マトリックス力学

1925年、ヴェルナー・ハイゼンベルクはゲッティンゲンで水素のスペクトル線を計算する問題に取り組んでいた。1925年5月までに、彼は観測量のみで原子系を記述しようと試み始めた。6月7日、アスピリンとコカインで数週間花粉症を和らげることができなかった後、 ^{[ 3 ]}ハイゼンベルクは花粉のない北海の島、ヘリゴラント島へ向かった。そこで、登山やゲーテの『西東詩集』の詩の暗記の合間に、彼はスペクトル問題について考え続け、最終的に非可換な観測量を採用すれば問題が解決するかもしれないと気づいた。彼は後に次のように書いている。

計算の最終結果が目の前に現れたのは、夜中の3時頃だった。最初はひどく動揺した。興奮のあまり眠ることもできなかった。そこで家を出て、岩の上で日の出を待った。^{[ 4 ]： 275}

ハイゼンベルクはゲッティンゲンに戻った後、ヴォルフガング・パウリに自身の計算結果を見せ、ある時点で次のようにコメントした。

全てはまだ曖昧で不明瞭ですが、電子はもう軌道上を移動しなくなるようです。^{[ 5 ]}

7月9日、ハイゼンベルクはマックス・ボルンに自身の計算の論文を渡し、「とんでもない論文を書いてしまったので、出版に出す勇気がなく、ボルンに読んでもらって助言してほしい」と告げた。その後、ハイゼンベルクはしばらくその場を離れ、ボルンに論文の分析を任せた。^{[ 6 ]}

その論文の中で、ハイゼンベルクは電子軌道を明確に定義することなく量子論を定式化し、周波数や遷移確率といった実験的に観測可能な量のみに焦点を当てた量子論の再解釈を直接的に提唱した。

ハイゼンベルクの論文以前に、ヘンドリック・クレイマースは、軌道のフーリエ係数を強度として解釈することで、ゾンマーフェルト模型におけるスペクトル線の相対強度を計算していた。しかし、彼の答えは、古い量子論における他のすべての計算と同様に、大きな軌道に対してのみ正しかった。

ハイゼンベルクは、クレイマースとの共同研究の後、^{[ 7 ]}量子遷移を記述する遷移確率は古典力学とは異なる新しい解釈が必要になると考えるようになった。なぜなら、ハイゼンベルクは、電子の位置を記述する系列に現れる周波数は、古典的な軌道の従来のフーリエ級数から得られる空間周波数の完全なセットではなく、量子遷移で実験的に観測されるもの（スペクトル線など）のみであるべきだと考えていたからである。

ハイゼンベルクの元の定式化における量は、位置を2つのインデックスを持つ「仮想振動子」の系列として記述する系列であり、2つのインデックスは量子遷移の初期状態と最終状態を表していた。^{[ 8 ]}フーリエ級数の乗算から予想される乗算規則に従うのではなく、ハイゼンベルクは非可換乗算規則を形成し、位置状態の乗算によって量子遷移でのみ見られる周波数が保存されるようにした。

ボルンは論文を読んだとき、特に非可換乗法則という定式化が、ブレスラウ大学^でヤコブ・ロザネス^{[ 10 ]}の下で学んだ行列の体系的な言語[ ^{9 ]}に転写して拡張できるものであると認識した。ボルンは助手であり元教え子のパスクアル・ジョーダンの助けを借りて、すぐに転写と拡張に取り掛かり、その結果を論文として提出した。論文はハイゼンベルクの論文からわずか60日後に受理された^{[ 11 ] 。}

3人の著者全員によって、年末までに続編論文が投稿された。^{[ 12 ]}（量子力学の行列力学定式化の発展におけるボーンの役割の簡単な概説と、確率振幅の非可換性に関する重要な公式についての議論は、ジェレミー・バーンスタインの記事で見ることができる。^{[ 13 ]}詳細な歴史的および技術的な説明は、メーラとレヒェンベルクの著書『量子論の歴史的発展 第3巻 行列力学の定式化とその修正 1925-1926』で見ることができる。 ^{[ 14 ]}）

この時まで、行列は物理学者によってほとんど使用されておらず、純粋数学の領域に属するものと考えられていたため、その使用法を知らない物理学者に行列代数を紹介するために、ボーンとジョーダンの論文が必要だった。グスタフ・ミーは1912年の電気力学に関する論文で、ボーンは1921年の結晶の格子理論に関する研究で行列を使用していた。これらの場合、行列は使用されていたが、量子力学の行列定式化のように、行列の乗算を伴う行列代数は登場しなかった。^{[ 15 ]}

しかし、すでに述べたように、ボーンはロザネスから行列代数を学んでいたが、1912年に出版されたヒルベルトの著作『線形積分方程式の一般理論の基礎』をボーンが引用していることから明らかなように、無限個の変数に対するヒルベルトの積分方程式と二次形式の理論も学んでいた。 ^{[ 16 ] [ 17 ]}

ジョーダンもまた、その任務に十分な能力を備えていた。彼は長年にわたり、ゲッティンゲンでリヒャルト・クーラントの助手として、クーラントとダフィット・ヒルベルトの共著『数理物理学の方法論 I』の執筆に携わっており、この本は1924年に出版された。^{[ 18 ]}この本には、幸運にも量子力学の継続的な発展に必要な数学的ツールが数多く含まれていた。

1926年、ジョン・フォン・ノイマンはデイヴィッド・ヒルベルトの助手となり、量子力学の発展に用いられた代数と解析を記述するためにヒルベルト空間という用語を造語した。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}

この定式化への重要な貢献は、1925年のディラックの再解釈/合成論文^{[ 21 ]}で達成され、この論文は、全体の非可換構造を完全に示しながら、今日一般的に使用されている言語とフレームワークを発明しました。

