Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

本書の序文には次のように記されている。^{[ 11 ]}

…合理力学とは、あらゆる力から生じる運動、そしてあらゆる運動を生み出すために必要な力を正確に提案し実証する科学である…したがって、我々はこの著作を彼の哲学の数学的原理として提示する。哲学の難しさは、運動現象から自然の力を研究し、そしてこれらの力から他の現象を実証することにあるように思われる…

ニュートンは、実体的な形態や神秘的な性質を排除し、経験的な調査と経験的な規則性の概説によって世界を説明しようとした当時の科学運動の中に自らを位置づけた。 ^{[ 12 ]}

『プリンキピア』は、主に運動する質量のある物体を扱い、最初は非抵抗媒体と抵抗媒体の両方におけるさまざまな条件と仮説的な力の法則の下で、観測可能な現象においてどの力の法則が作用しているかを観測によって判断するための基準を提供する。天体と地上の投射物の両方の仮説的または可能性のある運動を網羅しようと試み、複数の引力によって摂動される運動の難問を探求する。第3巻、すなわち最終巻では、惑星とその衛星の運動に関する観測の解釈を扱う。

本書：

• 天体観測がいかにして重力の逆二乗法則を検証するかを示している（その精度はニュートンの時代の基準からすれば非常に高いものであった）。
• 既知の巨大惑星、地球、太陽の相対質量の推定値を提供する。
• 太陽系の重心に対する太陽の動きを定義する。
• 重力理論が月の動きの不規則性をどのように説明できるかを示している。
• 地球の形状が扁平であることを特定する。
• 太陽と月が地球の水に及ぼす（そして変化する）重力による擾乱によって、大潮や小潮などの海洋潮汐現象を概ね説明する。
• 分点歳差運動は、月が地球の赤道膨らみに及ぼす重力の影響によるものだと説明している。
• 彗星とその細長くほぼ放物線状の軌道に関する数多くの現象に理論的な根拠を与える。

『プリンキピア』の冒頭部分には、改訂および拡張された形で、ニュートンの1684年の論文『De motu corporum in gyrum』のほぼすべての内容が含まれている^{[ 13 ]}。

『プリンキピア』は「定義」^{[ 14 ]}と「運動の公理または法則」^{[ 15 ]}から始まり、3つの巻に分かれています。

第1巻は「物体の運動について」という副題が付けられており、抵抗媒体がない場合の運動を扱っています。この巻は、「最初と最後の比率の方法」^{[ 16 ]} 、つまり微積分の幾何学的形式^{[ 9 ]}に関する数学的補題の集まりから始まります。

第2節では、求心力と面積の法則（現在ケプラーの第2法則として知られている）との関係を確立し（命題1～3）、^{[ 17 ]}円速度と軌道曲率半径を半径方向の力に関連付け^{[ 18 ]}（命題4）、中心までの距離の2乗に反比例して変化する求心力と円錐曲線の軌道との関係を確立します（命題5～10）。

命題11〜31 ^{[ 19 ]}は、楕円を含む偏心円錐断面の経路における運動の性質と、焦点に向かう逆二乗中心力との関係を確立し、楕円に関するニュートンの定理（補題28）を含んでいます。

命題43〜45 ^{[ 20 ]}は、求心力の下にある偏心軌道において、アプスが移動する可能性がある場合、アプスの列の安定した不動の向きが力の逆二乗法則の指標となることを示すものである。

第1巻には、現実世界の力学とはほとんど関係のない証明もいくつか含まれています。しかし、太陽系や宇宙に広く応用できる章も含まれています。

命題 57〜69 ^{[ 21 ]}は「向心力によって互いに引き合う物体の運動」を扱っています。このセクションは太陽系への応用において特に重要であり、命題 66 ^{[ 22 ]}とその 22 の系が含まれています。^{[ 23 ]}ここでニュートンは、互いに摂動する重力の引力を受ける 3 つの質量のある物体の運動の問題の定義と研究において最初のステップを踏みました。この問題は後に (他の理由の中でも特にその難しさから) 3 体問題として有名になりました。

命題 70～84 ^{[ 24 ]}は球状物体の引力について扱っています。この節には、質量のある球対称物体は、その質量がすべて中心に集中しているかのように、外部の他の物体を引き付けるというニュートンの証明が含まれています。シェル定理と呼ばれるこの基本的な結果により、重力の逆二乗法則を実際の太陽系に非常に高い精度で適用することができます。

