リー微分

微分幾何学 において、リー微分（/ l iː / LEE）は、ヴワディスワフ・シュレボジンスキ^{[1] [2]}によってソフス・リーにちなんで名付けられ、テンソル場（スカラー関数、ベクトル場、1形式を含む）の変化を、別のベクトル場によって定義される流れに沿って評価します。この変化は座標不変であるため、リー微分は任意の 微分可能多様体上で定義されます。

関数、テンソル場、および形式はベクトル場に関して微分できます。T がテンソル場で、X がベクトル場である場合、 Xに関するTのリー微分はと表されます。微分演算子は、基礎となる多様体のテンソル場の代数の微分です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T}$

リー微分は収縮および微分形式上の外微分と可換である。

微分幾何学には導関数の概念が数多くありますが、微分される式が関数またはスカラー場である場合、それらはすべて一致します。したがって、この場合は「嘘」という言葉は省略され、単に関数の導関数について話すことになります。

ベクトル場Yの別のベクトル場Xに関するリー微分は、 XとYの「リー括弧」として知られ、 の代わりに [ X , Y ]と表記されることが多い。ベクトル場の空間は、このリー括弧に関するリー代数を形成する。リー微分は、次の恒等式により、このリー代数の 無限次元リー代数表現を構成する。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}$

任意のベクトル場XとYおよび任意のテンソル場Tに対して有効です。

ベクトル場をM上のフローの無限小生成元（つまり、微分同相写像の1 次元群）と見なすと、リー微分はテンソル場上の微分同相写像群の表現の微分となり、リー群論における群表現に関連付けられた無限小表現としてのリー代数表現に類似します。

スピノル場、接続を持つファイバー束、ベクトル値微分形式に対する一般化が存在します。

ベクトル場に対するテンソル場の微分を定義する「素朴な」試みは、テンソル場の成分を取り、各成分のベクトル場に対する方向微分を取ることです。しかし、この定義は座標系の変化に対して不変ではないため望ましくありません。たとえば、極座標または球座標で表現された素朴な微分は、直交座標の成分の素朴な微分とは異なります。抽象多様体では、このような定義は無意味であり、定義が不十分です。

微分幾何学では、テンソル場の微分に関して、座標に依存しない主要な概念が 3 つあります。

1. リー微分、
2. 接続に関する導関数、
3. 完全に反対称な共変テンソルの外微分、すなわち微分形式。

リー微分と接続に関する微分との主な違いは、後者のテンソル場の接ベクトルに関する微分は、その接ベクトルをベクトル場に拡張する方法が指定されていなくても、明確に定義されていることです。ただし、接続では、多様体上の追加の幾何学的構造 (たとえば、レヴィ-チヴィタ接続の場合はリーマン計量、または単なる抽象的な接続) を選択する必要があります。対照的に、リー微分を取る場合、多様体上の追加の構造は必要ありませんが、点 p におけるベクトル場Xに関するテンソル場のリー微分の値は、 p自体だけでなく、 pの近傍のXの値に依存するため、単一の接ベクトルに関するテンソル場のリー微分について話すことは不可能です。最後に、微分形式の外微分は追加の選択を必要とせず、微分形式（関数を含む）の明確に定義された微分のみであり、したがって、純粋に微分形式ではないベクトルやその他のテンソルは除外されます。

リー微分の概念は、ベクトル場を使用して輸送の概念 (リー輸送) を定義することです。滑らかなベクトル場は、多様体上の滑らかな流れを定義します。これにより、同じ流れの線上にある 2 つの点の間でベクトルを輸送できます (これは、任意の点間の輸送を可能にする接続とは対照的です)。直感的には、点を基準とするベクトルは、その基点を に流し、その先端点を に流すことによって輸送されます。 ${\displaystyle Y(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle p+Y(p)\delta }$${\displaystyle p'+\delta p'}$

リー微分は、いくつかの同等の方法で定義できます。簡単にするために、一般的なテンソルの定義に進む前に、スカラー関数とベクトル場に作用するリー微分を定義することから始めます。

多様体上の関数の導関数を定義することは、変位が定義されていない間は差分商を決定できないため、問題があります。 ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}$${\displaystyle x+h}$

ある点におけるベクトル場に関する関数のリー微分は関数 ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}}$

ここで、ベクトル場によって定義された流れが時刻の点を写像する点である。その近傍はシステムの唯一の解である。 ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}}$

一次自律微分方程式（つまり時間に依存しない微分方程式）の${\displaystyle \Phi _{X}^{0}(p)=p.}$

設定により、関数のリー導関数は方向導関数と同一視され、 とも表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$${\displaystyle X(f):={\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$