行列力学以前の古い量子論では、粒子の運動は古典的な軌道によって記述され、位置と運動量はそれぞれX ( t )とP ( t )と明確に定義されていました。ただし、運動量と速度の積を1 周期Tにわたって時間積分すると、プランク定数( h )の正の整数倍になるという制約がありました。これは、ゾンマーフェルト・ウィルソンの量子化条件によって説明されます。$${\displaystyle \ \int _{0}^{T}P\;{\frac {\ \mathrm {d} X\ }{\mathrm {d} t}}\;\mathrm {d} t\ =\ \int _{0}^{T}P\;\mathrm {d} X=n\ h~.}$$ この制約は正しいエネルギー値E _nを持つ軌道を正しく選択するが、従来の量子形式論では、放射線の放出や吸収などの時間依存のプロセスを記述できなかった。

古典的な粒子が放射場と弱く結合していて、放射減衰を無視できる場合、その粒子は軌道周期ごとに繰り返されるパターンで放射を放出します。放出される波を構成する周波数は軌道周波数の整数倍であり、これはX ( t )が周期的であるという事実を反映しているため、そのフーリエ表現には周波数⁠ 2 π n / T ⁠しかありません。 $${\displaystyle X(t)\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\ 2\pi nt/T}X_{n}~.}$$ 係数X _nは複素数です。負の周波数を持つものは、正の周波数を持つものの複素共役でなければなりません。そうすることで、 X ( t )は常に実数になります。 $${\displaystyle X_{n}=X_{-n}^{*}~.}$$

一方、量子力学的粒子は連続的に放射線を放出することはできず、光子のみを放出することができます。ボーアモデルでは、量子数nから始まり、軌道数mに遷移して光子を放出する量子粒子の場合、光子のエネルギーはE _n − E _mであり、周波数は⁠ E _n − E _m / h ⁠となります。

nとmが大きいが、n-mが比較的小さい場合、ボーアの対応原理は同じ古典的周波数を予測する。 $${\displaystyle E_{n}-E_{m}\approx {\frac {\ h\ (nm)\ }{T}}~.}$$ 上記の式において、Tは軌道nまたは軌道mの古典周期である。なぜなら、両者の差はhの高次の項となるからである。しかし、 nとmが小さい場合、あるいはn-mが大きい場合、周波数はどの単一周波数の整数倍にもならない。

古典力学では、粒子が放出する周波数は、その運動のフーリエ記述における周波数と同じであるため、ハイゼンベルクは、粒子の時間依存記述において、周波数⁠ E _n − E _m / h ⁠で振動する何かが存在するはずだと推論した。ハイゼンベルクはこの量をX _nmと呼び、古典極限では古典的なフーリエ係数に帰着するはずだと主張した。nとmの値が大きく、 n − mが比較的小さい 場合、 X _nmは軌道nにおける古典的な運動の( n − m )番目のフーリエ係数となる。X _{nm は}X mn_とは逆の周波数を持つため、Xが実数である という条件は次のようになる。$${\displaystyle X_{nm}=X_{mn}^{*}~.}$$

定義上、X _{nm は}周波数⁠ E _n − E _m / h ⁠のみを持つため、その時間発展は次のように記述できます。 $${\displaystyle \ X_{nm}(t)\ =\ e^{i\ 2\pi \left(E_{n}-E_{m}\right)t/h}\ X_{nm}(0)\ =\ e^{i\ \left(E_{n}-E_{m}\right)t/\hbar }\ X_{nm}(0)~.}$$ これはハイゼンベルクの運動方程式の原形である。

2 つの物理量を記述する2 つの配列X _nmとP _nmが与えられたとき、それぞれを古典的なフーリエ級数としてモデル化すると、それらの乗算X _nk P _kmもまた、新しいフーリエ級数の一部として新しい周波数をもたらすことが期待されます。2 つの量の積のフーリエ係数は、それぞれのフーリエ係数の畳み込みですが、ハイゼンベルクは乗算規則を変更し、各成分を乗算したときに、新しい周波数が量子軌道に既に存在する周波数のみに対応するようにしました。 $${\displaystyle \ \left(X\ P\right)_{mn}\ =\ \sum _{k=0}^{\infty }\ X_{mk}\ P_{kn}~.}$$

ボーンは、これが行列乗算の法則であることに気づき、理論における位置、運動量、エネルギー、すべての観測可能な量が行列として解釈されることを知った。この乗算規則の下では、積は順序に依存する。X PはP Xとは異なる。

X行列は、量子力学的粒子の運動を完全に記述するものです。量子運動における周波数は共通の周波数の倍数ではないため、行列要素を鋭い古典的軌道のフーリエ係数として解釈することはできません。しかしながら、行列として、X ( t )とP ( t )は古典的な運動方程式を満たします。詳しくは、後述のエーレンフェストの定理を参照してください。

1925年にヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスカル・ジョルダンによって提唱された行列力学は、当初はすぐには受け入れられず、論争の的となった。その後、シュレーディンガーが提唱した波動力学は、大いに支持された。

その理由の一つは、ハイゼンベルクの定式化が当時としては奇妙な数学的言語で書かれていたのに対し、シュレーディンガーの定式化は馴染みのある波動方程式に基づいていたことだった。しかし、より深い社会学的理由もあった。量子力学は二つの道筋で発展してきた。一つはアインシュタインが提唱した光子の波動・粒子二重性を強調する道筋であり、もう一つはボーアが発見した離散的なエネルギー状態と量子ジャンプを強調する道筋である。ド・ブロイはアインシュタインの枠組みの中で離散的なエネルギー状態を再現した。量子条件は定常波条件であり、これはアインシュタイン学派の人々に、量子力学の離散的な側面すべてが連続波力学に包含されるという希望を与えた。

一方、行列力学は、離散的なエネルギー状態と量子ジャンプに関心を寄せていたボーア学派から生まれた。ボーアの追随者たちは、電子を波動として、あるいは何らかの物理現象として捉えるモデルを高く評価しなかった。彼らは、実験に直接結びつく量に焦点を当てることを好んだ。