当初第1巻に予定されていた内容の一部は第2巻に分割され、主に抵抗媒体を通る運動について扱っている。ニュートンが第1巻で考えられるさまざまな引力の法則の結果を調べたのと同様に、ここでは考えられるさまざまな抵抗の法則を調べている。そのため、第1節では速度に正比例する抵抗について議論し、第2節では速度の2乗に比例する抵抗の意味を検証している。第2巻を通して、ニュートンは流体力学の重要な先駆者であり、後の分析では、その53の命題のほとんどすべてが正しく、疑問の余地があるのは2つか3つだけであることが示された。^{[ 25 ]}第2巻では（第5節で）静水力学と圧縮性流体の性質について議論している。また、ボイルの法則も導出している（ただし、理想気体は弾性流体とは異なるため、これは誤りである）。^{[ 26 ]}第 6節では、ニュートンがさまざまな条件下での振り子の動きを観察することによって、実際の空気抵抗の特性を見つけようとした実験の記述とともに、振り子に対する空気抵抗の影響が研究されています。ニュートンは、異なる特性 (材質、重量、サイズ) を持つ球体の動きに対して、媒体が提供する抵抗を比較します。第 8 節では、流体中の波の速度を決定する規則を導き出し、それらを密度と凝縮 (命題 48; ^{[ 27 ]}これは音響学で非常に重要になります) に関連付けます。彼は、これらの規則が光と音に等しく適用されると仮定し、音速は約 1088 フィート毎秒であり、空気中の水の量に応じて増加する可能性があると推定しています。^{[ 28 ]}

第2巻は第1巻や第3巻ほど時の試練に耐えた部分は少なく、第2巻は主にニュートンの研究以前（そしてその後しばらくの間）広く受け入れられていたデカルトの理論を反駁するために書かれたと言われている。デカルトの渦理論によれば、惑星の運動は惑星間空間を満たす流体渦の回転によって生じ、惑星も一緒に運ばれる。^{[ 29 ]}ニュートンは第2巻^{[ 30 ]}の最後に、渦の仮説は天文学的現象と完全に矛盾しており、説明するよりも混乱させるだけであるとコメントした。

第3巻は「世界の体系について」という副題が付けられており、万有引力の多くの帰結、特に天文学における帰結について解説しています。これは、前の巻の命題に基づいており、第1巻よりもさらに具体的に太陽系で観測される運動に適用されています。ここでは（命題22 ^{[ 31 ]}で導入され、命題25～35 ^{[ 32 ]}で継続されているように） 、月の軌道運動のいくつかの特徴と不規則性、特に変動が展開されています。ニュートンは、依拠した天文学的観測を列挙し^{[ 33 ]}、木星の衛星^{[ 34 ]}から始めて段階的に進み、相互引力の逆二乗法則が太陽系の天体に適用されることを確立し、この法則が普遍的に適用されることを段階的に示しています。^{[ 35 ]また、補題 4 [ 36 ]}および命題 40 ^{[ 37 ]}から始めて、ジョン・フラムスティードとエドモンド・ハレーから多くのデータが得られた彗星の運動の理論を示し、潮汐を説明し、^{[ 38 ]}太陽^{[ 39 ]}と月^{[ 40 ]}の潮汐運動への寄与を定量的に推定しようと試み、分点歳差の最初の理論を提示しています。^{[ 41 ]}第 3 巻では、3 次元の調和振動子と任意の力法則での運動も考察しています。

第3巻でニュートンは、太陽系の重心からの「ずれ」を1680年代半ばにすでに認識していたため、やや現代的な修正を加えた太陽中心説も明らかにした。^{[ 42 ]}ニュートンにとって、「地球、太陽、およびすべての惑星の共通の重心は世界の中心とみなされるべきである」^{[ 43 ]}そしてこの中心は「静止しているか、または直線に沿って一様に前進している」^{[ 44 ]} 。ニュートンは「世界のシステムの中心は不動である」という立場を採用した後、2番目の選択肢を否定した。「これはすべての人に認められているが、地球がその中心に固定されていると主張する人もいれば、太陽がその中心に固定されていると主張する人もいる」。^{[ 44 ]}ニュートンは太陽と木星、太陽と土星の質量比を推定し、^{[ 45 ]}これらの質量比から太陽の中心は通常、共通の重心からわずかに離れているが、その距離はせいぜい「太陽の直径の1つ分にしかならない」と指摘した。^{[ 46 ]}

『プリンキピア』で力学を構築する際に用いられた定義の順序は、今日でも多くの教科書で見ることができる。ニュートンはまず質量の定義を提示した。

物質の量とは、その密度と大きさから生じるものである。密度が2倍で空間が2倍の物体は、量が4倍になる。私はこの量を物体、あるいは質量と呼ぶ。

これは後に「運動量」（今日では運動量と呼ばれる）の定義と、質量が従来のデカルト的な内在力の概念に取って代わる慣性の原理の定義に用いられた。そして、物体の運動量の変化を通して力を導入する道が開かれた。興味深いことに、ニュートンは量の変化率に時間の次元を導入していないため、現代の読者にとっては、この説明は次元的に不正確に見える。

彼は空間と時間を「誰もが知っているような形」ではなく定義した。代わりに、彼は「真の」時間と空間を「絶対的な」ものとして定義し^{[ 47 ]} 、次のように説明した。

