北極点 に向かって螺旋状に伸びる航路（等角航路）の画像航海 において、等角航路 （rhumb ( ) またはloxodromeとも 呼ば れる）とは、すべての経線を同じ角度で横切る弧のことです。 これは真北 に対する一定 の 方位角を 持つ 航路であり、一定の方位 を維持することで操舵 できます。ドリフト が問題にならない場合、等角航路の正確な追跡は速度 に依存しません。
実際の航海では、この真方位線 と磁方位線 が区別されます。磁方位線とは、磁北 に対する一定の方位を示す航路のことです。航海士は磁気コンパス を使って磁方位線を容易に航行できますが、地球の表面では磁気偏角 （真北と磁北 の間の角度）が変化するため、この航路は真方位線とは言えません。
磁気コンパスを用いて正確な航路を進むには、航海士は変化する偏角を補正するために、磁気方位を継続的に調整しなければならない。これは帆船時代 において大きな課題であった。なぜなら、正確な偏角を決定するには、船の経度 を正確に把握する必要があり、これは近代以前の航海における中心的な未解決問題であったからである。
六分儀 を用い、晴れた夜空の下では、目に見える天の北極星 を基準として方向を定めることが可能です。磁極の位置は固定されていません。北半球では、近年の歴史の大部分において、北極星が 真北の近似値として用いられてきました。南半球にはそのような星はなく、航海士は南十字星（クルックス座とも呼ばれる）を参考に南天の極の位置を推測するなど、より複雑な方法に頼ってきました 。
コンパスのみで正確な航路を進むことが実用的になったのは、現代のジャイロコンパスの発明によるものである。ジャイロコンパスは、磁力ではなく、自身の 角運動量 の安定した内部ベクトルを基準として真北を決定する装置である。
導入 地球儀の表面上で航路に沿って進むことの効果については、ポルトガルの 数学者 ペドロ・ヌネス が1537年に著書『海図擁護論』の中で初めて論じ、1590年代には トーマス・ハリオット によってさらに数学的に発展させられた。
航路は、球面上の2点間の最短距離を示す大円 とは対照的です。大円では、目的地への方位は一定ではありません。大円に沿って車を運転する場合、ハンドルは固定したままですが、航路に沿って運転するにはハンドルを回す必要があり、極に近づくにつれてより大きく回さなければなりません。言い換えれば、大円は局所的に「直線」であり、測地曲率は ゼロですが、航路はゼロではない測地曲率を持ちます。
経線と緯線は、交角がそれぞれ0°と90°となる、航路の特殊なケースである。南北航路では航路は大円と一致するが、赤道に沿った東西航路でも同様である 。
メルカトル 図法では、等角航路は直線です。地球上の任意の2点間に等角航路を描くことができ、地図の端からはみ出すことはありません。ただし、等角航路は地図の端を超えて延長することができ、その場合、出発点と同じ傾斜と緯度で反対側の端から続きます（地図が正確に360度の経度をカバーしていると仮定した場合）。
経線を斜めに横切る等角航路は、極に向かって螺旋状に伸びる等角航路曲線です。[ 1 ] 北極 と南極は 無限遠にあるため、表示されません。しかし、無限に高い地図上の完全な等角航路は、2つの端の間にある無限に多くの線分で構成されます。立体投影 図では、等角航路は、中心が北極または南極である等角螺旋です。
すべての等角航路は一方の極 からもう一方の極まで螺旋状に伸びています。極付近では、対数螺旋に非常に近い形状をしており（ 立体投影図上 ではまさに対数螺旋となります。下記参照）、各極の周りを無限回巻きますが、極に到達するまでの距離は有限です。等角航路の極から極までの長さ（完全な球体を仮定した場合）は、 子午線 の長さを真北からの方位角の余弦 で割った値です。等角航路は極では定義されません。
語源と歴史的記述 ロクソドロームという 言葉は、古代ギリシャ語 のλοξός loxós : "斜め" + δρόμος drómos : "走る" (δραμεῖν drameîn : "走る" から)に由来します。ラムという 言葉は、スペイン 語 またはポルトガル語の rumbo/rumo ("コース" または "方向") とギリシャ語のῥόμβος rhómbos [ 2 ] あります 。
1878年版の『地球百科事典』では、 ロクソドローム線を 次のように説明しています。[ 3 ]
等角 航路とは、与えられた曲面の曲率線系のすべての要素を同じ角度で切断する曲線のことです。同じ方位に向かって航行する船は、すべての経線を同じ角度で切断するこのような線を描きます。メルカトル図法（参照）では、等角航路は明らかに直線です。[ 3 ]
