ユニバーサル横メルカトル座標系

ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）は、地球の楕円体を横メルカトル図法で投影した座標系です。地図投影法として、地球表面上の位置の地理座標を変換し、平面座標を割り当てます。これは水平位置表現であり、高度を無視し、地球表面を扁平楕円体として扱います。このシステムは地球を60のゾーンに分割し、それぞれのゾーンを平面に投影して座標の基準とします。位置を指定するということは、ゾーンと、その平面上のx、y座標を指定することを意味します。

UTMパラメータの仕様は、国や地域、またはマッピングシステムによって異なります。ただし、UTM のほとんどのゾーンは経度6 度の範囲に及び、それぞれに指定された中心子午線があります。各ゾーンでは、中心子午線での縮尺係数は、実際の縮尺の 0.9996 に指定されています (使用されているほとんどの UTM システムの場合)。したがって、適切な UTM ゾーンの集合から作成された地図、アトラス、および地形グリッドシステムでは、適切に制御された最小限の歪みを持つ平面地図で領域をカバーします。このため、UTM 座標は、地形図作成だけでなく、より一般的には位置特定のために、多くの国や地域で使用されています。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

歴史

米国海洋大気庁(NOAA) のウェブサイトには、このシステムは1940 年代初頭から米国陸軍工兵隊によって開発されたと記載されています。 ^{[ 3 ]}しかし、ドイツ連邦公文書館の軍事部門 (Bundesarchiv-Militärarchiv ) で見つかった一連の航空写真には、1943 ～ 1944 年のものと思われるものがあり、UTMREF という文字に続いてグリッド文字と数字が記され、横メルカトル図法に従って投影されています。^{[ 4 ]}この発見は、UTM 基準システムと呼ばれるものが 1942 ～ 43 年の間にドイツ国防軍によって開発されたことを示唆しています。おそらく航空写真部 (Abteilung für Luftbildwesen) によって実施されたのでしょう。1947 年以降、米国陸軍は非常によく似たシステムを採用しましたが、中央子午線での縮尺係数はドイツの 1.0 ではなく、現在標準となっている 0.9996 でした。^{[ 4 ]}アメリカ合衆国本土の地域では、1866年のクラーク楕円体^{[ 5 ]}が使用されました。ハワイを含む地球の残りの地域では、国際楕円体^{[ 6 ]}が使用されました。

歴史的にUTMはさまざまな測地基準系で使用されてきましたが、民間GPSの使用が普及して以来、世界測地系WGS84楕円体が地点の経度と緯度を指定するためのデフォルトとなっています。そのため、代替の測地系が指定されていない場合、WGS84基準系はUTM座標の暗黙のデフォルトにもなっています。北米では、特定の地点のWGS84 UTM座標は、たとえばNAD27に基づく古い座標と最大200メートル異なる場合があります^{[ 7 ] 。}

ユニバーサル横メルカトル座標系が開発される以前、ヨーロッパのいくつかの国は、戦間期に自国の領土を地図化することで、グリッドベースの等角地図の有用性を実証しました。これらの地図上の2点間の距離の計算は、緯度経度グリッドベースのシステムで必要とされる三角関数公式を使用するよりも、現場で（ピタゴラスの定理を使用して）容易に行うことができました。戦後、これらの概念は、グリッドベースの地図のグローバル（またはユニバーサル）システムであるユニバーサル横メルカトル/ユニバーサル極ステレオ投影（UTM/UPS）座標系へと拡張されました。

横メルカトル図法は、 1570年にフランドルの地理学者で地図製作者のゲラルドゥス・メルカトルによって開発されたメルカトル図法の変種です。この図法は正角図法であり、小さな領域では角度、ひいては形状を保持します。しかし、距離と面積は歪んでしまいます。

定義

UTMゾーン

UTMシステムは地球を60のゾーンに分割し、各ゾーンの幅は経度6度です。ゾーン1は西経180度から174度までをカバーし、ゾーン番号は東に向かって増加し、ゾーン60は東経174度から180度までをカバーします。南緯80度以南および北緯84度以北の極地は除外され、代わりにユニバーサル極ステレオ投影（UPS）座標系が使用されます。