ただ、一般の人々は、これらの量を知覚可能な対象との関係以外では理解しないということを指摘しておかなければなりません。そして、それらを絶対的なものと相対的なもの、真のものと見かけ上のもの、数学的なものと一般的なものに区別するのが便利でしょう。……絶対的な場所や動きの代わりに、相対的なものを用いますが、日常的な事柄においては、それは何ら不便ではありません。しかし、哲学的な議論においては、感覚から一歩引いて、知覚可能な尺度とは区別して、物事そのものを考察すべきなのです。

現代の読者の中には、今日では認識されているいくつかの力学的量が『プリンキピア』の中で用いられていたものの、名前が付けられていなかったように見える人もいるかもしれない。最初の2巻の数学的な側面は非常に明確に一貫していたため、容易に受け入れられた。例えば、ジョン・ロックはクリスティアーン・ホイヘンスに数学的証明を信頼できるかどうかを尋ね、その正しさについて確約を得た。

しかし、遠隔作用する引力の概念は、より冷淡な反応を受けた。ニュートンはメモの中で、逆二乗法則は物質の構造から自然に生じると記した。しかし、出版された版ではこの記述を撤回し、惑星の運動は逆二乗法則と一致すると述べたものの、法則の起源については推測することを拒否した。ホイヘンスとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、この法則がエーテルの概念と相容れないと指摘した。したがって、デカルト的な観点からすれば、これは欠陥のある理論であった。ニュートンの弁護はその後、多くの著名な物理学者に採用された。彼は、理論の数学的形式はデータを説明するので正しいに違いないと指摘し、重力の基本的な性質についてそれ以上推測することを拒否した。この理論によって整理できる現象の膨大な数は非常に印象的であったため、若い「哲学者」たちはすぐに『プリンキピア』の方法と用語を採用した。

一般注釈は、1713年の第2版に追加された結論のエッセイであり（1726年の第3版で修正された）、^{[ 49 ]}振り子の実験や空気、水、その他の流体による抵抗について論じた第2巻第6節の一般注釈と混同してはならない。

ここでニュートンは、『プリンキピア』初版に対する批判に答えて「仮説を立てない」という表現を用いました。^{[ 10 ]} （ 「Fingo」は​​今日では伝統的な「枠組み」ではなく「偽装」と訳されることもありますが、「偽装」は「fingo」を適切に訳すものではありません）。ニュートンの重力、つまり広大な距離にわたって作用する目に見えない力は、彼が科学に「神秘的な力」を導入したという批判を招きました。^{[ 50 ]}ニュートンはそのような批判をきっぱりと否定し、現象が重力を暗示しているだけで十分であり、実際そうであるが、現象は今のところこの重力の原因を示しておらず、現象によって暗示されていない事柄の仮説を立てることは不必要かつ不適切であると述べました。そのような仮説は「実験哲学には居場所がない」のであり、「特定の命題が現象から推論され、その後帰納によって一般化される」という適切な方法とは対照的です。^{[ 51 ]}

ニュートンはまた、デカルトの惑星運動の渦理論に対する批判を強調し、彗星の極めて偏心した軌道とは相容れないと指摘した。彗星は「天空のあらゆる場所を無差別に通過する」のである。

ニュートンは神学的議論も展開した。世界の体系から、知的な設計または目的のある設計からの議論と呼ばれるものと同様の方法で、神の存在を推論した。ニュートンは「神の単一概念に対する間接的な議論と、三位一体の教義に対する暗黙の攻撃」を行ったと示唆されている。^{[ 52 ] [ 53 ]}一般注釈は教会の教義を取り上げたり反駁しようとしたりしていない。単にイエス、聖霊、または三位一体の仮説に言及していないだけである。

1684年1月、エドモンド・ハレー、クリストファー・レン、ロバート・フックは会話を交わし、その中でフックは逆二乗法則だけでなく惑星運動のすべての法則も導き出したと主張した。レンは納得せず、フックは他の者たちが時間を与えたにもかかわらず主張した導出を示さなかった。そして、制限された円運動の場合（ケプラーの関係式をホイヘンスの遠心力の公式に代入することによって）には逆二乗法則を導き出せたものの、一般的な関係式を導き出せなかったハレーは、ニュートンに尋ねることにした。^{[ 54 ]}

1684年にハレーがニュートンを訪ねたのは、ハレーがレンやフックと惑星運動について議論したことがきっかけであり、それがニュートンに『自然哲学の数学的原理』を発展させ、執筆する動機と刺激を与えたようだ。ハレーは当時、ロンドンの王立協会のフェローおよび評議員であった（1686年に辞任し、協会の有給書記となった）。^{[ 55 ]} 1684年にハレーがケンブリッジのニュートンを訪ねたのはおそらく8月だった。^{[ 56 ]}ハレーがその年の初めにハレー、フック、レンの間で議論された惑星運動の問題についてニュートンの意見を尋ねたとき、^{[ 57 ]}ニュートンは、すでに以前に導出を済ませていたが、論文が見つからないと言ってハレーを驚かせた。 （この会合に関する記述は、ハレーと、ニュートンが信頼を寄せていたフランスの数学者アブラハム・ド・モアブルの両方から得られている。）ハレーはその後、ニュートンが結果を「発見」するのを待たなければならず、1684年11月、ニュートンはハレーに、それまでニュートンがこの主題に関して行ってきた研究の拡大版を送った。これは『De motu corporum in gyrum（軌道上の物体の運動について）』という9ページの原稿の形をとっており、現存するいくつかの写本にはタイトルが記されているが、（失われた）原本にはタイトルがなかった可能性もある。