誤解が生じる可能性があるのは、「rhumb」という用語が使われ始めた当初は明確な意味がなかったためです。この用語は「局所的に」のみ適用され、船乗りが一定の方位で航行するために行うすべてのことを意味していたため、風配図の 線にも等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等しく等えていたからです。したがって、「rhumb」は、ポルトランが使用されていたときの ポルトラン の直線にも適用され、メルカトル図法の直線にも常に適用されました。短い距離では、ポルトランの「rhumb」はメルカトル図法の「rhumb」と意味的に違いはありませんが、今日では、「rhumb」は数学的に正確な「loxodrome」と同義語になっています。これは、遡及的に同義語になったためです。レオ・バグロウが述べているように: [ 4 ]
「ルムライン」という言葉は、この時代の海図には誤って用いられています。なぜなら、ロクソドロームが正確な航路を示すのは、海図が適切な投影法で描かれている場合に限られるからです。測量学的調査により、初期の海図には投影法が用いられていなかったことが明らかになったため、私たちはこれらの海図を「ポルトラン」と呼び続けています。
数学的記述 半径 1 の球の場合、方位角λ 、極角− π / 2 φ ≤ π / 2 (ここでは緯度に対応するように定義)、およびデカルト単位ベクトル i j k r を
r （ λ 、 φ ） = （ コス λ ⋅ コス φ ） 私 + （ 罪 λ ⋅ コス φ ） j + （ 罪 φ ） k 。 {\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.} 直交単位ベクトルは次のように表すことができます。
λ ^ （ λ 、 φ ） = 秒 φ ∂ r ∂ λ = （ − 罪 λ ） 私 + （ コス λ ） j 、 φ ^ （ λ 、 φ ） = ∂ r ∂ φ = （ − コス λ ⋅ 罪 φ ） 私 + （ − 罪 λ ⋅ 罪 φ ） j + （ コス φ ） k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}} スカラー積 を持つ
λ ^ ⋅ φ ^ = λ ^ ⋅ r = φ ^ ⋅ r = 0 。 {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.} φに対する λ̂ λに対する φ̂
単位ベクトル
β ^ （ λ 、 φ ） = （ 罪 β ） λ ^ + （ コス β ） φ ^ {\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} は、任意のλ とφ に対して単位ベクトルφ̂ β を持ちます。なぜなら、それらのスカラー積は
β ^ ⋅ φ ^ = コス β 。 {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.} 等角航路は、球面上の曲線で、すべての経線と一定の角度βを持ち、したがって単位ベクトル β̂ dsは 微小変位を生じる。
d r = β ^ d s ∂ r ∂ λ d λ + ∂ r ∂ φ d φ = （ （ 罪 β ） λ ^ + （ コス β ） φ ^ ） d s （ コス φ ） d λ λ ^ + d φ φ ^ = （ 罪 β ） d s λ ^ + （ コス β ） d s φ ^ d s = コス φ 罪 β d λ = d φ コス β d λ d φ = タン β ⋅ 秒 φ λ （ φ | β 、 λ 0 、 φ 0 ） = タン β ⋅ （ グド − 1 φ − グド − 1 φ 0 ） + λ 0 φ （ λ | β 、 λ 0 、 φ 0 ） = グド （ （ λ − λ 0 ） ベビーベッド β + グド − 1 φ 0 ） {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}} どこグド {\displaystyle \operatorname {gd} } グド − 1 {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}} はグーデルマン関数 とその逆関数であり、グド ψ = アークタン （ シン ψ ） 、 {\displaystyle \operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),} グド − 1 φ = アルシン （ タン φ ） 、 {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi ),} アルシン {\displaystyle \operatorname {arsinh} } は逆双曲線正弦 です。
λ とφ のこの関係により、半径ベクトルは1つの変数のパラメトリック関数となり、球面上に等角航路を描き出す。
r （ λ | β 、 λ 0 、 φ 0 ） = （ コス λ ⋅ セック ψ ） 私 + （ 罪 λ ⋅ セック ψ ） j + （ タン ψ ） k 、 {\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,} どこ