原子物理学において、分光法は原子と光量子との相互作用から生じる原子遷移に関する観測データをもたらした。ボーア学派は、理論には分光法によって原理的に測定可能な量のみを盛り込むべきだと主張した。これらの量にはエネルギー準位とその強度が含まれるが、ボーア軌道における粒子の正確な位置は含まれない。水素原子の基底状態にある電子が原子核の右側にあるのか左側にあるのかを判定できる実験を想像するのは非常に難しい。そのような疑問には答えがないというのが、彼らの確固たる信念であった。

行列定式化は、すべての物理的観測量が、要素が 2 つの異なるエネルギーレベルでインデックス付けされた行列で表されるという前提に基づいて構築されました。^{[ 22 ]}行列の固有値の集合は、最終的に、観測量が取り得るすべての可能な値の集合であると理解されました。ハイゼンベルク行列はエルミート行列であるため、固有値は実数です。

観測量を測定し、その結果が特定の固有値である場合、対応する固有ベクトルは測定直後のシステムの状態を表します。行列力学における測定行為は、システムの状態を縮退させます。2つの観測量を同時に測定すると、システムの状態は2つの観測量の共通固有ベクトルに縮退します。ほとんどの行列は共通の固有ベクトルを持たないため、ほとんどの観測量を同時に正確に測定することはできません。これが不確定性原理です。

2 つの行列が固有ベクトルを共有する場合、それらは同時に対角化できます。 両方とも対角化されている基底では、対角行列の乗算は単なる数の乗算であるため、それらの積は順序に依存しないことは明らかです。 対照的に、不確定性原理は、2 つの行列AとB が必ずしも可換ではない、つまりAB − BA が必ずしも 0 に等しくないという事実を表しています。 行列力学の基本的な交換関係は、 $${\displaystyle \sum _{k}\left(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km}\right)=i\hbar \,\delta _{nm}}$$ つまり、明確な位置と運動量を同時に持つ状態は存在しないということである。

この不確定性原理は、他の多くの観測量のペアにも当てはまります。例えば、エネルギーは位置と可換ではないため、原子内の電子の位置とエネルギーを正確に決定することは不可能です。

1928年、アルベルト・アインシュタインはハイゼンベルク、ボルン、ジョーダンをノーベル物理学賞に推薦した。^{[ 23 ]} 1932年のノーベル物理学賞の発表は1933年11月まで延期された。^{[ 24 ]}その時に、ハイゼンベルクが「量子力学の創始、その応用によりとりわけ水素の同素体の発見につながった」功績により1932年の賞を受賞したことが発表され[ 25]、エルヴィン・シュレーディンガーとポール・アドリアン・モーリス・ディラックが「原子論の新たな生産的な形態の発見^{」により1933}年の賞を共同受賞したことが発表された。^{[ 25 ]}

1933年11月25日、ボルンはハイゼンベルクから手紙を受け取った。その中でハイゼンベルクは、自分だけが「ゲッティンゲンであなた、ジョーダン、そして私と共同で行った研究」に対してノーベル賞を受賞したことに「良心の呵責」を感じたため、手紙を書くのが遅れたと述べていた。ハイゼンベルクはさらに、ボルンとジョーダンの量子力学への貢献は「外部からの誤った決定」によって変わることはないと述べている。^{[ 26 ]} 1954年、ハイゼンベルクはマックス・プランクの1900年の洞察を称える記事を書いた。その記事の中で、ハイゼンベルクは行列力学の最終的な数学的定式化はボルンとジョーダンによるものだと述べ、彼らの量子力学への貢献がいかに偉大であったかを強調したが、それは「世間一般には十分に認められていない」と述べている。^{[ 27 ]}

振動子の質量と周波数が1に等しい単位系（無次元化を参照）では、振動子のエネルギーは $${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\left(\ P^{2}+X^{2}\right)~.}$$

Hのレベルセットは時計回りの軌道であり、位相空間では入れ子になった円である。エネルギーEを持つ古典的な軌道は

${\textstyle \ X(t)=+{\sqrt {2E\ }}\ \cos(t)\qquad }$そして${\textstyle \qquad P(t)=-{\sqrt {2E\ }}\ \sin(t)~.}$

従来の量子条件によれば、軌道上のP d Xの積分、すなわち位相空間における円の面積は、プランク定数の整数倍でなければならない。半径√ 2 Eの円の面積は2 π E である 。したがって $${\displaystyle E={\frac {\ n\ h\ }{2\pi }}=n\ \hbar \ ,}$$ または、ħ ≡ 1となる自然単位では、エネルギーは整数になります。

X ( t )とP ( t )のフーリエ成分は単純であり、位置Xと運動量Pの和と差として再表現するとさらに単純になる。 

${\textstyle \ A(t)=X(t)+i\ P(t)={\sqrt {2E\ }}\ e^{-i\ t}\qquad }$そして${\textstyle \qquad A^{\dagger }(t)=X(t)-i\ P(t)={\sqrt {2E\ }}\ e^{+i\ t}~.}$

AとA ^†はどちらも単一の周波数しか持たず、XとPはAとA ^†の同様の和と差から復元できる 。

A ( t )は最低周波数のみを持つ古典的なフーリエ級数であり、行列要素Amn_は古典軌道の( m - n )番目のフーリエ係数であるため、 Aの行列は対角線のすぐ上の行でのみ非ゼロであり、その行は√2Enに等しい_。A †の行列^も同様に、対角線の下の行でのみ非ゼロであり、同じ要素を持つ。したがって、AとA ^†から再構成する と、$${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\ X(0)={\sqrt {\hbar \ }}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1\ }}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1\ }}&0&{\sqrt {2\ }}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2\ }}&0&{\sqrt {3\ }}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3\ }}&0&{\sqrt {4\ }}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}}\ ,}$$ そして $${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\ P(0)={\sqrt {\hbar \ }}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1\ }}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2\ }}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2\ }}&0&-i{\sqrt {3\ }}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3\ }}&0&-i{\sqrt {4\ }}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}}\ ,}$$ これらは、単位の選択を除けば、調和振動子のハイゼンベルク行列である。どちらの行列も、実数のフーリエ係数から構成されているため、エルミート行列である。

