電位勾配

1次元におけるポテンシャル勾配Fの最も単純な定義は次のとおりです。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!}$

ここで、_ϕ ( x )は何らかのスカラーポテンシャル_であり、x_はx方向の変位（距離ではない）であり、添え字は2つの異なる位置x1 、 x2と、それらの点におけるポテンシャルϕ1 = ϕ ( x1 )、ϕ2 = ϕ ( x2 _)を表す。微小変位の極限では、差の比_は微分の比になる。

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!}$

電位勾配の方向は${\displaystyle x_{1}}$に${\displaystyle x_{2}}$。

3次元空間では、直交座標系を用いることで、結果として生じる電位勾配が各方向の電位勾配の合計となることが明らかになる。

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

ここで、e _x、e _y、e _zはx、y、z方向の単位ベクトルです。これは勾配演算子∇ を用いて簡潔に記述できます。

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi \,\!}$

ただし、この最終形式は、直交座標系だけでなく、あらゆる曲線座標系において成り立つ。

この表現は、任意の保存ベクトル場Fの重要な特徴を表しており、すなわちFは対応するポテンシャルϕを持つ。^{[ 2 ]}

ストークスの定理を用いると、これは次のように言い換えられる。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!}$

これは、ベクトル場の回転（∇×で表される）がゼロになることを意味する。

力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ポテンシャルエネルギーの勾配に直接関係している${\displaystyle U\,\!}$出典: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla U\,\!}$

保存的であることが示される重力場gの場合、^{[ 4 ]}重力ポテンシャルの勾配Φに等しい。

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi \,\!}$

重力場と電位の間には符号の逆の関係がある。これは、電位勾配と電位場の方向が逆であるためである。つまり、電位が増加すると重力場の強さは減少し、その逆もまた然りである。

静電気学では、電場Eは時間tに依存しないため、ファラデーの誘導法則による時間依存の磁場Bの誘導は起こらない。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,}$

これは、 Eが電位Vの勾配であり、古典的な重力場と同一であることを意味する。^{[ 5 ]}

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

電気力学では、E場は時間依存であり、時間依存のB場も誘起します (これもファラデーの法則による)。したがって、 Eの回転は以前のようにゼロではなく、電場はもはや電位の勾配ではないことを意味します。時間依存の項を追加する必要があります: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$

ここで、Aは電磁ベクトルポテンシャルである。この最後のポテンシャル表現は、実際にはファラデーの法則を恒等式に簡略化する。

流体力学において、速度場vは流体の運動を表す。非回転流とは、速度場が保存的であることを意味し、あるいは同等に、渦度擬似ベクトル場ωがゼロであることである。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.}$

これにより、速度ポテンシャルは次のように簡単に定義できます。

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$