ψ ≡ （ λ − λ 0 ） ベビーベッド β + グド − 1 φ 0 = グド − 1 φ {\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi } は等尺緯度 である。[ 5 ]
等角航路では、緯度が極に近づくにつれて、φ → ± π / 2 sin φ → ±1 、等長緯度arsinh(tan φ ) → ± ∞ となり、経度λ は際限なく増加し、極に向かって螺旋状に球面を非常に速く周回しながら、有限の総弧長 Δ s に収束します。
Δ s = R | （ ± π / 2 − φ 0 ） ⋅ 秒 β | {\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}
メルカトル図法との関連性 ポルトガルのリスボンとキューバのハバナを結ぶ航路（青）と大円弧（赤）を比較した図。上図：正投影図。下図：メルカトル図法。 λを 球面上の点の経度、φ をその緯度とする。このとき、メルカトル図法 の地図座標を次のように定義する。
x = λ − λ 0 、 y = グド − 1 φ = アルシン （ タン φ ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}} 真北からの一定の方位角 β を持つ等角航路は直線になります。なぜなら（前のセクションの式を使用すると）
y = m x {\displaystyle y=mx} 傾斜のある
m = ベビーベッド β 。 {\displaystyle m=\cot \beta \,.} 与えられた2点間の等角航路を求めるには、メルカトル図法を用いて図式的に求めるか、未知数m = cot β λ 0
等角航路に沿って測定した2点間の距離Δsは 、方位角（方位角）の割線の絶対値に南北距離を掛けた値に等しくなります（ただし、緯線 上の 場合は距離が無限大になります）。
Δ s = R | （ φ − φ 0 ） ⋅ 秒 β | {\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}} ここでRは 地球の平均半径 の1つである。
応用 航海におけるその使用は、特定の航海図の様式、つまり投影法 と直接的に関連している。メルカトル 図法では、航路は直線として表される。[ 1 ]
その名前は、それぞれ古フランス語またはスペイン語の「rumb」 または「rumbo」に由来し、海図上で全ての経線と等角で交わる線を意味します。[ 1 ] [ 1 ] 大圏 航路は等角航路よりも大幅に短くなります。しかし、大圏航路を移動する際に方位を継続的に変更しなければならないという不便さから、等角航路による航行が 特定の状況で魅力的になることがあります。[ 1 ]
この点は、赤道 に沿って経度90度 を超える東西航路で説明できます。この場合、大圏航路と等角航路の距離は同じで、10,000キロメートル（5,400海里） です。北緯20度では、大圏航路の距離は9,254 km（4,997 海里） ですが、等角航路の距離は9,397 km（5,074 海里） で、約1.5%長くなっています。しかし、北緯60度では、大圏航路の距離は4,602 km（2,485 海里） ですが、等角航路は5,000 km（2,700 海里）で、8.5%の差があります。より極端な例としては、 ニューヨーク市 と香港 間の航空路があり、等角航路は18,000 km（9,700 海里） です。北極点上空を通る大圏航路は13,000 km (7,000 nmi) で、通常の巡航速度では飛行時間 が 5 時間 半 短く
メルカトル図法で描かれた古い地図の中には、緯線 と経線 で構成されたグリッドだけでなく、北を真正面に、北に対して直角に、または北に対して直角の単純な有理数分数となる角度で描かれた航路も示されているものがあります。これらの航路は、地図上の特定の地点で収束するように描かれていました。つまり、あらゆる方向に向かう線が、これらの地点で収束するのです。方位図 を参照してください。このような地図は必然的にメルカトル図法で描かれていたため、すべての古い地図に航路のマーキングが描かれていたわけではありません。
羅針盤の放射状の線は、方位線とも呼ばれます。 「方位線に沿って航行する」 という表現は、16世紀から19世紀にかけて、特定の羅針盤の方向を示すために使用されました。[ 1 ]
航海用クロノメーター が発明される以前の時代の初期の航海士は、長距離の海洋航海では等角航路を使用していた。これは、太陽や星の観測によって船の緯度を正確に特定できたが、経度を正確に決定する方法がなかったためである。船は目的地の緯度に達するまで北または南に航行し、その後、等角航路（実際には等角航路の特殊なケースである平行 線）に沿って東または西に航行し、一定の緯度を維持しながら、陸地の証拠が見えるまで航行した距離の推定値を定期的に記録した。[ 6 ]
一般化
リーマン球面上 地球の表面は、数学的にはリーマン球面 、すなわち球面を複素平面 に投影したものとして理解することができる。この場合、等角航路は、ある種のメビウス変換 として理解することができる。
