f(R) 重力

物理学 において、f ( R ) は、アインシュタインの一般相対性理論を一般化した修正重力理論の一種である。f ( R ) 重力は、実際には、それぞれがリッチ・スカラーRの異なる関数fによって定義される理論群である。最も単純なケースは、関数がスカラーに等しいだけであり、これが一般相対性理論である。任意の関数を導入する結果として、未知の形態のダークエネルギーやダークマターを追加することなく、宇宙の加速膨張と構造形成を自由に説明できる可能性がある。一部の関数形式は、量子重力理論から生じる補正に触発される可能性がある。f ( R ) 重力は、1970年にハンス・アドルフ・ブッフダール^[1]によって最初に提案された（ただし、任意の関数の名前にはfではなくϕが使用された）。アレクセイ・スタロビンスキーの宇宙インフレーション^[2]に関する研究を受けて、活発な研究分野となった。しかし、現在では多くの機能形態が観察上の理由や病理学的な理論的問題により除外されるようになりました。

f ( R )重力では、アインシュタイン-ヒルベルト作用のラグランジアンを に一般化しようとします。 ここ で は 計量テンソルの行列式であり、f ( R ) はリッチスカラーの関数です。^[3]$${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$$${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$${\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}$

R をf ( R )に変更する効果を追跡する方法、すなわち理論場の方程式を得る方法は 2 つあります。1 つ目は計量形式を使用する方法で、2 つ目はパラティーニ形式を使用する方法です。^{[3] 2 つの形式は、一般相対性理論、つまり}f ( R ) = Rの場合には同じ場の方程式を導きますが、 f ( R ) ≠ Rの場合には場の方程式が異なる場合があります。

計量f ( R ) 重力では、計量に関して作用を変化させ、接続を 独立に扱うことなく、場の方程式に到達します。完全を期すために、作用の変化の基本的な手順について簡単に説明します。主な手順は、アインシュタイン-ヒルベルト作用の変化の場合と同じですが(詳細については記事を参照)、いくつかの重要な違いもあります。 ${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}$

行列式の変化はいつも通りです: $${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu } }$$

リッチスカラーは次のように定義される。 $${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$$

したがって、逆計量に関するその変化は次のように与えられる。 ${\displaystyle g^{\mu \nu}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\ &=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}$$

2番目のステップについては、アインシュタイン・ヒルベルト作用に関する記事を参照してください。 は2つの接続の差なので、テンソルとして変換する必要があります。したがって、次のように記述できます。 ${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$$${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_ {a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\右）。}$$

上記の式に代入すると、 は共変微分、はダランベール演算子です。 $${\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\ mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$$${\displaystyle \nabla _{\mu }}$${\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$

を表すと、アクションのバリエーションは次のようになります。 ${\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f (R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^ {\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^ {\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$$

2 番目と 3 番目の 項を部分積分すると(境界の寄与は無視します)、次のようになります。$${\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_ {\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

作用が計量の変化に対して不変であることを要求することにより、次の場の方程式が得られます。 ここで、は次のように定義される エネルギー運動量テンソルです。 ここで、は物質のラグランジアンです。 ${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}$$${\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$

スケール係数を持つロバートソン・ウォーカー計量を仮定すると、一般化されたフリードマン方程式は次のようになる（単位は）。 ここで はハッブルパラメータ、点は宇宙時間tに関する微分、ρ _mとρ _radはそれぞれ物質密度と放射線密度を表す。これらは連続方程式を満たす。 ${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \kappa =1}$$${\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}$$ $${\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}$$$${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$$$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}$$

これらの理論の興味深い特徴は、重力定数が時間とスケールに依存するという事実である。 ^[4]これを確認するには、計量に小さなスカラー摂動を加える（ニュートンゲージ）： ここで、ΦとΨ はニュートンポテンシャルであり、場の方程式を1次まで使用します。いくつかの長い計算の後、フーリエ空間でポアソン方程式を定義し、右側に現れる余分な項を有効重力定数G _effに帰属させること ができます 。そうすることで、重力ポテンシャル（サブホライズンスケールk ² ≫ a ² H ²で有効）が得られます。 ここで、δ ρ _{m は}物質密度の摂動、kはフーリエスケール、G _effは： $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$$$${\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }}$$$${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$$$${\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}$$