60のゾーンそれぞれに、南北に広がる広範囲の地域を低歪みでマッピングできる横メルカトル図法が用いられています。幅6°（最大668km ）の狭いゾーンを使用し、中央子午線に沿った縮尺係数を0.9996（1:2500の縮小）に縮小することで、各ゾーン内の歪みは1000分の1以下に抑えられています。赤道に沿ったゾーン境界では、縮尺の歪みは1.0010に増加します。

各ゾーンにおいて、中心子午線の縮尺係数によって横方向円筒の直径が縮小され、中心子午線（赤道ではarc cos 0.9996 = 1.62°）の両側に約180km 、かつ中心子午線とほぼ平行な2本の標準線（真の縮尺線）を持つ割線投影図が作成されます。縮尺は標準線の内側では1未満、外側では1より大きくなりますが、全体的な歪みは最小限に抑えられます。

例外

UTMゾーンは、2つの地域を除いて世界中で均一です。ノルウェー南西海岸では、ゾーン32がさらに西に3度拡張され、ゾーン31はそれに合わせて縮小され、開水域のみをカバーします。また、スバールバル諸島周辺地域では、ゾーン32、34、36は使用されず、ゾーン31（幅9度）、33（幅12度）、35（幅12度）、37（幅9度）が拡張され、ギャップを埋めています。

重なり合うグリッド

UTMゾーンの境界に近づくにつれて、各UTMゾーン内の縮尺の歪みが大きくなります。しかし、隣接する2つのゾーンにまたがる地点がある場合、単一のグリッド上で一連の地点を測定することが便利または必要となることがよくあります。大縮尺地図（1:100,000以上）の境界付近では、通常、隣接する両方のUTMゾーンの座標が、ゾーン境界の両側40km以内の範囲に印刷されます。理想的には、各地点の座標は、その地点が存在するゾーンのグリッド上で測定されるべきですが、ゾーン境界付近では縮尺係数が比較的小さいため、必要に応じて、測定値を隣接するゾーンにある程度重ねて表示することも可能です。

緯度帯

緯度帯はUTMの一部ではなく^{[ 8 ]} 、軍事グリッド参照システム（MGRS）の一部です^{[ 9 ]} 。ただし、UTM表記に緯度帯が含まれる場合もあります。UTM表記に緯度帯を含めると、文字「S」が南半球または北半球の緯度帯のどちらかを指すため、座標が曖昧になる可能性があるため、避けるべきです。

UTM座標を使用して位置を特定する

地球上の位置は、UTMゾーン番号と半球指定子、およびそのゾーン内の東西南北の平面座標ペアによって示されます。

各UTMゾーンの原点は、赤道とゾーンの中心子午線の交点です。負の数を扱わないようにするため、偽の東方向座標が用いられます。中央子午線に−500 000メートルが加算されます。したがって、東方向の400,000メートルは、中央子午線から西に約100kmです。このような地点のほとんどでは、投影の歪みのため、地球表面で測定すると実際の距離は100kmをわずかに超えます。UTM東方向は、約 166,000メートル赤道付近の標高は83万4000メートル。

北半球では、位置は赤道のゼロ地点から北向きに測定されます。最大「北向き」値は約北緯84度、UTMゾーンの北端で標高9,300,000メートル。南半球の赤道における北緯は10,000,000メートル。北緯はここから南に向かって減少します。10,000,000メートルから約南緯80度、 110万メートルはUTMゾーンの南端にあたります。したがって、どの地点も負の北座標値を持つことはありません。

例えば、CNタワーは北緯43度38分33.24秒、西経79度23分13.7秒（北緯43.6425667度、西経79.387139度）に位置し、UTMゾーン17に属し、グリッド位置は東630,084m 、北緯4,833,438メートル。ゾーン17にはこの座標を持つ地点が2箇所あり、1箇所は北半球、もう1箇所は南半球にあります。曖昧さのない形式は、ゾーンと半球の指定子をすべて指定することです。つまり、「17N 630084 4833438」のように指定します。

