モチベーション 一般相対性理論 および関連理論では、物質およびあらゆる非重力場による質量、運動量、および応力の分布は、エネルギー・運動量テンソル （または物質テンソル ）によって記述される。T 1 b {\displaystyle T^{ab}} アインシュタイン場の方程式 自体は、時空モデルにおいてどのような物質の状態や非重力場が許容されるかを規定していません。これは、優れた一般重力理論は非重力物理学に関するいかなる仮定からも最大限独立しているべきであるという点で強みであると同時に、何らかの追加基準がなければ、アインシュタイン場の方程式は、ほとんどの物理学者が非物理的 、つまり現実の宇宙の何物にも近似的にすら似ていないと考えるような性質を持つ解を許容してしまうという点で弱みでもあります。
エネルギー条件は、そのような基準を表しています。大まかに言えば、それらは、物理学において確立されている、すべての（あるいはほぼすべての）物質の状態とすべての非重力場に共通する性質を大まかに記述するものであり、アインシュタイン方程式の多くの非物理的な「解」を排除するのに十分な強さを持っています。
数学的に言えば、エネルギー条件の最も明白な特徴は、それが本質的に物質テンソルの固有値 と固有ベクトルに対する制約であるという点である。より微妙ではあるが、同様に重要な特徴は、それらが 接空間 のレベルでイベントごとに課されるという点である。したがって、 閉じた時間的曲線 のような好ましくないグローバルな特徴 を排除することは不可能である。
観測可能な量 様々なエネルギー条件の記述を理解するためには、任意の時間的 ベクトルまたはヌルベクトル と物質テンソルから構成されるいくつかのスカラー量とベクトル量の物理的解釈に精通している必要がある。
まず、単位時間的ベクトル場X → {\displaystyle {\vec {X}}} 解釈 できる。するとスカラー場は
ρ = T 1 b X 1 X b {\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}
これは、我々の家族の観測者によって（彼の世界線上 の各イベントで）測定された全質量エネルギー 密度 （物質とあらゆる非重力場の場エネルギーの合計）として解釈できる。同様に、成分を持つベクトル場 − T 1 b X b {\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}} 運動量を表します。
第二に、任意のヌルベクトル場が与えられた場合k → 、 {\displaystyle {\vec {k}},}
ν = T 1 b k 1 k b {\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}
これは、質量エネルギー密度の極限的な場合と考えることができる。
第三に、一般相対性理論の場合、任意の時間的ベクトル場が与えられたときX → {\displaystyle {\vec {X}}} レイチャウドリ・スカラーは 、理想的な観測者の一群の運動を記述するものと解釈され、各事象におけるそれらの観測者に対応する潮汐テンソル のトレース を取ることによって得られるスカラー場である。
E [ X → ] m m = R 1 b X 1 X b {\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}
この量はレイチャウドリ方程式 において重要な役割を果たす。そしてアインシュタイン場方程式から直ちに次の式が得られる。
1 8 π E [ X → ] m m = 1 8 π R 1 b X 1 X b = （ T 1 b − 1 2 T g 1 b ） X 1 X b 、 {\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}
どこT = T m m {\displaystyle T={T^{m}}_{m}}
数学的記述 一般的に使用されている代替エネルギーに関する条件はいくつかあります。
エネルギーゼロ条件 ヌルエネルギー条件は 、すべての未来方向のヌルベクトル場に対して、 k → {\displaystyle {\vec {k}}}
ν = T 1 b k 1 k b ≥ 0. {\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}
これらそれぞれには平均化 バージョンがあり、上記の特性は適切なベクトル場の流れ線に沿って平均的にのみ 成り立つ。そうでなければ、カシミール効果 により例外が生じる。例えば、平均化されたヌルエネルギー条件 は、すべての流れ線（積分曲線）について、C {\displaystyle C} k → 、 {\displaystyle {\vec {k}},}
∫ C T 1 b k 1 k b d λ ≥ 0. {\displaystyle \int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.}
エネルギー状態が弱い 弱いエネルギー条件は、すべての 時間的ベクトル場 に対して、X → 、 {\displaystyle {\vec {X}},}
ρ = T 1 b X 1 X b ≥ 0. {\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}
支配的なエネルギー条件 支配的なエネルギー条件 は、弱いエネルギー条件が成り立つことに加えて、すべての未来を指す因果ベクトル場 （時間的またはヌル）に対して、Y → 、 {\displaystyle {\vec {Y}},} − T 1 b Y b {\displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}