このクラスの理論は線形化されると重力波の3つの偏光モードを示し、そのうち2つは質量のない重力子（ヘリシティ±2）に対応し、3つ目（スカラー）は、共形変換を考慮すると4次の理論f（R）が一般相対論プラススカラー場になるという事実から来ています。これを確認するには、 上記の場の方程式を特定して使用して、 $${\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$$$${\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}$$

摂動論の第 1 次まで作業を進め、 面倒な代数をこなした後、重力波に対応する計量摂動を解くことができます。z方向に伝播する波の特定の周波数成分は、次のように記述できます。 ここで 、v _g ( ω ) = d ω /d kは、波ベクトルkを中心とする波束h _fの群速度です。最初の 2 つの項は、一般相対性理論からの通常の横方向の偏光に対応し、3 番目はf ( R ) 理論の新しい質量偏光モードに対応します。このモードは、質量のない横方向の呼吸モード (トレースレスではない) と質量のある縦方向のスカラーモードが混在したものです。^{[5] [6]}横方向モードとトレースレスモード (テンソルモードとも呼ばれる) は光速で伝播しますが、質量のあるスカラーモードは速度v _{G < 1 (} c = 1 の単位 ) で移動し、このモードは分散的です。しかし、f ( R )重力計量形式では、モデル（純粋モデルとも呼ばれる）の場合、3番目の偏光モードは純粋な呼吸モードであり、時空を光速で伝播します。^[7]$${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi }$$$${\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }}$$$${\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},}$$ ${\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}$${\displaystyle R^{2}}$

ある追加条件^{[8]の下では、}補助場Φを導入することでf ( R )理論の解析を簡略化することができる。すべてのRに​​対して、V ( Φ )をf ( R )のルジャンドル変換として、およびとする。すると、O'Hanlon(1972)の作用が得られる。 ${\displaystyle f''(R)\neq 0}$${\displaystyle \Phi =f'(R)}$${\displaystyle R=V'(\Phi )}$$${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}$$

オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります。 $${\displaystyle V'(\Phi )=R}$$ $${\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}$$

Φ を消去すると、前とまったく同じ方程式が得られます。ただし、方程式は導関数が 4 次ではなく 2 次のみです。

現在、私たちはジョルダン フレームに取り組んでいます。共形再スケーリングを実行することにより、 部分積分した後、 アインシュタイン フレーム に変換します。$${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },}$$$${\displaystyle R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$$ $${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]}$$

を定義し、代入する ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}$$${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]}$$ $${\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

これは、実スカラー場と結合した一般相対論です。つまり、加速宇宙を記述するためにf ( R ) 理論を使用することは、実質的にクインテッセンスを使用することと同等です。(少なくとも、物質結合をまだ指定していないという警告を除けば同等です。したがって、(たとえば)物質が計量に最小限に結合している (つまり、ジョルダン フレーム内の) f ( R ) 重力は、スカラー場が重力の強さを持つ 5 番目の力を媒介するクインテッセンス理論と同等です。)

パラティーニの f ( R )重力では、計量と接続を独立に扱い、それぞれに対する作用を別々に変化させる。物質ラグランジアンはその接続とは独立であると仮定される。これらの理論は、ω = − 3 ⁄ 2のブランス・ディッケ理論と同等であることが示されている。^{[9] [10]}しかし、理論の構造上、パラティーニのf ( R )理論は標準モデルと矛盾しているようで、^{[9] [11]}太陽系の実験に違反する可能性があり、^[10]望ましくない特異点を作り出すように見える。^[12]