X ( t )とP ( t )を求めるのは簡単である。なぜなら、これらは量子フーリエ係数であり、時間とともに単純に変化するからである。

${\textstyle \ X_{mn}(t)\ =\ X_{mn}(0)\ e^{i\ (E_{m}-E_{n})t}\qquad }$そして${\textstyle \qquad P_{mn}(t)\ =\ P_{mn}(0)\ e^{i\ (E_{m}-E_{n})t}~.}$

XとPの行列積はエルミート行列ではなく、実部と虚部を持つ。実部は対称式XP + PXの半分であり、虚部は交換子に比例し、次のように表される。 $${\displaystyle \ {\bigl [}\ X\ ,\ P\ {\bigr ]}\ \equiv \ X\ P-P\ X~.}$$ 調和振動子の特殊な場合、XP − PXがi ħ Iであることを明示的に確認するのは簡単です。ここでIは単位行列です。

行列が $${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\left(\ X^{2}+P^{2}\right)}$$は対角行列 であり、固有値はE _iです。

調和振動子は重要なケースである。行列を求めることは、これらの特殊な形式から一般的な条件を決定するよりも容易である。このため、ハイゼンベルクはハミルトニアンを持つ非調和振動子を研究した。$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}P^{2}+{\tfrac {1}{2}}X^{2}+\varepsilon X^{3}~.}$$

この場合、対応する古典軌道がわずかに圧縮され、変位しているため、 X行列とP行列はもはや単純な非対角行列ではなく、すべての古典周波数でフーリエ係数を持ちます。行列要素を決定するために、ハイゼンベルクは、古典的な運動方程式が行列方程式として満たされることを要求しました。 $${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=P~,\qquad {\frac {dP}{dt}}=-X-3\varepsilon X^{2}~.}$$

彼は、これが可能であれば、XとPの行列関数とみなされるHは、時間微分がゼロになることに気づいた。 $${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=P*{\frac {dP}{dt}}+\left(X+3\varepsilon X^{2}\right)*{\frac {dX}{dt}}=0~,}$$ ここでA ∗ Bは反交換子であり、 $${\displaystyle A*B={\tfrac {1}{2}}(AB+BA)~.}$$

非対角要素の周波数がすべてゼロでないことから、Hが定数であることはHが対角行列であることを意味する。ハイゼンベルクにとって、このシステムでは、任意の量子システムにおいてエネルギーが厳密に保存されることが明らかであり、これは非常に心強い兆候であった。

光子の放出と吸収の過程は、エネルギー保存則がせいぜい平均的に成り立つことを要求しているように思われた。ちょうど1つの光子を含む波がいくつかの原子を通過し、そのうちの1つがそれを吸収した場合、その原子は他の原子に、もうその光子を吸収できないことを知らせる必要がある。しかし、原子が遠く離れている場合、信号は他の原子に時間内に届かず、結局同じ光子を吸収してエネルギーを周囲に散逸させてしまう可能性がある。信号が他の原子に到達したとき、他の原子は何らかの方法でそのエネルギーを回収しなければならない。このパラドックスにより、ボーア、クレイマース、スレーターは厳密なエネルギー保存則を放棄した。ハイゼンベルクの形式論は、電磁場を含めるように拡張されると、明らかにこの問題を回避することになり、理論の解釈には波動関数の崩壊が伴うことを示唆していた。

古典的な運動方程式が維持されることを要求するだけでは、行列要素を決定するには十分な条件とは言えません。プランク定数は古典的な方程式には現れないため、ħのさまざまな値に対して行列を構築しても、運動方程式は満たされますが、エネルギー準位は異なる可能性があります。

したがって、ハイゼンベルクは自身のプログラムを実行するために、まず古い量子条件を用いてエネルギー準位を固定し、次に古典方程式のフーリエ係数を用いて行列を埋め、最後に古典方程式が満たされるように行列係数とエネルギー準位をわずかに変更する必要があった。これは明らかに不十分である。古い量子条件は、新しい形式体系には存在しない、鋭い古典軌道によって囲まれた領域を指している。

ハイゼンベルクが発見した最も重要なことは、従来の量子力学の条件を、行列力学における単純な記述に変換する方法を見出したことである。

そのため、彼は作用積分を行列量として調査し、 $${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){\frac {dX_{kn}}{dt}}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle$$ ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.}

この積分にはいくつかの問題があり、それらはすべて行列形式と従来の軌道の概念との不整合に起因しています。どの周期T を使用すべきでしょうか?半古典的には、 mまたはnのいずれかであるべきですが、その差はħ のオーダーであり、 ħのオーダーの答えが求められています。量子条件によれば、J _{mn は}対角成分が2 πnであるため、 Jが古典的に一定であるという事実から、非対角成分はゼロであることがわかります。

彼の重要な洞察は、量子条件をnに関して微分することであった。この考え方は、 nが整数ではなく連続的な作用変数Jである古典極限においてのみ完全に意味を成すが、ハイゼンベルクは行列を用いて同様の操作を行い、その中間表現は離散的な差分であったり、微分であったりした。

以下の議論では、分かりやすさを優先するため、微分は古典的な変数に対して行い、その後、対応原理に基づいて行列力学への移行を行う。

古典的な設定では、導関数はJを定義する積分のJに関する導関数であるため、それは恒真式的に 1 に等しくなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{}{\frac {d}{dJ}}\int _{0}^{T}PdX&=1\\&=\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}+P{\frac {d}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}-{\frac {dP}{dt}}{\frac {dX}{dJ}}\right)\end{aligned}}}$$ ここで、導関数⁠ dP / dJ ⁠および⁠ dX / dJ ⁠ は、近傍の軌道上の対応する時刻におけるJに関する差分として解釈されるべきであり、これは軌道運動のフーリエ係数を微分した場合に得られるものと全く同じである。（これらの導関数は、位相空間において時間導関数⁠ dP / dt ⁠および⁠ dX / dt ⁠とシンプレクティックに直交する。）