簡略化された数式

これらの式は、 1912年にヨハン・ハインリヒ・ルイス・クリューガーによって考案された横メルカトル図法の扁平化系列の簡略版である。 ^[¹⁰^]これらの式は、約1ミリメートル以内の精度を持つ。中央子午線の3000 km 。 ^{[ 11 ]}それらの導出に関する簡潔な解説も与えられています。^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

WGS 84 空間参照システムでは、地球は南北軸に沿って赤道半径が 1の扁平な球体として記述されています。 $a=6378.137$ kmと逆平坦化 $1/f=298.257\,223\,563$ 緯度点を取る $\,\varphi$ 経度 $\,\lambda$ そして、そのUTM座標と点スケール係数を計算する。 $k\,\!$ および子午線の収束 $\gamma \,\!$ 基準経度子午線を使用する $\displaystyle \lambda _{0}}$ 慣例として、北半球では $N_{0}=0$ 南半球では km $N_{0}=10000$ キロメートル。慣例により、また $k_{0}=0.9996$ そして $E_{0}=500$ キロメートル

以下の式では、距離はキロメートル単位、角度はラジアン単位で表されます。まず、いくつかの予備値を示します。

{\begin{aligned}n&={\frac {f}{2-f}},&A&={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right),\\{}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},&\alpha _{2}&={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},&\alpha _{3}&={\frac {61}{240}}n^{3},\\[12pt]\beta _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},&\beta _{2}&={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},&\beta _{3}&={\frac {17}{480}}n^{3},\\[12pt]\delta _{1}&=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},&\delta _{2}&={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},&\delta _{3}&={\frac {56}{15}}n^{3}.\end{aligned}}

緯度、経度（φ、λ）からUTM座標（E、N）へ

まず、いくつかの中間値を計算します。

t=\sinh \left(\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)-{\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\tanh ^{-1}\left({\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\sin \varphi \right)\right),

\xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),

\sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ') ')。

最終的な式は以下のとおりです。

E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),

N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),

k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{t^{2}+\cos ^{2}(\lambda -\lambda _{0})}}}},

\gamma =\tan ^{-1}\left({\frac {\tau {\sqrt {1+t^{2}}}+\sigma t\tan(\lambda -\lambda _{0})}{\sigma {\sqrt {1+t^{2}}}-\tau t\tan(\lambda -\lambda _{0})}}\right).

どこ $E$ イースティングです、 $N$ ノーシングです、 $k$ はスケールファクターであり、 $\gamma$ グリッドコンバージェンスとは、グリッド収束のことです。

UTM座標（E、N、ゾーン、半角）から緯度、経度（φ、λ）へ

注：北半球の場合は Hemi = +1、南半球の場合は Hemi = −1 となります。

まず、いくつかの中間値を計算してみましょう。

\xi ={\frac {N-N_{0}}{k_{0}A}},\,\,\,\eta ={\frac {E-E_{0}}{k_{0}A}},

\xi '=\xi -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\eta '=\eta -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),

\sigma '=1-\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\tau '=\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),

\chi =\sin ^{-1}\left({\frac {\sin \xi '}{\cosh \eta '}}\right).

最終的な式は以下のとおりです。

\varphi =\chi +\sum _{j=1}^{3}\delta _{j}\sin \left(2j\chi \right),

\lambda _{0}=\mathrm {Z} \mathrm {o} \mathrm {n} \mathrm {e} \times 6^{\circ }-183^{\circ }\,

\lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {\sinh \eta '}{\cos \xi '}}\right),

k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\cos ^{2}\xi '+\sinh ^{2}\eta '}{\sigma '^{2}+\tau '^{2}}}}},

\gamma =\mathrm {H} \mathrm {e} \mathrm {m} \mathrm {i} \times \tan ^{-1}\left({\frac {\tau '+\sigma '\tan \xi '\tanh \eta '}{\sigma '-\tau '\tan \xi '\tanh \eta '}}\right).

