物質パワースペクトル

物質パワースペクトルは、宇宙の密度コントラスト（局所密度と平均密度の差）をスケールの関数として表します。これは、物質相関関数のフーリエ変換です。大規模では、重力は宇宙の膨張と競合し、構造は線形理論に従って成長します。この領域では、密度コントラスト場はガウス分布であり、フーリエモードは独立して進化し、パワースペクトルは密度場を完全に記述するのに十分です。小規模では、重力の崩壊は非線形であり、N体シミュレーションを使用してのみ正確に計算できます。小規模で完全な場を記述するには、高次統計が必要です。

物質の過剰密度を表します。これは次のように定義される無次元量です。 ここでは、全空間における平均物質密度です。 ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )-{\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}},}$$${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

パワースペクトルは、自己相関関数のフーリエ変換として最も一般的に理解されており、数学的には 次のように定義されます 。に対して。これにより、パワースペクトル との簡単に導かれる関係が決定されます。${\displaystyle \xi }$$${\displaystyle \xi (r)=\langle \delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} ')\rangle ={\frac {1}{V}}\int d^{3}\mathbf {x} \,\delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {r} ),}$$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x} '}$${\displaystyle P(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \xi (r)=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}P(k)e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}.}$

同様に、 を過密度のフーリエ変換とすると、パワースペクトルはフーリエ空間上の次の平均で与えられる: ^[1]${\displaystyle {\tilde {\delta }}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \langle {\tilde {\delta }}(\mathbf {k} ){\tilde {\delta }}^{*}(\mathbf {k} ')\rangle =(2\pi )^{3}P(k)\delta ^{3}(\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$$

(は過密度ではなく、ディラックのデルタ関数であることに注意してください)。 ${\displaystyle \delta ^{3}}$

の次元は（長さ）³なので、パワースペクトルは無次元関数で表されることもある：^[1]${\displaystyle P(k)}$ $${\displaystyle \Delta ^{2}(k)={\frac {k^{3}P(k)}{2\pi ^{2}}}.}$$

自己相関関数が、ある銀河が別の銀河から一定の距離にある確率を表す場合、物質パワースペクトルはこの確率を特性長に分解し、その振幅は各特性長が全体の過剰確率に寄与する度合いを表します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle k\approx 2\pi /L}$

物質のパワースペクトルの全体的な形状は、構造の成長に関する線形摂動論の分析によって最もよく理解され、パワースペクトルが次のように成長することが第一に予測されます。

$${\displaystyle P(\mathbf {k} ,t)=D_{+}^{2}(t)P(\mathbf {k} ,t_{0})=D_{+}^{2}(t)P_{0}(\mathbf {k} )}$$

は密度の線形成長係数、つまり 1 次で、一般に原始物質パワースペクトルと呼ばれます。原始を決定することは、インフレーションの物理学に関連する問題です。 ${\displaystyle D_{+}(t)}$${\displaystyle \delta (r,t)=D_{+}(t)\delta _{0}(r)}$${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$

最も単純なのはハリソン・ゼルドビッチスペクトル（エドワード・R・ハリソンとヤコフ・ゼルドビッチにちなんで名付けられた）^{[2] [3]}であり、これはべき乗法則に従って特徴付けられます。より高度な原始スペクトルには、宇宙が放射線優位から物質優位への移行を仲介する伝達関数の使用が含まれます。 ${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )=Ak}$

物質パワースペクトルの大まかな形状は、大規模構造の成長によって決まり、 での転換点（スペクトルが k とともに増加からkとともに減少に転じる点）は に対応し、（ここでhは無次元ハッブル定数）である。^[4]質量パワースペクトルの最大パワーに対応する共動波数は、物質と放射が等しいときの宇宙粒子の地平線の大きさによって決まり、したがって については、物質の平均密度と、それよりは少ない程度でニュートリノ族の数（、、 ）に依存する。 より小さいk（同等に、より大きなスケール）での は、放射優位の領域から物質優位の領域への移行時に粒子の地平線よりも大きかったスケールに対応する。^{[5] [6]} 摂動 の線形順序では、パワースペクトルの大まかな形状は ${\displaystyle k_{eq}\approx 2\times 10^{-2}~h~{\text{Mpc}}^{-1}}$${\displaystyle \lambda _{eq}=350~h^{-1}~{\text{Mpc}}}$${\displaystyle N\geq 3}$${\displaystyle k_{\text{eq}}=(2\Omega _{M}H_{0}^{2}z_{\text{eq}}/c^{2})=7.3\times 10^{-2}\Omega _{M}h^{2}{\text{Mpc}}^{-1}}$${\displaystyle T_{\text{cmb}}=2.728~\mathrm {K} }$${\displaystyle P_{0}(k)}$${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle P({\bf {k,t)\propto {\begin{cases}k^{n_{s}}&k\ll k_{eq}\\k^{n_{s}-1}&k\gg k_{eq}\end{cases}}~,}}}$$

ここでスカラースペクトル指数である。^[7]${\displaystyle n_{s}\simeq 1}$

• ドデルソン、スコット（2003）。現代宇宙論。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-219141-1。
• テューンズ、物理的宇宙論
• マイケル・L・ノーマン、銀河団のシミュレーション