参考文献 1 2 3 4 5 6 オックスフォード大学出版局Rhumb Line。『The Oxford Companion to Ships and the Sea』、オックスフォード大学出版局、2006年。Encyclopedia.comより2009年7月18日に取得。 ↑ Rhumb （TheFreeDictionaryより）1 2 Ross, JM (編集) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information 、第 4 巻、エジンバラ、スコットランド、Thomas C. Jack、Grange Publishing Works、 Google Books から2009 年 3 月 18 日に取得。 ↑ レオ・バグロウ (2010).地図製作の歴史 . トランザクション・パブリッシャーズ. p. 65. ISBN 978-1-4128-2518-4 。 ↑ ジェームズ・アレクサンダー、「ロクソドローム：航路」、Mathematics Magazine、第77巻、第5号、2004年12月。 ↑ デイビッド・ハワース著『英国海軍力の簡潔な歴史』、コンスタブル＆ロビンソン社、ロンドン、2003年、第8章。 ↑ Smart, WM (1946). 「航法における問題について」 . 王立天文学会月報 . 106 (2): 124– 127. Bibcode : 1946MNRAS.106..124S . doi : 10.1093/mnras/106.2.124 . ↑ Williams, JED (1950). "地球上の等角航路距離". Journal of Navigation . 3 (2): 133– 140. Bibcode : 1950JNav....3..133W . doi : 10.1017/S0373463300045549 . S2CID 128651304 . ↑ Carlton-Wippern, KC (1992). "On Loxodromic Navigation". Journal of Navigation . 45 (2): 292– 297. Bibcode : 1992JNav...45..292C . doi : 10.1017/S0373463300010791 . S2CID 140735736 . ↑ Bennett, GG (1996). "回転楕円体上の実用的な航路計算". Journal of Navigation . 49 (1): 112– 119. Bibcode : 1996JNav...49..112B . doi : 10.1017/S0373463300013151 . S2CID 128764133 . ↑ バージニア州ボトネフ。ウスチノフ、SM (2014)。 Методы резения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [ 高精度測地線問題の直接解法および逆解法] (PDF) 。サンクトペテルブルク国立工科大学紀要 （ロシア語）。3 ( 198): 49–58 。 2014年8月21日にオリジナル（PDF） からアーカイブ。 2014年 9月13日 に取得 。↑ Karney, CFF (2024). "The area of rhumb polygons" . Studia Geophysica et Geodaetica . 68 ( 3–4 ): 99–120 . arXiv : 2303.03219 . Bibcode : 2024StGG...68...99K . doi : 10.1007/s11200-024-0709-z . 注： この記事は、パブリックドメインの著作物である『The Globe Encyclopaedia of Universal Information 』1878年版のテキストを引用しています。
さらに読む モンモニエ、マーク（2004）。航路と地図戦争：メルカトル図法の社会史 。ISBN 9780226534329 。
外部リンク MathPagesの「定数見出し線と方位線」 。 RhumbSolve(1) は、楕円体航路計算のためのユーティリティです（GeographicLibのコンポーネントです）。 RhumbSolveのオンライン版。 航行アルゴリズム2018年10月16日にWayback Machine に アーカイブされた論文: The Sailings。 海図作業 - 航海アルゴリズム海図作業無料ソフトウェア: 等角航路、大圏航路、複合航法、子午線部分。位置線 操船 - 海流と沿岸測位。 マスワールド・ロクソドローム。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34d81fb2b1a3ad419be5c412b1c88607a3d5e6d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c4559bdfa734475654bd52f2e41265e5a33bf9)