ニュートンが1684年末にハレーに送った論文『De motu corporum in gyrum』は、力の逆二乗法則を仮定して、現在ケプラーの3法則として知られる法則を導き出し、その結果を円錐曲線に一般化した。また、抵抗媒体を通過する物体の運動に関する問題の解法を追加することで、方法論を拡張した。ハレーは『De motu』の内容が数学的、物理的に独創的で、天文学理論に広範な影響を与えることに非常に感銘を受け、1684年11月にすぐにニュートンを再び訪ね、王立協会にこのような研究をさらに提供してくれるようニュートンに頼んだ。^{[ 58 ]}彼らの会合の結果は明らかにニュートンに、物理科学のこの分野における数学的問題の研究をさらに進めるために必要な熱意を刺激するのに役立ち、彼は少なくとも1686年半ばまで続く非常に集中した研究期間でそれを成し遂げた。^{[ 59 ]}

ニュートンが仕事全般、そしてこの時期のプロジェクトにどれほど一心不乱に取り組んでいたかは、当時の秘書兼写字係であったハンフリー・ニュートンの後年の回想録からもわかる。彼の記述によれば、アイザック・ニュートンは研究に没頭し、時には食事や睡眠、衣服の状態を忘れてしまうほどで、庭を散歩しているときには新しい考えが浮かぶと部屋に駆け戻り、座るのを待たずに書き留め始めることもあったという。^{[ 60 ]}また、ニュートンが『プリンキピア』に没頭していたことを示す証拠は他にもある。ニュートンは何年もの間、化学実験や錬金術実験を定期的に行い、通常は日付入りのメモを取っていたが、1684年5月から1686年4月までの期間、ニュートンの化学ノートには全く書き込みがない。^{[ 61 ]}つまり、ニュートンは正式に取り組んでいた研究を放棄し、1年半以上もの間、他のことはほとんどせず、彼の偉大な業績となるものの開発と執筆に集中したようだ。

3冊の構成要素のうち最初の1冊は1686年の春に印刷業者に送られ、残りの2冊はそれより少し遅れて送られた。ハレーが自身の財政的リスクを負って出版した完全な作品^{[ 62 ]}は1687年7月に出版された。ニュートンはまた、 De motuをフラムスティードに伝え、執筆期間中に惑星の観測データについてフラムスティードと数通の手紙を交わし、最終的に1687年の出版版のプリンキピアでフラムスティードの貢献を認めた。

『プリンキピア』の初版の執筆過程は、いくつかの段階と草稿を経ており、予備的な資料の一部は現存しているが、他の部分は断片や他の文書の相互参照を除いて失われている。^{[ 63 ]}

現存する資料によると、ニュートンは（1685年頃まで）自身の著書を2巻構成の作品として構想していた。第1巻は『De motu corporum, Liber primus』と題され、その内容は後に拡張された形で『プリンキピア』第1巻として出版される予定だった。

ニュートンが構想していた第二巻『De motu corporum, Liber Secundus』の清書草稿が現存しており、完成時期は1685年の夏頃とされている。本書は、『 Liber primus』の成果を地球、月、潮汐、太陽系、そして宇宙に適用した内容を扱っており、この点において『プリンキピア』の最終巻である第3巻とほぼ同じ目的を持っているが、よりくだけた文体で書かれており、読みやすくなっている。

ニュートンが1685年の『 De motu corporum, Liber 2undus』で読みやすい物語形式だったものを、最終形態についてなぜこれほど根本的に変更したのかは定かではないが、彼はより厳密で難解な数学的スタイルでほぼ一から書き直し、最終的に私たちが知る『プリンキピア』第3巻を完成させた。ニュートン自身も、このスタイルの変更は意図的なものであったと率直に認めており、当初は「多くの人が読めるように」この本を「一般向けの方法で」書いたが、「先入観を捨てられない」読者による「論争を防ぐ」ために、「（数学的な方法で）命題の形式に『還元』し、先行する巻で確立された原理をまず習得した者だけが読めるようにした」と述べている。^{[ 64 ]}最終巻である第3巻には、ニュートンがその間に到達した重要な定量的結果、特に彗星の運動の理論や月の運動の摂動に関する結果も含まれていました。

その結果は、第2巻ではなく第3巻として番号が付けられた。なぜなら、その間に『第一巻』の草稿が拡張され、ニュートンがそれを2つの巻に分けたからである。新しく完成した第2巻は、主に抵抗媒体を通過する物体の運動に関するものであった。^{[ 65 ]}