一般相対性理論を初期値問題として定式化すると、支配的なエネルギー条件は、空間的超曲面上で定義された量で表現できる。初期データセットが与えられた場合（ M 、 g 、 K ） {\displaystyle (M,g,K)} （ M 、 g ） {\displaystyle (M,g)} リーマン多様体 であり、K {\displaystyle K} 第二の基本形態 は、局所エネルギー密度である。μ {\displaystyle \mu } J {\displaystyle J}
μ = 1 2 （ R g + （ t r g K ） 2 − | K | g 2 ） 、 J = d 私 v g （ K − （ t r g K ） g ） 、 {\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}R_{g}+(\mathrm {tr} _{g}K)^{2}-|K|_{g}^{2}{\bigr )},\qquad J=\mathrm {div} _{g}{\bigl (}K-(\mathrm {tr} _{g}K)\,g{\bigr )},}
どこR g {\displaystyle R_{g}} は、スカラー曲率 （リッチスカラーとも呼ばれる）を表す。g {\displaystyle g} t r g K {\displaystyle \mathrm {tr} _{g}K} K {\displaystyle K} g {\displaystyle g} | K | g 2 {\displaystyle |K|_{g}^{2}} K {\displaystyle K} g {\displaystyle g} | K | g 2 = K 私 j K p q g 私 p g j q {\displaystyle |K|_{g}^{2}=K_{ij}K_{pq}\,g^{ip}g^{jq}}
μ ≥ | J | 、 {\displaystyle \mu \geq |J|,}
これは、エネルギー密度が非負であり、運動量密度の大きさを支配していることを意味する。
時間対称の場合、k = 0 {\displaystyle k=0} （ M 、 g ） {\displaystyle (M,g)}
強いエネルギー状態 強いエネルギー条件は、すべての 時間的ベクトル場 に対して、X → {\displaystyle {\vec {X}}}
（ T 1 b − 1 2 T g 1 b ） X 1 X b ≥ 0 {\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0}
少なくとも数学的な観点からは、強いエネルギー条件に違反する古典的な物質構成は数多く存在する。例えば、正のポテンシャルを持つスカラー場はこの条件に違反する可能性がある。さらに、ダークエネルギー ／宇宙定数 の観測結果は、宇宙論的スケールで平均化しても、強いエネルギー条件が我々の宇宙を記述できないことを示している。さらに、あらゆる宇宙論的インフレーション過程（スカラー場によって引き起こされないものであっても）において、この条件は大きく破られている。[ 3 ]
完全流体 完全流体の場合におけるいくつかのエネルギー条件間の関連性 完全流体は、 次の形式の物質テンソルを持つ。
T 1 b = ρ u 1 u b + p h 1 b 、 {\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}
どこu → {\displaystyle {\vec {u}}} 4元速度であり、 h 1 b ≡ g 1 b + u 1 u b {\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}} 射影テンソル です。（速度が渦度フリー 、つまり非回転でない限り、これらの超平面要素は空間超スライスを形成しないことに注意してください。）物質粒子の運動に沿った 座標系 に関して、物質テンソルの成分は対角形式をとります。
T 1 ^ b ^ = [ ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p ] 。 {\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}
ここ、ρ {\displaystyle \rho } 密度 であり、p {\displaystyle p} 圧力 です。
エネルギー条件は、これらの固有値を用いて次のように再定式化できる。
ヌルエネルギー条件は、ρ + p ≥ 0. {\displaystyle \rho +p\geq 0.} 弱いエネルギー条件は、ρ ≥ 0 、 ρ + p ≥ 0. {\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.} 支配的なエネルギー条件は、ρ ≥ | p | 。 {\displaystyle \rho \geq |p|.} 強いエネルギー条件は、ρ + p ≥ 0 、 ρ + 3 p ≥ 0. {\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.} これらの条件間の関係は右図に示されています。これらの条件の中には負圧を許容するものもあることに注意してください。また、名称に関わらず 、完全流体の場合でも、 強いエネルギー条件は弱いエネルギー条件を意味するものではないことにも注意してください。
不完全流体 最後に、エネルギー条件を不完全な流体を含む時空に拡張する提案があり、熱力学第二法則は 安定性と因果律の両方を調査するための自然なリアプノフ関数 を提供し、安定性と因果律の間のつながりの物理的起源はエントロピーと情報 の間の関係にあります。[ 4 ] [ 5 ] ）を有限の温度と化学ポテンシャル で非平衡物質を含む時空に一般化します。
実際、因果律違反と流体不安定性の間に関連性があるという考えには長い歴史がある。例えば、W. Israel の言葉を借りれば、「効果の発生源を遅らせることができれば、システムが基底状態からエネルギーを借りることができ、これは不安定性を意味する」 [ 6 ] [ 4 ] [ 5 ]