XとY が両方ともベクトル場である場合、 Xに関するYのリー微分はXとYのリー括弧とも呼ばれ、 と表記されることもあります。リー括弧を定義するにはいくつかの方法がありますが、それらはすべて同等です。ここでは、上記のベクトル場の 2 つの定義に対応する 2 つの定義を示します。 ${\displaystyle [X,Y]}$

リー微分は、流れによって引き起こされる空間変形の下でテンソル場が変化する速度です。

形式的には、滑らかな多様体上の微分可能（時間に依存しない）ベクトル場が与えられたとき、対応する局所フローをとする。は各 に対して局所微分同相写像であるため、テンソル場 の引き戻しが生じる。共変テンソルの場合、これは引き戻し写像の多重線型拡張にすぎない。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \Phi _{X}^{t}:M\to M}$${\displaystyle \Phi _{X}^{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M}$

反変テンソルの場合、逆テンソルを拡張する。

${\displaystyle \left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}$

微分 の。したがって、任意の に対して、と同じタイプのテンソル場が存在します。 ${\displaystyle T_{p}\Phi _{X}^{t}}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle (\Phi _{X}^{t})^{*}T}$${\displaystyle T}$

が- または- 型のテンソル場である場合、ベクトル場に沿ったのリー微分は点で次のように 定義されます。${\displaystyle T}$${\displaystyle (r,0)}$${\displaystyle (0,s)}$${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.}$

結果のテンソル フィールドはと同じ型になります。 ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$${\displaystyle T}$

より一般的には、ベクトル場をの意味で積分する任意の滑らかな1パラメータ微分同相写像族に対して、${\displaystyle \Phi _{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.}$$

ここで代数的定義を示します。テンソル場のリー微分の代数的定義は、次の 4 つの公理から得られます。

公理1.関数のリー微分はその関数の方向微分に等しい。この事実は、しばしば次の式で表される。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}$

公理2.リー微分はライプニッツの法則の次のバージョンに従う：任意のテンソル場SとTに対して、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}$

公理3.リー微分は収縮に関してライプニッツの規則に従う。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}$

公理 4.リー微分は関数の外微分と可換である:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}$

これらの公理が成り立つ場合、リー微分を関係に適用すると次のことが分かります。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle df(Y)=Y(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}$

これはリー括弧の標準的な定義の 1 つです。

微分形式に作用するリー微分は、内積と外微分と の反交換子である。したがって、αが微分形式である場合、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}$

これは、式が外微分と交換可能であり、微分であり（次数付き微分に対する反交換子である）、関数に対して正しい動作をすることをチェックすることで簡単にわかります。これはカルタンの魔法の公式です。詳細については、 内積を参照してください。

明示的に、T を( p , q )型のテンソル体とする。T を、余接バンドルT ^∗ Mの滑らかな切断α 1 ^、 α 2 ^、 ...、α ^pと、接バンドルTMの切断X ₁、X ₂、 ...、X _qの微分可能な多重線型写像とみなし、RにT ( α ¹、α ²、 ...、X ₁、X ₂、 ...) と書きます。 Yに沿ったTのリー微分を次の式で 定義します。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }$

解析的定義と代数的定義は、プッシュフォワードの特性と微分に関するライプニッツ規則を使用して同等であることが証明できます。リー微分は収縮と交換されます。

テンソル場の特に重要なクラスは、微分形式のクラスです。リー微分を微分形式の空間に制限することは、外微分と密接に関係しています。リー微分と外微分はどちらも、異なる方法で微分の概念を捉えようとします。これらの違いは、内積の概念を導入することで埋めることができ、その後、関係はカルタンの公式として知られる恒等式として現れます。カルタンの公式は、微分形式の空間上のリー微分の定義としても使用できます。

M を多様体とし、X をM上のベクトル場とする。をk形式、すなわち各 に対して が実数から への交代多重線型写像であるとする。 Xとωの内積は( k − 1)形式で、次のように定義される。 ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle (T_{p}M)^{k}}$${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k-1})\,}$

微分形式はωとXの縮約とも呼ばれ、 ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k}(M)\rightarrow \Lambda ^{k-1}(M)}$

は-反微分であり、 は微分形式上のウェッジ積である。つまり、はR -線型であり、 ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle i_{X}}$

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

に対して、η は別の微分形式である。また、関数、つまりM上の実数値または複素数値関数に対しては、 ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$