最終的な式は、 Jに正準共役な変数、すなわち角度変数θを導入することによって明確化される。時間に関する微分は、2πT の係数を除いて θ に関する微分である。 $${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{d\theta }}-{\frac {dP}{d\theta }}{\frac {dX}{dJ}}\right)=1\,.}$$ つまり、量子条件積分は、XとPのポアソン括弧の1サイクルにわたる平均値である。

P dXのフーリエ級数の同様の微分により、ポアソン括弧の非対角要素がすべてゼロであることが示されます。X と P のような正準共役変数 2 個のポアソン括弧は定数1なので、この積分は実際には 1 の平均値です。つまり、結局⁠ dJ / dJ ⁠なので、ずっとわかっていたように 1 になります。しかし、ハイゼンベルク、ボルン、ジョルダンは、ディラックとは異なり、ポアソン括弧の理論に精通していなかったので、彼らにとって微分は、J、θ座標で{ X, P } を効果的に評価していました。

ポアソン括弧は、作用積分とは異なり、行列力学への簡単な変換を持ちます。通常、それは2つの変数の積の虚数部、つまり交換子に対応します。

これを確認するには、対応極限における2つの行列AとBの（反対称化された）積を調べます。ここで、行列の要素はインデックスの緩やかに変化する関数であり、古典的には答えがゼロになることに注意してください。

対応極限では、添え字m、n が大きく近接している一方で、k、rが小さい場合、対角方向の行列要素の変化率は、対応する古典量のJ微分行列の要素になります。したがって、対応を通して任意の行列要素を対角方向にシフトすることが可能です。 $${\displaystyle A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({\frac {dA}{dJ}}\right)_{mn}}$$ ここで、右辺は実際には、この半古典的次数におけるm付近の軌道での⁠ dA / dJ ⁠の( m − n )番目のフーリエ成分にすぎず、完全に明確に定義された行列ではありません。

行列要素の半古典的時間微分は、対角線からの距離を乗じることで、 係数iまで得られます。$${\displaystyle ikA_{m(m+k)}\approx \left({\frac {T}{2\pi }}{\frac {dA}{dt}}\right)_{m(m+k)}=\left({\frac {dA}{d\theta }}\right)_{m(m+k)}\,.}$$ 係数A _{m ( m + k )}は、半古典的にはm番目の古典軌道のk番目のフーリエ係数であるためです。

AとBの積の虚数部は、行列の要素をずらして古典的な答えであるゼロを再現することで評価できる。

先頭の非ゼロ残差は、シフトによって完全に与えられます。すべての行列要素は、大きなインデックス位置( m、m )から距離が小さいインデックスにあるため、2 つの一時的な表記法を導入すると便利です。 行列の場合はA [ r、k ] = A _{( m + r )( m + k ) 、古典量の}r番目のフーリエ成分 の場合は⁠ dA / dJ ⁠ [ r ]です。$${\displaystyle {\begin{aligned}(AB-BA)[0,k]&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }{\bigl (}A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]{\bigr )}\\&=\sum _{r}\left(A[-r+k,k]+(r-k){\frac {dA}{dJ}}[r]\right)\left(B[0,k-r]+r{\frac {dB}{dJ}}[r-k]\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.\end{aligned}}}$$

最初の和の和の変数をrからr ′ = k − rに反転すると、行列要素は次のようになります。 $${\displaystyle \sum _{r'}\left(A[r',k]-r'{\frac {dA}{dJ}}[k-r']\right)\left(B[0,r']+(k-r'){\frac {dB}{dJ}}[r']\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]}$$ そして、主要な（古典的な）部分が相殺されることは明らかです。

残差表現における高次の導関数の積を無視すると、主要な量子部分は次のようになる。 $${\displaystyle \sum _{r'}\left({\frac {dB}{dJ}}[r'](k-r')A[r',k]-{\frac {dA}{dJ}}[k-r']r'B[0,r']\right)}$$ つまり、最終的に、 $${\displaystyle (AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left({\frac {dB}{dJ}}[r']i{\frac {dA}{d\theta }}[k-r']-{\frac {dA}{dJ}}[k-r']i{\frac {dB}{d\theta }}[r']\right)}$$これは、ポアソン括弧のk番目の古典的なフーリエ成分のi倍 と同一視できる。

ハイゼンベルクの当初の微分トリックは、最終的にボルンとジョーダンとの共同研究により、量子条件の完全な半古典的導出へと拡張された。 $${\displaystyle i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \longmapsto \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar \,,}$$ この条件は従来の量子化規則に取って代わり、それを拡張したもので、任意のシステムの行列要素PとXをハミルトニアンの形式から簡単に決定できるようにした。

新しい量子化規則は、古い量子論からの導出には半古典的な推論が必要であったにもかかわらず、普遍的に真であると想定されていた。（ただし、括弧のより詳細な議論については、1940年代には、ポアソン括弧をモヤル括弧に拡張することに相当する完全な量子論的扱いが認められていた。）

標準量子力学への移行において最も重要な追加要素は、量子状態ベクトル（現在は| ψ⟩と表記される）であり、これは行列が作用するベクトルである。状態ベクトルがなければ、ハイゼンベルク行列がどの特定の運動を記述しているのかが明確ではない。なぜなら、ハイゼンベルク行列はどこかで全ての運動を含んでいるからである。

状態ベクトルの解釈は、その成分がψ _mと表記され、Born によって提供された。この解釈は統計的である。行列Aに対応する物理量の測定結果はランダムであり、平均値は $${\displaystyle \sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}\,.}$$ あるいは、同等に、状態ベクトルは量子システムがエネルギー状態nにある確率振幅ψ _nを与えます。

状態ベクトルが導入されると、行列力学は任意の基底に回転できるようになり、H行列はもはや対角である必要がなくなります。ハイゼンベルクの運動方程式は、元の形式では、 A _{mn は}フーリエ成分のように時間とともに変化する と述べています。$${\displaystyle A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,}$$ これは微分形式に書き換えることができる $${\displaystyle {\frac {dA_{mn}}{dt}}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}$$そして、 H行列が対角値E _mを持つ対角行列 であることに注目することで、任意の基底で真となるように言い換えることができる。 $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=i(HA-AH)~.}$$ これは行列方程式なので、任意の基底で成り立ちます。これはハイゼンベルク運動方程式の現代版です。