エネルギー条件を偽造しようとする試み エネルギー条件の意図は、物理的に妥当な状況を認めつつ、多くの非物理的な状況を排除する単純な基準を提供することにあるが、実際には、少なくともいくつかの量子力学的効果の有効場モデルを導入すると、 実験的に検証されているため 物理的に妥当で現実的であると知られているいくつかの物質テンソルが、実際にはさまざまなエネルギー条件を満たさない 。特に、カシミール効果では、非常に小さな間隔 d で平行に保持された 2 枚の導体板の間の領域に負の エネルギー密度が存在する。
ε = − π 2 720 ℏ d 4 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}
プレート間に。（ただし、カシミール効果は位相的であり、真空エネルギーの符号は構成の幾何学と位相の両方に依存することに注意してください。平行プレートの場合は負ですが、導体球の場合は正になります。）しかし、さまざまな量子不等式 は、このような場合に適切な平均エネルギー条件が満たされる可能性があることを示唆しています。特に、平均ヌルエネルギー条件は カシミール効果で満たされます。実際、ミンコフスキー時空上の有効場理論から生じるエネルギー・運動量テンソルについては、平均ヌルエネルギー条件は日常的な量子場に対して成り立ちます。これらの結果を拡張することは未解決の問題です。
強いエネルギー条件はすべての通常の/ニュートン物質によって満たされるが、偽の真空はそれを破る可能性がある。線形バロトロピック方程式の状態を考える。
p = w ρ 、 {\displaystyle p=w\rho ,}
どこρ {\displaystyle \rho } p {\displaystyle p} w {\displaystyle w} w ≥ − 1 / 3 {\displaystyle w\geq -1/3} w = − 1 {\displaystyle w=-1} 7 ]
注記 ↑ Curiel, Erik ( 2017). " エネルギー条件入門".時空理論の 理論に向けて .アインシュタイン研究.第13巻.43–104 頁.arXiv : 1405.0403.doi : 10.1007 /978-1-4939-3210-8_3.ISBN 978-1-4939-3209-2 。 ↑ Farnes, JS (2018). "A Unifying Theory of Dark Energy and Dark Matter: Negative Masses and Matter Creation within a Modified ΛCDM Framework". Astronomy & Astrophysics . 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Bibcode : 2018A & A...620A..92F . doi : 10.1051/0004-6361/201832898 . S2CID 53600834 . 1 2 Visser, Matt; Barceló, Carlos (2000). "エネルギー条件とその宇宙論的意味合い". Cosmo-99 . pp. 98–112 . arXiv : gr-qc/0001099 . doi : 10.1142/9789812792129_0014 . ISBN 978-981-02-4456-9 . S2CID 119446302 . 1 2 Gavassino, Lorenzo; Antonelli, Marco; Haskell, Brynmor (2022-01-06). "熱力学的安定性は因果関係を意味する". Physical Review Letters . 128 (1) 010606. arXiv : 2105.14621 . Bibcode : 2022PhRvL.128a0606G . doi : 10.1103/PhysRevLett.128.010606 . ISSN 0031-9007 . PMID 35061457 . 1 2 Gavassino, Lorenzo (2022-10-03). "因果律なしに散逸を理解できるか？". Physical Review X . 12 (4) 041001. arXiv : 2111.05254 . Bibcode : 2022PhRvX..12d1001G . doi : 10.1103/PhysRevX.12.041001 . ISSN 2160-3308 . ↑ Israel, Werner (2009), "相対論的熱力学", Lacki, Jan; Ruegg, Henri; Wanders, Gérard (編), ECG Stueckelberg, An Unconventional Figure of Twentieth Century Physics: Selected Scientific Papers with Commentaries , Basel: Birkhäuser, pp. 101– 113, Bibcode : 2009esuf.book..101I , doi : 10.1007/978-3-7643-8878-2_8 , ISBN 978-3-7643-8878-2 ↑ Ellis, GFR; Maartens, R.; MacCallum, MAH (2012). "第6.1節". 相対論的宇宙論 . Cambridge University Press.
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![{\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0a4c0577cb49b17ab34b3787bfd4531ba8ce2c)
![{\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b9f8823d1010c9bc963272bf08827d52055975)