しかし、 1685年の『リベル・セクンドゥス』は今日でも読むことができる。プリンキピア第3巻に取って代わられた後も、複数の写本で完全な形で残っている。1727年にニュートンが亡くなった後、その文章が比較的読みやすい性質であったため、1728年に英語訳が出版された（著者は不明で、ニュートンの相続人によって許可されていない）。英語のタイトルは『A Treatise of the System of the World』であった。^{[ 66 ]}これは、1685年のニュートンの原稿に比べていくつかの修正が加えられており、主にプリンキピア第1巻の初期草稿の命題を引用するために古い番号を使用していた相互参照を削除した。ニュートンの相続人はその後まもなく、彼らが所有していたラテン語版を同じく1728年に『De Mundi Systemate』という（新しい）タイトルで出版した。これは相互参照、引用、図表を『プリンキピア』の後の版に合わせて更新するように修正したもので、表面的にはニュートンが『プリンキピア』の後に書いたように見える。^{[ 67 ]}『世界の体系』は十分に人気があり、2回の改訂（ラテン語版と同様の変更）、第2版（1731年）、そして第2版の「訂正」再版（1740年） ^{[ 68 ]}が出版された。

『プリンキピア』全3巻のうち最初の巻の本文は、1686年4月末に王立協会に提出された。フックは優先権を主張したが（それを立証できなかった）、出版が遅れた。論争を嫌うニュートンにフックの主張が知られると、ニュートンは第3巻の出版を取り下げて完全に差し止めると脅したが、ハレーは優れた外交手腕を発揮し、巧みにニュートンを説得して脅しを取り下げさせ、出版を進めさせた。会長のサミュエル・ピープスは、1686年6月30日に出版許可を与えた。同協会はちょうど『De Historia piscium』^{[ 69 ]}に書籍予算を使い果たしたばかりで、出版費用はエドマンド・ハレー（当時、王立協会の『Philosophical Transactions 』の出版者も務めていた）が負担した^{[ 70 ]} 。同書は1687年の夏に出版された^{[ 71 ]} 。ハレーが『Principia』の出版費用を個人的に負担した後、協会はもはや彼に約束していた年間50ポンドの給与を支払う余裕がないことを彼に告げた。代わりに、ハレーには『De Historia piscium』の売れ残りが支払われた^{[ 72 ]}。

ニコラウス・コペルニクスは、 1543年に出版した著書『天球の回転について』（De revolutionibus orbium coelestium）の中で、地動説によって地球を宇宙の中心から遠ざけ、その証拠を提示した。ヨハネス・ケプラーは1609年に著書『新天文学』 （Astronomia nova ）を著し、惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描いて運動し、その軌道に沿って一定の速度で運動するのではなく、速度が変化するため、太陽と惑星の中心を結ぶ線が等しい時間で等しい面積を掃くという証拠を提示した。彼は10年後の1619年に著書『世界の調和』 （Harmonices Mundi）の中で、これら2つの法則に3つ目の法則を加えた。この法則は、惑星の太陽からの特性距離の3乗と、その惑星の1年の長さの2乗との間に比例関係があることを示している。

現代力学の基礎は、ガリレオの著書『世界の二つの主要な体系についての対話』に示されており、そこには慣性の概念が暗黙のうちに用いられていた。さらに、ガリレオは斜面を用いた実験によって、物体の等速運動および等加速度運動における経過時間と加速度、速度、または距離との間の正確な数学的関係を明らかにした。

デカルトは1644年の著書『哲学原理』 （Principia philosophiae）の中で、物体は接触によってのみ互いに​​作用し合うと述べており、この原理は、デカルト自身を含む多くの人々に、光や重力などの相互作用の媒体となる普遍的な媒体、すなわちエーテルを仮説として提唱させるに至った。ニュートンは、媒体なしに遠隔作用する力を導入したとして批判された。^{[ 50 ]}デカルトの考えが正当化されたのは、粒子理論が発展し、媒介となるゲージボソン^{[ 73 ]}や、仮説上の重力子^{[ 74 ]}を用いて、強い相互作用、弱い相互作用、電磁気的基本相互作用など、すべての相互作用を記述できるようになった時であった。

ニュートンは、学部生時代にこれらの書籍、あるいは場合によってはそれらに基づく二次資料を研究し、『哲学に関する諸問題』 （Quaestiones quaedam philosophicae）と題するノートを取っていた。この時期（1664～1666年）に、彼は微積分学の基礎を築き、色彩光学における最初の実験を行った。この時、白色光が原色の組み合わせである（プリズムによって発見された）という彼の証明は、当時の主流の色彩理論に取って代わり、圧倒的に好意的な反応を得たが、ロバート・フックらとの激しい論争を引き起こし、その結果、彼は自らの考えを磨き上げざるを得なくなり、1670年代には、後に著す『光学』の一部を、それに対する反論として既に執筆していた。微積分学の研究は、ライプニッツ宛の2通を含む、さまざまな論文や書簡に示されている。彼は王立協会のフェローとなり、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジで（アイザック・バローの後任として）2代目のルーカス記念数学教授に就任した。