UTMゾーン内の地図の歪み

横メルカトル図法は正角投影であるため、UTM座標系で表された地図は視角や局所的な形状を歪ませることはなく、縮尺の歪みは等方的です。特定の地点における歪みは、（方向に依存しない）縮尺係数によって完全に記述されます。 $k$ グリッド収束角 $\gamma$ これらはどちらも中心子午線からのずれに依存する。 $\lambda _{0}$ 使用されたUTMゾーンの。

より具体的に言うと、UTM地図では、中心の経線以外の経線はわずかに湾曲しており、その回転（任意の点における接線）はグリッド収束角によって決まります。 $\gamma$ そこで。スケールファクターは $k_{0}$ 中央子午線において。それぞれの値は緯度によって異なる。 $\phi$ 経度の偏差 $\Delta \lambda =\lambda -\lambda _{0}$ 楕円体パラメータを用いた式は上に示したが、より単純な一次近似式も有用である。

\gamma \approx \Delta \lambda \sin \varphi \approx (32.39'')(E-E_{0})_{\text{in km}}\tan \varphi

^{[ 14 ]}

k\approx k_{0}\left(1+{\tfrac {1}{2}}(\Delta \lambda _{\text{in radians}})^{2}\cos ^{2}\varphi \right)

スケールファクターの二次依存性により、中心子午線付近ではほぼ一定となり、ゾーンの端に近づくにつれて急速に増加します。ゾーンの端では、 $\Delta \lambda =\pm 3$ °の場合、縮尺係数は赤道で約1.0010、北緯45°で約1.0005です。中央子午線から東西約180kmの距離では、緯度に関係なく縮尺係数は正確に1になります。

MTMや特定の米国SPCSなど、より狭いゾーンを持つ代替座標系では、単一ゾーンのカバー範囲が狭くなるという代償を伴いますが、スケールの歪みを2乗的に小さくすることができます。

これらの式は $\gamma$ そして $k$ これらは、例えば測量士の測定値など、地上距離と天文（真）方位で記述された経路をUTM座標に変換する場合に特に重要です。小規模測量（範囲 <1 km）の場合、 $\gamma$ そして $k$ はどちらも、対象領域全体でほぼ一定です。ただし、地上距離をグリッドに変換するには、標高のスケール係数を補正する必要もあります（標高ゼロの基準ジオイドに投影）。中規模測量（東西方向数km）の場合、 $\gamma$ 表現された領域全体にわたって物質である可能性があり、式の一部で示されているように $E$ しかし、 $k$ その領域全体にわたる影響は無視できる程度です。実際には、測量士は通常、1つの複合スケール係数（中央子午線からの平均距離と標高をカバーする）と1つのグリッド収束角を使用して、任意の地籍測量をデジタル化および座標パラメータ化しますが、変更を余儀なくされる場合もあります。 $\gamma$ 東西方向に長い測線に沿って隣接する測量データと統合する場合、これらの近似値は精度が低くなります。ただし、インフラ整備事業や長距離の行政境界の再測量など、より大規模な測量には適していません。