${\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }$

ここで、 はfとXの積を表します。外微分とリー微分の関係は次のようにまとめることができます。まず、ベクトル場Xに関する関数fのリー微分は方向微分X ( f )と同じなので、 fの外微分をXで縮約したものと同じです。 ${\displaystyle fX}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}$

一般的な微分形式では、リー微分は、 Xの変化を考慮した同様に収縮です。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}$

この等式は、カルタン公式、カルタンホモトピー公式、カルタンの魔法公式などとも呼ばれる。詳細は内積を参照。カルタン公式は、微分形式のリー微分の定義として使用できる。カルタン公式は、特に次のことを示す。

${\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}$

リー微分は、次の関係も満たす。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}$

局所座標表記では、 ( r , s )型テンソル場のリー微分は ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

ここで、 という表記は、座標 について偏微分を取ることを意味します。 あるいは、ねじれのない接続（たとえば、レヴィ-チヴィタ接続）を使用している場合は、偏微分を共変微分で置き換えることができます。これは、（表記法の乱用により） で置き換えることを意味します。ここで、 はクリストッフェル係数です。 ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$${\displaystyle \partial _{a}X^{b}}$${\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}$${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$

テンソルのリー微分は、同じタイプの別のテンソルです。つまり、式内の個々の項は座標系の選択に依存しますが、式全体としてはテンソルになります。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}$

これはどの座標系にも依存せず、 と同じ型です。 ${\displaystyle T}$

定義はテンソル密度にまでさらに拡張できます。Tが何らかの実数値の重みwのテンソル密度(たとえば、重み 1 の体積密度) である場合、そのリー導関数は同じタイプと重みのテンソル密度です。

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}$

式の末尾にある新しい項に注目してください。

線型接続 の場合、リー微分は^[3]${\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}$

わかりやすくするために、次の例をローカル座標表記で示します。

スカラー場 の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }$。

したがって、スカラー場とベクトル場の対応するリー微分は次のようになる。 ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}$${\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}$$

高階微分形式の例として、前の例の 2形式とベクトル場を考えてみましょう。すると、${\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}$$

より抽象的な例をいくつか挙げます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}$。

したがって、共ベクトル場、すなわち微分形式については、次の式が得られます。 ${\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}$

最後の式の係数は、リー微分の局所座標表現です。

共変ランク 2 テンソル場の場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}$$

が対称計量テンソルである場合、それはレヴィ・チヴィタ接続（別名共変微分）に関して平行であり、接続を使用すると有益になります。これにより、すべての微分が共変微分に置き換えられ、次のようになります。 ${\displaystyle T=g}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

リー微分にはいくつかの性質がある。多様体M上で定義された関数の代数をとすると、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

は代数 上の微分である。つまり、 はR線型で あり、${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}$

同様に、 M上のベクトル場の集合である の導出である: ^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

これは同等の表記法で書くこともできる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

ここで、テンソル積記号は、関数とベクトル場との積が多様体全体にわたって取られていることを強調するために使用されます。 ${\displaystyle \otimes }$

追加の特性はリー括弧の特性と一致している。したがって、例えばベクトル場上の微分として考えると、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

上記はヤコビ恒等式にすぎないことがわかる。したがって、リー括弧を備えたM上のベクトル場の空間はリー代数を形成するという重要な結果が得られる。

リー微分は微分形式に作用するときにも重要な性質を持つ。αとβをM上の2つの微分形式とし、XとYを2つのベクトル場とする。すると

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}$ここで、iは上で定義した内積を表し、[·,·]が交換子を表すかベクトル場のリー括弧を表すかは明らかである。

リー微分のさまざまな一般化は微分幾何学において重要な役割を果たします。

一般的な（擬似）リーマン多様体上の、必ずしもキリングベクトル場ではない一般的な時空ベクトル場に沿ったスピノルのリー微分の定義は、すでに1971年にイヴェット・コスマン^によって提案されていました。^{[5]その後、ゲージ自然束の明示的な文脈における}ファイバー束上のリー微分の一般的な枠組みの中での彼女のアドホックな規定を正当化する幾何学的枠組みが提供されました。ゲージ自然束は、（ゲージ共変）場の理論にとって最も適切な領域であることが判明しました。^[7]

与えられたスピン多様体、つまりスピン構造を許容するリーマン多様体において、スピノル場のリー微分は、まず1963年に与えられたアンドレ・リヒネロヴィッチの局所表現を介して無限小等長写像（キリングベクトル場）に関して定義することによって定義できる。 ^[8]${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}$

ここで、 はキリングベクトル場であると仮定され、 およびはディラック行列です。 ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}$${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$${\displaystyle \gamma ^{a}}$