1660年代、ニュートンは衝突する物体の運動を研究し、衝突する2つの物体の重心は等速運動を続けると推論した。1660年代の現存する原稿には、ニュートンが惑星の運動にも関心を持っていたことが示されており、1669年までに、惑星の運動が円運動の場合、彼が「後退しようとする力」（現在では遠心力と呼ばれる）と呼んだ力が中心からの距離の2乗に反比例することを示した。^{[ 75 ]}後述するフックとの1679年から1680年の書簡のやり取りの後、ニュートンは内向きまたは求心力の用語を採用した。ニュートン研究者のJ.ブルース・ブラッケンリッジによれば、遠心力と求心力のように用語や視点が変わったことが大々的に取り上げられてきたが、実際の計算と証明はどちらの場合も同じままであった。また、ニュートンは1660年代に接線方向と半径方向の変位の組み合わせも行っていた。遠心力と求心力の観点の違いは、視点の大きな変化ではあったが、分析には影響を与えなかった。^{[ 76 ]}ニュートンは1660年代に線形慣性の概念も明確に表現した。この点において、ニュートンは1644年に出版されたデカルトの著作に負っていた。^{[ 77 ]}

フックは1660年代と1674年に重力に関する考えを発表した。彼は1665年の『ミクログラフィア』、1666年の王立協会での講演「重力について」 、そして1674年に『観測から地球の運動を証明しようとする試み』の補足として、世界の体系に関する考えをやや発展させた形で発表した際に、重力の引力原理を主張した。^{[ 78 ]}フックは、太陽と惑星の間には、引力体への近さに応じて増加する相互引力と、線形慣性の原理を明確に仮定した。しかし、1674年までのフックの発言では、これらの引力に逆二乗法則が適用される、あるいは適用される可能性があることについては言及されていない。フックの重力はまだ普遍的ではなかったが、以前の仮説よりも普遍性に近づいていた。^{[ 79 ]}フックはまた、付随する証拠や数学的証明も提供しなかった。これらの2つの側面について、フックは1674年に次のように述べている。「これらのさまざまな[重力の引力]の度合いが何であるかは、まだ実験的に検証していません」（重力がどのような法則に従うかまだわかっていないことを示しています）。また、彼の提案全体については、「これは今のところ示唆するにとどめます」、「まず完成させたい他の多くの事柄を抱えているため、これに十分な時間を割くことができません」（つまり、「この調査を進めることができません」）と述べています。^{[ 78 ]}

1679年11月、フックはニュートンとの書簡のやり取りを開始し、その全文が現在出版されている。^{[ 80 ]}フックはニュートンに、自分が王立協会の通信を管理するよう任命されたこと、^{[ 81 ]}会員から研究内容や他者の研究に対する見解を聞きたいと伝え、ニュートンの興味をそそるかのように、さまざまな事柄についてニュートンの考えを尋ね、一連のリストを挙げた。「接線による惑星の直接運動と中心天体への引力運動の合成」、「バネの法則または原因に関する私の仮説」、そしてパリからの惑星運動に関する新しい仮説（フックが詳しく説明した）、さらに全国的な調査の実施または改善の取り組み、ロンドンとケンブリッジの緯度差、その他の項目について言及した。ニュートンの返答は、地球の運動を検出するために、まず空中に吊るした物体を落下させるという地上実験（天体の運動に関する提案ではない）についての「私なりの空想」を提示した。要点は、落下する物体が垂直方向からのずれの方向によって地球の運動を実験的に明らかにできるとニュートンが考えた方法を示すことだったが、彼はさらに、もし地球が邪魔をしていなかったら（中心に向かって螺旋状に）どのように運動を続けることができるかを仮説的に考察した。フックは、物体がどのように運動を続けるかについてのニュートンの考えに反対した。^{[ 82 ]}その後、短いやり取りが続き、その終わりに近づいた頃、フックは1680年1月6日にニュートンに宛てた手紙の中で、「引力は常に中心からの距離の2倍に比例し、したがって速度は引力の2倍未満に比例し、したがってケプラーが想定したように距離の2倍未満になる」という自身の「推測」を伝えた。^{[ 83 ]} (フックの速度に関する推論は実際には間違っていた。^{[ 84 ]} )

1686年、ニュートンの『プリンキピア』第1巻が王立協会に提出された際、フックはニュートンが「重力の減少法則、すなわち中心からの距離の2乗に反比例するという法則」という「概念」を自分から得たと主張した。同時に（エドモンド・ハレーの同時代の報告によれば）、フックは「それによって生じる曲線の証明」は完全にニュートンのものであると認めた。^{[ 80 ]}