参考文献

↑ 「ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）」。PROJ座標変換ソフトウェアライブラリ。
↑スナイダー、ジョン P. (1987).地図投影法：実用マニュアル. 米国政府印刷局.
↑ Dracup, Josef F.「NOAAの歴史 - 測量と地図作成 - 測地測量 1940 - 1990」。www.history.noaa.gov 。2019年12月18日にオリジナルからアーカイブ済み。
1 2 Buchroithner, Manfred F. ; Pfahlbusch, René. 権威ある地図における測地グリッド ― UTM グリッドの起源に関する新たな発見。Cartography and Geographic Information Science、2016、 doi:10.1080/15230406.2015.1128851。
↑赤道半径6,378,206.4メートル、極半径6,356,583.8メートル
↑赤道半径6,378,388メートル、扁平率297の逆数
↑ 「地図データム」 .地図ツール：ナビゲーションツール. 2026年2月24日取得。
↑ 「ユニバーサルグリッド：ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）とユニバーサル極ステレオ図法（UPS）」（PDF）。米国国家地理空間情報局。1989年9月18日。2024年2月13日にオリジナルからアーカイブ（ PDF）。 2024年2月13日に取得。
↑ 「軍事地図の読み方 201」（PDF）。国家地理空間情報局。2002年5月29日。 2009年6月19日取得。
↑ルイのクルーガー (1912)。「Ebene における Erdellipsoids の要求」。 Deutsches GeoForschungsZentrum GFZ。土井: 10.2312/GFZ.b103-krueger28。{{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）
↑ Karney, Charles FF (2011). "数ナノメートルの精度を持つ横メルカトル図法". Journal of Geodesy . 85 (8): 475–485 . arXiv : 1002.1417 . Bibcode : 2011JGeod..85..475K . doi : 10.1007/s00190-011-0445-3 . S2CID 118619524 .
↑川瀬和也（2012）：ガウス・クリューガー投影における広範な座標変換式の簡潔な導出、国土地理院紀要、 60、pp 1–6
↑川瀬和也 (2011):の計算一般式とその座標変換への応用, 国土地理院紀要, 59 , 1–13
↑ハートリー、ティム（2011年秋）。「測量統合時に留意すべきいくつかの実践的なヒント」（PDF）。オンタリオ州プロフェッショナル測量士。54 （4）：4。2025年12月15日取得。

外部リンク

GoogleマップのUTM座標。 2023年8月10日にWayback Machineにアーカイブされました。
UTM投影法を理解する。 2023年8月10日にWayback Machineにアーカイブされました。

さらに読む

スナイダー、ジョン・P. (1987).地図投影法 ― 実用マニュアル。米国地質調査所専門論文1395。米国政府印刷局、ワシントンDC

[1] 「ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）」。PROJ座標変換ソフトウェアライブラリ。

[2] スナイダー、ジョン P. (1987).地図投影法：実用マニュアル. 米国政府印刷局.

[Dracup-3] Dracup, Josef F.「NOAAの歴史 - 測量と地図作成 - 測地測量 1940 - 1990」。www.history.noaa.gov 。2019年12月18日にオリジナルからアーカイブ済み。

[Buchroithner-4] 1 2 Buchroithner, Manfred F. ; Pfahlbusch, René. 権威ある地図における測地グリッド ― UTM グリッドの起源に関する新たな発見。Cartography and Geographic Information Science、2016、 doi:10.1080/15230406.2015.1128851。

[5] 赤道半径6,378,206.4メートル、極半径6,356,583.8メートル

[6] 赤道半径6,378,388メートル、扁平率297の逆数

[7] 「地図データム」 .地図ツール：ナビゲーションツール. 2026年2月24日取得。

[8] 「ユニバーサルグリッド：ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）とユニバーサル極ステレオ図法（UPS）」（PDF）。米国国家地理空間情報局。1989年9月18日。2024年2月13日にオリジナルからアーカイブ（ PDF）。 2024年2月13日に取得。

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[kruger-10] ルイのクルーガー (1912)。「Ebene における Erdellipsoids の要求」。 Deutsches GeoForschungsZentrum GFZ。土井: 10.2312/GFZ.b103-krueger28。{{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）

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ユニバーサル横メルカトル座標系

歴史

定義

UTMゾーン

例外

重なり合うグリッド

緯度帯

UTM座標を使用して位置を特定する

簡略化された数式

緯度、経度（φ、λ）からUTM座標（E、N）へ

UTM座標（E、N、ゾーン、半角）から緯度、経度（φ、λ）へ

UTMゾーン内の地図の歪み

関連項目

参考文献

外部リンク

さらに読む

関連するトピック

楕円体を

横メルカトル

図法

投影した座標系