その正式な解は次のとおりです。 $${\displaystyle A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.}$$

上記の運動方程式のすべての形式は、A ( t )がユニタリ行列e ^iHtによる基底回転によってA (0)と等価であるということと同じことを述べています。これは、ディラックがブラケット記法で明らかにした体系的な図です。

逆に、各時刻における状態ベクトルの基底をe ^iHtだけ回転させることで、行列の時間依存性を解消することができる。行列は時間に依存しなくなるが、状態ベクトルは回転する。 $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\qquad {\frac {d|\psi \rangle }{dt}}=-iH|\psi \rangle \,.}$$ これは状態ベクトルに対するシュレーディンガー方程式であり、この時間依存の基底変換は、 ⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x )となるシュレーディンガー図への変換に相当する。

ハイゼンベルク描像の量子力学では、状態ベクトル| ψ⟩は時間とともに変化せず、観測量Aはハイゼンベルク運動方程式を満たします。

追加条項は、次のような事業者向けです。 $${\displaystyle A=\left(X+t^{2}P\right)}$$ これらは、議論したユニタリー発展による時間依存性に加えて、明示的な時間依存性を持つ。

ハイゼンベルク描像は時間と空間を区別しないため、シュレーディンガー方程式よりも相対論的理論に適しています。さらに、古典物理学との類似性はより明白です。古典力学のハミルトン運動方程式は、上記の交換子をポアソン括弧に置き換えることで得られます（下記も参照）。ストーン・フォン・ノイマンの定理により、ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像はユニタリー等価でなければなりません（詳細は下記参照）。

ジョーダンは、交換関係によりPが微分演算子として作用することが保証されると指摘した。

演算子の同一性 $${\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}$$これにより、 PとXの任意のべき乗と の交換子の評価が可能になり、$${\displaystyle \left[P,X^{n}\right]=-in~X^{n-1}}$$ これは線形性と相まって、P交換子がXの任意の解析的行列関数を効果的に微分することを意味する。

限界が適切に定義されていると仮定すると、これは任意の関数に拡張されますが、ある程度の数学的厳密さが要求されるまでは、拡張を明示的に行う必要はありません。

Xはエルミート行列であるため、対角化可能であり、 Pの最終的な形式から、すべての実数が固有値になり得ることが明らかになります。空間内の各点にそれぞれ固有の固有ベクトルが存在するため、数学的な理解はやや複雑になります。

Xが対角行列である基底では、任意の状態は固有値xを持つ状態の重ね合わせとして記述できます。 $${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,,}$$ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩ となり、演算子Xは各固有ベクトルにxを掛けます。 $${\displaystyle X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.}$$

ψを微分する線形演算子Dを定義する。 $${\displaystyle D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,,}$$ そして、次の点に注意してください。 $${\displaystyle (DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,,}$$ したがって、演算子− iDはPと同じ交換関係に従います。したがって、 Pと− iDの差はXと交換可能でなければなりません。 $${\displaystyle [P+iD,X]=0\,,}$$そのため、 X と同時に対角化することができます。X の任意の固有状態に作用するその値は、固有値xの何らかの関数fになります。

この関数は実数でなければならない。なぜなら、Pと− iDはどちらもエルミート関数だからである。 $${\displaystyle (P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,,}$$ 各状態|x⟩を位相f ( x )だけ回転させる、つまり波動関数の位相を再定義する。 $${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,.}$$ オペレーターIDは、以下の値によって再定義されます。 $${\displaystyle iD\rightarrow iD+f(X)\,,}$$ つまり、回転基底では、Pは− iDに等しい。

したがって、 Xの固有値には、任意の波動関数に対するPの作用が既知となる基底が常に存在する。 $${\displaystyle P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,,}$$ そしてこの基底におけるハミルトニアンは、状態ベクトル成分に関する線形微分演算子であり、 $${\displaystyle \left[{\frac {P^{2}}{2m}}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{\frac {1}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle }$$

したがって、状態ベクトルの運動方程式は、有名な微分方程式にすぎない。

Dは微分演算子であるため、意味のある定義を行うには、与えられた値に隣接するXの固有値が存在しなければなりません。このことから、 Xのすべての固有値の空間がすべての実数であり、Pが位相回転を除いてiDであるということしか考えられません。

これを厳密にするためには、関数の極限空間について適切な議論を行う必要があり、この空間において、ストーン・フォン・ノイマンの定理が成り立つ。すなわち、交換関係を満たす任意の演算子XとPは、微分演算子Pを用いて波動関数の空間に作用させることができる。これは、常にシュレーディンガー描像が利用可能であることを意味する。

行列力学は、自然な方法で多数の自由度へと容易に拡張できる。各自由度にはそれぞれ独立したX演算子と独立した有効微分演算子Pがあり、波動関数は、互いに可換な独立なX変数のすべての可能な固有値の関数となる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X_{i},X_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[P_{i},P_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[X_{i},P_{j}\right]&=i\delta _{ij}\,.\end{aligned}}}$$

特に、これは、 3次元空間におけるN個の相互作用する粒子の系が、すべてのXが対角成分である基底における成分が3N次元空間の数学関数であり、それらの可能なすべての位置を記述する1つのベクトルによって記述されることを意味します。これは、1つの物理空間におけるN個の3次元波動関数の集合よりもはるかに大きな値の集合です。シュレーディンガーは独立に同じ結論に達し、最終的に自身の形式がハイゼンベルクの形式と等価であることを証明しました。

波動関数はシステム全体の性質であり、特定の部分の性質ではないため、量子力学における記述は完全に局所的ではありません。複数の量子粒子を記述する際には、粒子同士が相関、すなわち量子もつれ状態にあるとみなされます。この量子もつれ状態は、離れた粒子間に奇妙な相関関係を生み出し、古典的なベルの不等式を破ることになります。

