縮されつつある。ベクトル-テンソル理論についても同じことが言え、ベクトル-テンソル理論の一般相対性理論からの偏差はゼロに圧縮されつつある。さらに、ベクトル-テンソル理論は半保存的である。これらの理論は、地球の潮汐に測定可能な影響を与える可能性のあるゼロ以外の値を持っています。ベリンファンテやスウィハートなどの非計量理論^{[26] [27]}は、通常、アインシュタインの等価原理の実験的テストと一致しません。そのため、一般相対性理論の有効な代替案としては、カルタン理論以外には何も残っていません。^[15]宇宙論の発見が現代的な代替案の開発を後押しするまで、これが状況でした。 ${\displaystyle \alpha _{2}}$