そして、リヒネロヴィチの定義を、一般ベクトル場に対するリヒネロヴィチの局所表現を保持しつつ、 の反対称部分のみを明示的にとることで、すべてのベクトル場（一般無限小変換）に拡張することが可能である。^[5]より明示的には、1972年に与えられたコスマンの局所表現は次のようになる。^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}$

ここで、 は交換子、は外微分、は計量の下でに対応する双対 1 形式（つまり、インデックスが下がった形式）、 はクリフォード乗算です。 ${\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cdot }$

スピノルのリー微分は計量から独立しており、したがって接続からも独立していることは注目に値します。コスマンの局所表現の右辺からは、スピン接続（共変微分）、ベクトル場の双対化（指数の低減）、およびスピノルバンドル上のクリフォード乗算を通じて、右辺が計量に依存しているように見えるため、これは明らかではありません。実際はそうではありません。コスマンの局所表現の右辺の量は、すべての計量と接続に依存する項を打ち消すように組み合わされています。

スピノル場のリー微分という長年議論されてきた概念をより深く理解するためには、原著論文^{[9] [10]を参照するとよい。原著論文では、スピノル場のリー微分の定義がファイバー束の切断のリー微分理論のより一般的な枠組みの中に置かれ、スピノルの場合に対するY.コスマンの直接的なアプローチが、}コスマン揚力と呼ばれる新しい幾何学的概念の形でゲージ自然束に一般化されている。

多様体 M 上に主バンドルがあり、その構造群として G があり、X を主バンドルの接空間のセクションとして共変ベクトル場 (つまり、水平成分と垂直成分を持つ) として選択すると、共変リー微分は主バンドル上の X に関するリー微分になります。

ここで、 M上のベクトル場Y (主バンドルではない) が与えられ、主バンドル上の接続も与えられている場合、水平成分がYと一致し、垂直成分が接続と一致するように主バンドル上のベクトル場 X を定義できます。これが共変リー微分です。

詳細については 接続フォームを参照してください。

アルバート・ナイエンホイスによる別の一般化により、接束に値を持つ微分形式の束 Ω ^k ( M , T M )の任意のセクションに沿った微分形式のリー微分を定義できます。 K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) で α​​ が微分p形式である場合、 Kと αの内積i _K αを定義できます。 ナイエンホイス・リー微分は、内積と外微分の反交換子です。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}$

1931 年、ヴワディスワフ・シュレボジンスキは、後にデイヴィッド・ファン・ダンツィヒによってリー微分演算子と名付けられた新しい微分演算子を導入しました。この演算子は、スカラー、ベクトル、テンソル、アフィン接続に適用でき、自己同型群の研究において強力な手段であることが証明されました。

一般的な幾何学的物体（すなわち、天然繊維束の断面）のリー微分は、A. Nijenhuis、Y. Tashiro、およびK. Yanoによって研究されました。

物理学者は長い間、数学者の研究を参考にすることなくリー微分を使用してきました。1940年にレオン・ローゼンフェルト^[11]が、そしてその前(1921年)にヴォルフガング・パウリ^[12]が、ベクトル場によって生成される座標の微小変換によって引き起こされる幾何学的オブジェクトの「局所的変化」と呼ばれるものを導入しました。彼のものが であることは簡単に証明できます。 ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$${\displaystyle A\,}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$${\displaystyle -{\mathcal {L}}_{X}(A)\,}$

• 共変微分
• つながり（数学）
• フローリッヒャー・ナイエンハウスブラケット
• 測地線
• キリングフィールド
• 指数写像の微分

• アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド E. (1978)。『力学の基礎』ロンドン：ベンジャミン・カミングス。ISBN 0-8053-0102-X。 セクション2.2を参照してください。
• ブリーカー、デイビッド（1981）。ゲージ理論と変分原理。アディソン・ウェズリー。ISBN 0-201-10096-7。 第0章を参照してください。
• ヨスト、ユルゲン（2002）。『リーマン幾何学と幾何学解析』ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-42627-2。 セクション1.6を参照してください。
• コラーシュ、I.ミコル、P.スロバキア、J. (1993)。微分幾何学における自然な操作。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 9783662029503。リー括弧とリー微分の一般理論についての詳細な議論。
• ラング、S. (1995)。微分多様体とリーマン多様体。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-94338-1。無限次元への一般化のため。
• ラング、S. (1999)。微分幾何学の基礎。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-98593-0。無限次元への一般化のため。
• 矢野 憲一(1957)。リー微分理論とその応用。ノースホランド。ISBN 978-0-7204-2104-0。座標を使用した古典的なアプローチ。

• 「リー微分」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]