粒子が2つの位置にしか存在できない場合でも、N個の粒子の波動関数は、位置の配置ごとに1つずつ、2N個の複素数を必要とします。^これはNの指数関数的に多くの数となるため、コンピュータ上で量子力学をシミュレーションするには指数関数的なリソースが必要になります。逆に、これは、古典的には2Nビットを必要とする問題の答えを物理的に計算できる、 Nサイズの量子システムを見つけることが可能であることを示唆しています。これが^量子コンピューティングの目指すところです。

時間によらない演算子XとPの場合、∂ A / ∂ t = 0なので、上記のハイゼンベルク方程式は次のように簡略化されます。^{[ 28 ]}$${\displaystyle i\hbar {\frac {dA}{dt}}=[A,H]=AH-HA,}$$ ここで角括弧[ , ]は交換子を表す。ハミルトニアンが⁠ p ² / 2 m ⁠ + V ( x )の場合、X演算子とP演算子は次の式を満たす。 $${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\frac {P}{m}},\quad {\frac {dP}{dt}}=-\nabla V,}$$ ここで、1つ目は古典的には速度、2つ目は古典的には力、またはポテンシャル勾配です。これらはハミルトンのニュートンの運動法則の形式を再現します。ハイゼンベルク描像では、X演算子とP演算子は古典的な運動方程式を満たします。方程式の両辺の期待値を取ると、任意の状態| ψ⟩において次のことがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle \\[1.5ex]{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.\end{aligned}}}$$

つまり、ニュートンの法則は、任意の状態における演算子の期待値によって厳密に満たされる。これはエーレンフェストの定理であり、ハイゼンベルクの運動方程式の自明な帰結ではあるが、エーレンフェストが発見したシュレーディンガーの描像においては、それほど自明ではない。

古典力学において、位相空間座標の正準変換とは、ポアソン括弧の構造を保持する変換のことである。新しい変数x ′、p ′ は、元の変数x、pと同様に、互いに同じポアソン括弧を持つ。時間発展は正準変換である。なぜなら、任意の時刻における位相空間は、他の任意の時刻における位相空間と同様に、変数の選択として適切だからである。

ハミルトン流は正準変換である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\rightarrow x+dx=x+{\frac {\partial H}{\partial p}}dt\\[1ex]p&\rightarrow p+dp=p-{\frac {\partial H}{\partial x}}dt~.\end{aligned}}}$$

ハミルトニアンはxとpの任意の関数になり得るので、すべての古典量Gに対応するこのような無限小の正準変換が存在する。ここでGはハミルトニアンとして機能し、時間増分sに対して位相空間内の点の流れを生成する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {\partial G}{\partial p}}ds=\left\{G,X\right\}ds\\[1ex]dp&=-{\frac {\partial G}{\partial x}}ds=\left\{G,P\right\}ds\,.\end{aligned}}}$$

位相空間上の一般関数A ( x , p )の場合、この写像による 各ステップdsでの微小変化は次のようになる。$${\displaystyle dA={\frac {\partial A}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A}{\partial p}}dp=\{A,G\}ds\,.}$$ 量Gは、正準変換の無限小生成子と呼ばれる。

量子力学では、量子アナログGはエルミート行列であり、運動方程式は交換子によって与えられます。 $${\displaystyle dA=i[G,A]ds\,.}$$

微小な正準運動は、ハイゼンベルク運動方程式が積分されたのと同様に、形式的に積分することができる。 $${\displaystyle A'=U^{\dagger }AU}$$ ここで、U = e ^iGsであり、sは任意のパラメータである。

したがって、量子正準変換の定義は、すべての状態ベクトルの空間における任意のユニタリ基底変換である。Uは任意のユニタリ行列であり、位相空間における複素回転である。 $${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}\,.}$$ これらの変換は、波動関数成分の絶対値の二乗の合計を不変に保ちつつ、互いに倍数である状態（互いに虚数倍である状態を含む）を、互いに同じ倍数である状態に変換する。

これらの行列の解釈は、それらが状態空間上の運動の生成器として機能するというものである。

例えば、Pによって生成される運動は、 Pをハミルトニアンとして ハイゼンベルク運動方程式を解くことによって求めることができる。$${\displaystyle {\begin{aligned}dX&=i[X,P]ds=ds\\[1ex]dP&=i[P,P]ds=0\,.\end{aligned}}}$$これらは、単位行列の倍数による 行列Xの平行移動です。$${\displaystyle X\rightarrow X+sI~.}$$これは微分演算子D の解釈です。e iPs = e ^D、微分演算子の指数関数は平行移動です(つまり^、ラグランジュのシフト演算子です)。

X演算子も同様にP空間における並進を生成します。ハミルトニアンは時間空間における並進を生成し、角運動量は物理空間における回転を生成し、演算子X ² + P ²は位相空間における回転を生成します。

物理空間における回転のような変換がハミルトニアンと可換である場合、その変換はハミルトニアンの対称性（縮退の背後にある）と呼ばれ、回転座標で表現されたハミルトニアンは元のハミルトニアンと同じになります。これは、無限小対称性生成子Lの下でのハミルトニアンの変化がゼロになることを意味します。 $${\displaystyle {\frac {dH}{ds}}=i[L,H]=0\,.}$$

したがって、時間変換による生成子の変化も消滅する。 $${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=i[H,L]=0}$$ つまり、行列Lは時間的に一定であり、保存される。

無限小対称性生成子と保存則の一対一対応は、古典力学においてエミー・ネーターによって発見された。古典力学では交換子はポアソン括弧であるが、量子力学の推論は同一である。量子力学では、任意のユニタリ対称変換は保存則をもたらす。なぜなら、行列 U が次の性質を持つ場合、 $${\displaystyle U^{-1}HU=H}$$ したがって、 $${\displaystyle UH=HU}$$そして、 U の時間微分はゼロである、つまりUは保存される。