計量アフィン f ( R ) 重力では、さらに一般化して、計量と接続の両方を独立に扱い、物質のラグランジアンも接続に依存すると仮定します。

f ( R ) 重力には多くの潜在的な形があるため、一般的なテストを見つけることは困難です。さらに、一般相対性理論からの偏差は場合によっては任意に小さくできるため、いくつかの変更を決定的に排除することは不可能です。テイラー展開によって関数f ( R )の具体的な形を仮定せずに、ある程度の進歩を遂げることができます。 $${\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }$$

最初の項は宇宙定数に似ており、小さくなければなりません。次の係数a ₁は、一般相対論と同様に 1 に設定できます。計量f ( R ) 重力 (パラティーニまたは計量アフィンf ( R ) 重力とは対照的) の場合、2 次項は、重力ポテンシャルに対する湯川補正につながるため、 5 番目の力の測定によって最もよく制限されます。現在の最良の境界は、 | a ₂ | <です。4 × 10 ⁻⁹  m ²または同等| a ₂ | <2.3 × 10 ²²  GeV ⁻² . ^{[13] [14]}

パラメータ化されたポストニュートン形式論は、一般的な修正重力理論を制約できるように設計されています。しかし、f ( R )重力は一般相対性理論と同じ値の多くを共有しているため、これらのテストでは区別がつきません。^[15]特に光の偏向は変化しないため、f ( R )重力は一般相対性理論と同様に、カッシーニの追跡からの境界と完全に一致しています。^[13]

スタロビンスキー重力は次のような形を持ち 、質量の次元を持つ。^[16]$${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$$${\displaystyle M}$

スタロビンスキー重力は、ビッグバン直後、Rがまだ大きかった頃の宇宙インフレーションのメカニズムを提供します。しかし、現在Rは非常に小さいため、現在の宇宙の加速を説明するのには適していません。^{[17] [18] [19]}これは、の2次項が無視できることを意味しています。つまり、f ( R ) = Rとなり、これは宇宙定数がゼロの一般相対性理論です。 ${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$

ゴゴイ・ゴスワミ重力（ドゥルバ・ジョティ・ゴゴイとウマナンダ・デヴ・ゴスワミにちなんで名付けられた）は、次の形を持ちます 。 ここで、と は2つの無次元正定数であり、R _{c は}特性曲率定数です。^[20]$${\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

前のセクションで示した f ( R ) 重力は、一般相対性理論のスカラー修正です。より一般的には、リッチテンソルとワイルテンソル の不変量を含む結合を持つことができます。特殊なケースとしては、f ( R ) 重力、共形重力、ガウス・ボネ重力、ラブロック重力があります。任意の非自明なテンソル依存性では、通常、質量のない重力子と質量のあるスカラーに加えて、追加の質量のあるスピン 2 自由度があることに注意してください。例外は、スピン 2 成分の 4 次項が打ち消されるガウス・ボネ重力です。 $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}$$

• 重力の拡張理論
• ガウス・ボネ重力
• ラブロック重力

• Kleinert, H. (2016)著「粒子と量子場」の教科書の第 29 章を参照(World Scientific (シンガポール、2016) (オンラインでも入手可能))
• Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). 「f(R) 重力理論」.現代物理学レビュー. 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Bibcode :2010RvMP...82..451S. doi :10.1103/RevModPhys.82.451. S2CID  15024691.
• Sotiriou, TP (2009). 「f(R) 重力からの 6+1 の教訓」. Journal of Physics: Conference Series . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode :2009JPhCS.189a2039S. doi :10.1088/1742-6596/189/1/012039. S2CID  14820388.
• Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). 「拡張された重力理論」. Physics Reports . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Bibcode :2011PhR...509..167C. doi :10.1016/j.physrep.2011.09.003. S2CID  119296243.
• サルヴァトーレ・カポッツィエッロとマリアフェリシア・デ・ラウレンティス、(2015)「重力のF ( R ) 理論」。 Scholarpedia、doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Kalvakota, Vaibhav R.、(2021)「f ( R )」重力と宇宙論の調査」。数理物理学プレプリントアーカイブ、https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

• arxiv.org の f(R) 重力
• 重力の拡張理論