逆二乗法則の初期の歴史に関する最近の評価では、「1660年代後半までに、重力と距離の二乗の間に反比例するという仮定はかなり一般的であり、さまざまな理由でさまざまな人々によって提唱されていた」とされている。^{[ 85 ]}ニュートン自身は1660年代に、円運動を仮定した場合の惑星運動では、半径方向の力は中心からの距離の二乗に反比例することを示した。^{[ 75 ]} 1686年5月にフックが逆二乗法則を主張したことに直面したニュートンは、フックが同法則の考案者として認められるべきではないと否定し、その理由としてフック以前の他の人々による先行研究の引用などを挙げた。^{[ 80 ]}ニュートンはまた、たとえ自分が最初にフックから逆二乗比例について聞いたとしても（実際はそうではなかったが）、自分の数学的発展と証明によって、その正確さの証拠として観察結果を信頼できるようになったため、自分には依然としてそれに対する権利があると断言した。一方、フックは、その仮説を支持する数学的証明や証拠がなかったため、（ニュートンによれば）「中心から遠く離れた場所では」それが近似的に有効であると推測することしかできなかった。^{[ 80 ]}

上述の背景から、ニュートンが逆二乗法則をフックから導き出したことを否定する根拠があったことがわかる。一方、ニュートンは『プリンキピア』のすべての版において、フック（ただしフックだけではない）が太陽系で逆二乗法則を独自に認識していたことを認めている。ニュートンは、第1巻第4命題の注釈で、この点に関してレン、フック、ハレーに言及している。^{[ 86 ]}ニュートンはまた、1679年から1680年にかけてのフックとの書簡によって天文学に関する自身の休眠状態にあった関心が再燃したことをハレーに認めているが、それはフックがニュートンに何か新しいことや独創的なことを伝えたという意味ではないとニュートンは述べている。「しかし、私はその件に関して彼に何ら恩義を感じておらず、ただ他の研究から気を紛らわせてこれらのことを考えさせてくれたことと、エリプシスの動きを彼が発見したかのように断定的に書いたことで、それを試してみようという気になったことに対してのみ恩義を感じている…」。^{[ 80 ]} ) ニュートンの天文学への関心の再燃は、1680/1681年の冬に彗星が現れたことでさらに刺激を受け、彼はジョン・フラムスティードと文通した。^{[ 87 ]}

1759年、ニュートンとフックの死後数十年が経ち、重力研究の分野で著名な数学天文学者アレクシス・クレローは、フックが重力について発表した論文を検討した後、次のように評価した。「フックのこの考えがニュートンの栄光を損なうと考えてはならない」とクレローは書き、「フックの例は、垣間見た真実と証明された真実の間にどれほどの隔たりがあるかを示す」ものである。^{[ 88 ] [ 89 ]}

ニュートンは後に2つの版を出版した。ニュートンは1690年代初頭から『プリンキピア』の新版を出すよう促されていたが、その理由の一つは、1687年以降数年のうちに初版の写本が非常に希少で高価になっていたからである。 ^{[ 109 ]}ニュートンは1694年11月にフラムスティードとの書簡で第2版の計画について言及している。^{[ 110 ]}ニュートンはまた、改訂を書き留めることができるように特別に綴じられた初版の注釈付き写本を保管していた。これらの写本のうち2冊が現存しているが、^{[ 111 ]} 1708年までに改訂を完了していなかった。ニュートンは編集者候補の一人、ニコラ・ファティオ・ド・デュイリエとの関係をほぼ断ち、もう一人のデイヴィッド・グレゴリーは彼の承認を得られなかったようで、また末期症状で1708年に亡くなった。それにもかかわらず、新版をこれ以上延期しない理由が積み重なっていった。^{[ 112 ]}トリニティ・カレッジの学長リチャード・ベントレーは、ニュートンに第二版の制作を許可してもらうよう説得し、1708年6月にベントレーはニュートンに最初の版の見本を添えて手紙を書き、同時にニュートンが改訂作業の完了に向けて進展しているという（叶わぬ）希望を表明した。^{[ 113 ]}ベントレーはその後、編集作業が技術的に自分には難しすぎると悟り、ニュートンの同意を得て、トリニティのプラミアン天文学教授ロジャー・コーツを一種の代理人として編集作業に任命した（ただし、出版の手配と財政的責任および利益はベントレーが負っていた）。1709年から1713年までの書簡からは、コーツがベントレーとニュートンの二人の師に報告し、ニュートンが時折十分な注意を払えない大規模で重要な改訂作業を管理（そしてしばしば修正）していたことがわかる。^{[ 114 ]}コーツの努力の重圧の下、ニュートンとライプニッツの間の優先権争い、^{[ 115 ]}および造幣局でのトラブルにより妨げられたが、^{[ 116 ]}コーツは1713年6月30日にニュートンに出版を知らせることができた。^{[ 117 ]}ベントレーはニュートンに6冊の献呈本しか送らず、コーツは報酬を受け取らず、ニュートンはコーツへの謝辞を一切述べなかった。

ニュートンの第2版の修正に協力した人物には、フィルミン・アバウジット、ロジャー・コーツ、デイヴィッド・グレゴリーらがいた。しかし、優先権をめぐる争いがあったため、ニュートンは一部の人物への謝辞を省略した。特に王室天文官のジョン・フラムスティードは、この影響を受けた。