ユニタリ行列の固有値は純粋な位相であるため、ユニタリ保存量の値は実数ではなく、単位大きさの複素数になります。言い換えれば、ユニタリ行列はi倍エルミート行列の指数関数であるため、加法的な保存実量である位相は2πの整数倍までしか定義されません。ユニタリ対称行列が単位行列に限りなく近い行列族の一部である場合にのみ、保存実量は一値となり、その場合、保存されるという要求はより厳しい制約となります。

単位元に連続的に接続できる対称性を連続対称性と呼ばれ、並進、回転、ブーストなどがその例です。単位元に連続的に接続できない対称性を離散対称性と呼ばれ、空間反転（パリティ）や電荷共役などがその例です。

行列を正準変換の生成子として解釈したのはポール・ディラックである。^{[ 29 ]}対称性と行列の対応関係は、時間反転を含む対称性を記述する反ユニタリ行列を含めると完全であることがユージン・ウィグナーによって示された。

ハイゼンベルクにとって、振動のフーリエ係数である行列Xの要素の絶対値の二乗が、電磁放射の放出率を与えることは物理的に明白だった。

大きな軌道の古典的な極限では、位置X ( t )と電荷qを持つ電荷が、位置 0 にある等しく反対の電荷の隣で振動している場合、瞬間的な双極子モーメントはq X ( t )であり、このモーメントの時間変化はベクトルポテンシャルの時空間変化に直接変換され、入れ子になった外向きの球面波を生み出します。

原子の場合、放出される光の波長は約1万倍であり、放射場への寄与は双極子モーメントのみであり、原子電荷分布の他の詳細はすべて無視できる。

バックリアクションを無視すると、各出力モードで放射される電力は、 dの各独立した時間フーリエモードの二乗からの個別の寄与の合計になります。 $${\displaystyle P(\omega )={\tfrac {2}{3}}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.}$$

さて、ハイゼンベルクの表現では、双極子モーメントのフーリエ係数はXの行列要素です。この対応関係により、ハイゼンベルクは遷移強度、つまり初期状態iから出発して光子が放出され、原子が最終状態jにジャンプする時間の割合に関する規則を与えることができました。 $${\displaystyle P_{ij}={\tfrac {2}{3}}\left(E_{i}-E_{j}\right)^{4}\left|X_{ij}\right|^{2}\,.}$$

これにより、行列要素の大きさを統計的に解釈することが可能になった。すなわち、スペクトル線の強度、双極子放射の放出による量子ジャンプの確率などを表す。

遷移率は行列Xの要素によって与えられるため、X _ijがゼロの場合には、対応する遷移は存在しないはずである。これらは選択則と呼ばれ、行列力学の登場までは謎であった。

スピンを無視した水素原子の任意の状態は、| n ; l , m ⟩で表され、 lの値は全軌道角運動量の尺度であり、mはそのz成分で、軌道の向きを定義します。角運動量擬似ベクトルの成分は次のとおりです 。$${\displaystyle L_{i}=\varepsilon _{ijk}X^{j}P^{k}}$$ ここで、この式における積は、XとPの異なる成分が可換であるため、順序と実数に依存しない。

Lと 3 つの座標行列X、Y、Z (または任意のベクトル) との交換関係は簡単に見つけることができます。$${\displaystyle \left[L_{i},X_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}X_{k}\,,}$$ これは、演算子L が座標行列ベクトルXの 3 つの成分間の回転を生成することを確認するものです。

このことから、L _zと座標行列X、Y、Zの交換子を読み取ることができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X\right]&=iY\,,\\[1ex]\left[L_{z},Y\right]&=-iX\,.\end{aligned}}}$$

これは、量X + iYとX − iYが単純な交換関係を持つことを意味します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X+iY\right]&=(X+iY)\,,\\[1ex]\left[L_{z},X-iY\right]&=-(X-iY)\,.\end{aligned}}}$$

調和振動子ハミルトニアンのX + iPとX − iPの行列要素と同様に、この交換法則は、これらの演算子が特定のmの状態においてのみ特定の非対角行列要素を持つことを意味します。 $${\displaystyle L_{z}{\bigl (}(X+iY)|m\rangle {\bigr )}=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle }$$ つまり、行列( X + iY )は、固有値mを持つL _zの固有ベクトルを、固有値m + 1を持つ固有ベクトルに取り替えます。同様に、( X − iY )はm を1 単位減らしますが、 Z はmの値を変えません。

したがって、 L ²とL _{z が}確定値を持つ| l , m ⟩状態の基底では、 mが同じか 1 単位変化する場合を除き、位置の 3 つのコンポーネントの行列要素はゼロになります。

これは、全角運動量の変化に制約を課します。任意の状態は、その角運動量が可能な限りz方向になるように回転できます。ここで、 m = lです。 | l , m ⟩に作用する位置の行列要素は、1単位大きいmの値しか生成できないため、座標が回転して最終状態が| l ′, l ′⟩になった場合、 l ′の値は、初期状態で発生するlの最大値より最大で1つ大きくなります。したがって、 l ′は最大でl + 1です。

行列要素はl ′ > l + 1の場合にゼロになり、逆行列要素はエルミート性によって決定されるため、l ′ < l − 1の場合にもゼロになります。角運動量が 1 単位以上変化する双極子遷移は禁止されています。

ハイゼンベルク運動方程式は、Xの行列要素からハイゼンベルク基底におけるPの行列要素を決定する。 $${\displaystyle P_{ij}=m{\frac {d}{dt}}X_{ij}=im\left(E_{i}-E_{j}\right)X_{ij}\,,}$$ これにより、交換関係の対角部分が、行列要素の大きさに関する和の法則に変換されます。 $${\displaystyle \sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m\left(E_{i}-E_{j}\right)\left|X_{ij}\right|^{2}=i\,.}$$

これにより、任意の状態への、および任意の状態からの分光強度の合計に関する関係式が得られますが、完全に正確であるためには、束縛されていない散乱状態に対する放射捕獲確率からの寄与を合計に含める必要があります。 $${\displaystyle \sum _{j}2m\left(E_{i}-E_{j}\right)\left|X_{ij}\right|^{2}=1\,.}$$