コスマンリフト

微分幾何学 において、リーマン多様体上のベクトル場のコスマン揚力^{[1] [2]}は、イヴェット・コスマン＝シュワルツバッハにちなんで名付けられ、線型フレームの束上で定義される自然揚力の正規直交フレーム束への標準射影である。^[3]${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle (M,g)\,}$${\displaystyle X_{K}\,}$${\displaystyle {\hat {X}}\,}$

任意の還元的G 構造に対して一般化が存在します。

一般に、上のファイバーバンドルのサブバンドル と 上のベクトル場が与えられた場合、へのその制限は上（すなわちに接する）ではなく に沿ったベクトル場になります。 を標準埋め込みで表すと、 はプルバックバンドルの切断であり、ここで ${\displaystyle Q\subset E\,}$ ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M\,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z\,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Z\vert_{Q}\,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle i_{Q}\colon Q\hookrightarrow E}$${\displaystyle Z\vert_{Q}\,}$ ${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,}$

${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)=\tau _{E}(v)\}\subset Q\times TE,\,}$

はファイバーバンドルの接線バンドルである。プルバックバンドルのコスマン分解が与えられていると仮定すると、 ${\displaystyle \tau _{E}\colon TE\to E\,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,}$

${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=TQ\oplus {\mathcal {M}}(Q),\,}$

すなわち、それぞれにおいてが成り立ち、は の ベクトル部分空間であり、は 上のベクトル束、コスマン分解の横断束と呼ばれるものを仮定する。従って、 への制限は上の接ベクトル場とベクトル束の切断である横断ベクトル場とに分割される。${\displaystyle q\in Q}$${\displaystyle T_{q}E=T_{q}Q\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$${\displaystyle T_{q}E\,}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)\to Q\,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Z\vert_{Q}\,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Z_{K}\,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Z_{G},\,}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)\to Q.\,}$

を、与えられた計量 を持つ、向き付けられた- 次元リーマン多様体の向き付けられた正規直交フレームバンドルとします。これは、構造群 を持つ上の線型フレームの接フレームバンドルであるの主- 部分バンドルです。定義により、古典的な簡約 - 構造 が与えられていると言えます。特殊直交群はの簡約リー部分群です。実際、直和分解が存在し、 はのリー代数、は のリー代数、 は対称行列の - 不変ベクトル部分空間、つまりすべての に対してです。${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g\,}$${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$${\displaystyle \mathrm {F} M\,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)={\mathfrak {so}}(n)\oplus {\mathfrak {m}}\,}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)\,}$${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)\,}$${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}\,}$${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathrm {S} \mathrm {O} }\,}$${\displaystyle \mathrm {Ad} _{a}{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {m}}\,}$${\displaystyle a\in {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,.}$

を標準埋め込みとします。 ${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}\colon \mathrm {F} _{SO}(M)\hookrightarrow \mathrm {F} M}$

すると、プルバックバンドルの標準的 なコスマン分解が存在することが証明され、 ${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$

${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)=T\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\,,}$

つまり、各 においてはの部分束 上のファイバーです。ここで、は の垂直部分束であり、各 においてファイバーは対称行列のベクトル空間に同型です。 ${\displaystyle u\in \mathrm {F} _{SO}(M)}$${\displaystyle T_{u}\mathrm {F} M=T_{u}\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(V\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$${\displaystyle V\mathrm {F} M\,}$${\displaystyle T\mathrm {F} M\,}$${\displaystyle u\in \mathrm {F} _{SO}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

上記の正準かつ同変な分解から、 上の-不変ベクトル場をに制限すると、に関連付けられたコスマンベクトル場と呼ばれる上の-不変ベクトル場と、横方向ベクトル場に分割されることがわかります。 ${\displaystyle Z\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}}$${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle Z\,}$${\displaystyle \mathrm {F} M}$${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$${\displaystyle Z_{K}\,}$${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$ ${\displaystyle Z\,}$${\displaystyle Z_{G}\,}$

特に、基本多様体 上の一般的なベクトル場 に対して、への自然な揚力のへの制限は、のコスマン揚力と呼ばれる上の-不変ベクトル場と、横方向ベクトル場に分割されます。 ${\displaystyle X\,}$${\displaystyle (M,g)\,}$${\displaystyle {\hat {X}}\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,}$${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$${\displaystyle {\hat {X}}\,}$${\displaystyle \mathrm {F} M\to M}$${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$${\displaystyle X_{K}\,}$${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle X_{G}\,}$

• フレームバンドル
• 正規直交フレームバンドル
• 主要バンドル
• スピンバンドル
• つながり（数学）
• G構造
• スピンマニホールド
• スピン構造

• 小林昭七、野水勝美（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, 2017年3月30日時点のオリジナル(PDF)よりアーカイブ、2011年6月4日閲覧
• スターンバーグ、S. (1983)、微分幾何学講義（第2版）、ニューヨーク：チェルシー出版、ISBN 0-8218-1385-4
• ファティベーネ、ロレンツォ、フランカヴィリア、マウロ（2003）、古典場の理論のための自然およびゲージ自然形式主義、クルーワーアカデミックパブリッシャー、ISBN 978-1-4020-1703-2