第2版​​は、1714年にアムステルダムで出版された、海外で初めて印刷された版の基礎となった。

1722年に重病を患い、1723年にアムステルダムで第2版の復刻版が出版された後、80歳になったニュートンは1723年の秋に再び『プリンキピア』の改訂に取りかかった。第3版は1726年3月25日に出版され、この分野で最も優れた才能を持つヘンリー・ペンバートン医学博士の監修のもとで出版された。ペンバートンは後に、この評価はニュートンからの200ギニーの賞よりも価値があると述べた。^{[ 118 ]}

1739年から1742年にかけて、フランス人司祭のトマ・ルスール神父とフランソワ・ジャキエ神父（ミニム会所属だが、イエズス会士と誤って認識されることもある）は、 J.-L.カランドリーニの協力を得て、 1726年の第3版で『プリンキピア』の詳細な注釈版を作成した。これはイエズス会版と呼ばれることもあり、広く利用され、19世紀にはスコットランドで何度も再版された。^{[ 119 ]}

エミリー・デュ・シャトレもニュートンの『プリンキピア』をフランス語に翻訳した。ル・スールとジャキエの版とは異なり、彼女の翻訳はニュートンの3冊の本とその序文を完全に翻訳したものであった。彼女はまた、3冊の本をより明確で理解しやすい要約にまとめた解説セクションも加えた。彼女は、ニュートンの最も議論を呼んだ理論に新しい数学である微積分を適用した分析セクションも加えた。それまでは、理論を分析するために幾何学が標準的な数学として使われていた。デュ・シャトレの翻訳はフランス語で行われた唯一の完全な翻訳であり、今日に至るまで彼女の翻訳は標準的なフランス語訳となっている。^{[ 120 ]}

初版（1687年）

• ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ図書館所蔵。ニュートン自身が所有していた初版の高解像度デジタル化版（注釈付き）。
• ケンブリッジ大学、ケンブリッジ・デジタル・ライブラリー所蔵。ニュートン自身が所有していた初版の高解像度デジタル版。注釈や訂正を書き込むための白紙ページが挟み込まれている。
• 1687年：ニュートンの『プリンキピア』初版（1687年、ラテン語） 。グンネルス図書館所蔵の写本の高解像度画像。
• 1687年：ニュートンの『プリンキピア』初版（1687年、ラテン語）。
• プロジェクト・グーテンベルク
• チューリッヒ工科大学図書館。ガブリエル・クレーマーの蔵書より。
• 『自然哲学の数学的原理』 米国議会図書館稀覯書・特別コレクション部門所蔵

第2版​​（1713年）

• チューリッヒ工科大学図書館
• ETH-Bibliothek Zürich (1723 年のアムステルダムの海賊版再版)。
• 『自然哲学の数学的原理』（Adv.b.39.2）は、ニュートンによる注釈付きの1713年版で、ケンブリッジ大学図書館の所蔵品であり、ケンブリッジ・デジタル・ライブラリーで完全にデジタル化されている。

第三版（1726年）

• チューリッヒ工科大学図書館

後のラテン語版

• プリンキピア（ラテン語、注釈付き）。1833年グラスゴー復刻版（第1巻）には、1739～42年にルスール、ジャキエ、カランドリーニによって注釈が付けられたラテン語版の第1巻と第2巻が含まれています（上記参照）。
• Archive.org（1726年版の1871年復刻版）

• アンドリュー・モット、1729年、第3版（1726年）の最初の英語翻訳
  • WikiSource、一部
  • Googleブックス、第 1巻（第1巻を含む）。
  • インターネットアーカイブ、第 2巻（第2巻と第3巻を含む）。（第3巻は200ページから始まります。）（Googleのメタデータでは、この巻が誤って第 1巻と表示されています）。
  • 部分的なHTML
• ロバート・ソープによる1802年の翻訳
• NW Chittenden 編、1846 年「アメリカ版」、部分的に現代語化された英語版、大部分は 1729 年の Motte 訳。
  • ウィキソース
  • Archive.org #1
  • Archive.org #2
  • eBooks@Adelaide eBooks@Adelaide
• パーシバル・フロスト 1863年翻訳（注釈付き）Archive.org
• フロリアン・カジョリによる1934年の近代化版（1729年のモット訳と1802年のソープ訳に基づく）。
• イアン・ブルースは、自身のウェブサイトで、注釈付きの第3版の完全な翻訳を公開している。
• チャールズ・リードハム＝グリーンは2021年に、完全かつ詳細な注釈付きの翻訳版を出版した。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。

• ダブリンのトリニティ・カレッジ数学部のデイビッド・R・ウィルキンス氏は、いくつかのセクションをTeXとMETAPOSTに書き起こし、ソースコードとフォーマット済みのPDFを「アイザック・ニュートンの著作からの抜粋」で公開しました。