ルベーグ積分

数学において、非負の単一変数関数の積分は、最も単純な場合、その関数のグラフとX軸の間の面積と見なすことができます。フランスの数学者アンリ・ルベーグにちなんで名付けられたルベーグ積分は、この概念を厳密にし、より一般的な関数に拡張する 1 つの方法です。

ルベーグ積分はリーマン積分よりも一般性が高く、 20 世紀前半以降、数学的解析においてルベーグ積分がリーマン積分に大きく取って代わった。ルベーグ積分は、多くの応用で生じる、リーマン積分の観点からは不都合な不連続性を持つ関数を収容できる。また、ルベーグ積分は一般に解析的性質も優れている。たとえば、緩やかな条件下では、極限とルベーグ積分を交換することが可能であるが、リーマン積分でこれを行うための条件は比較的複雑である。さらに、ルベーグ積分は、確率論で生じるような、より一般的な空間、測度空間に簡単に一般化できる。

ルベーグ積分という用語は、ルベーグによって導入された、一般測度に関する関数の積分の一般理論、または実数直線の部分領域上で定義された関数のルベーグ測度に関する積分の特定のケースのいずれかを意味します。

境界aとb の間の正の実関数fの積分は、 aとbの間のfのグラフの下の面積として解釈できます。この面積の概念は、主に区分連続関数などの一部の関数に適合し、多項式などの基本関数も含まれます。ただし、ディリクレ関数などの他の関数のグラフは、面積の概念とうまく適合しません。後者のグラフのようなグラフは、どのクラスの関数に対して「曲線の下の面積」が意味をなすのかという疑問を提起します。この質問の答えは、理論的に非常に重要です。

19 世紀に数学の厳密さを目指す一般的な動きの一環として、数学者は積分計算を確固たる基礎の上に置こうと試みました。ベルンハルト リーマン(1826-1866)が提唱したリーマン積分は、そのような基礎を提供するための広く成功した試みです。リーマンの定義は、与えられた関数の積分に収束する、簡単に計算できる一連の領域を構築することから始まります。この定義は、すでに解決されている多くの問題に対して期待される答えを与え、他の多くの問題に対しても有用な結果を与えるという意味で成功しています。

しかし、リーマン積分は関数の列の極限を取ることとうまく相互作用しないため、そのような極限過程の解析が困難になります。これは、たとえばフーリエ級数、フーリエ変換、およびその他のトピックの研究において重要です。ルベーグ積分は、積分符号の下で極限を取ることがいつどのように可能であるかをより適切に説明します (単調収束定理と優勢収束定理を介して)。

リーマン積分は曲線の下の領域を垂直な長方形で構成されていると見なしますが、ルベーグ定義は必ずしも長方形だけではない水平な板を考慮するため、より柔軟です。このため、ルベーグ定義では、より広範な関数のクラスの積分を計算できます。たとえば、引数が有理数の場合に 1 、それ以外の場合に 0 となるディリクレ関数は、ルベーグ積分を持ちますが、リーマン積分を持ちません。さらに、この関数のルベーグ積分は 0 であり、これは、単位区間から一様にランダムに実数を選択する場合、有理数を選択する確率は 0 になるはずだという直感と一致します。

ルベーグはポール・モンテルに宛てた手紙の中で、統合へのアプローチを要約している。

私はポケットに貯めたある金額を支払わなければなりません。ポケットから紙幣と硬貨を取り出し、合計金額に達するまで、見つけた順に債権者に渡します。これがリーマン積分です。しかし、別のやり方もあります。ポケットからお金を全部取り出した後、紙幣と硬貨を同じ価値の順に並べ、次にいくつかの山を次々に債権者に支払います。これが私の積分です。

— 出典: (ジークムント-シュルツェ 2008)

洞察は、積分の値を維持しながら、関数の値を自由に並べ替えることができるはずであるということです。この並べ替えのプロセスにより、非常に病的な関数を積分の観点から「適切な」関数に変換し、そのような病的な関数を積分することができます。

Folland (1999) は、リーマン法とルベーグ法の違いを次のように要約しています。「fのリーマン積分を計算するには、領域[ a、b ]をサブ区間に分割します」が、ルベーグ積分では、「実際にはfの範囲を分割します」。

リーマン積分では、領域が区間に分割され、グラフの高さに合わせてバーが構築されます。これらのバーの面積が加算され、これは実際にはf ( x ) dx の形式の面積を加算することで積分を近似します。ここでf ( x )は長方形の高さ、dxは長方形の幅です。

ルベーグ積分では、範囲は区間に分割されるため、グラフの下の領域は水平の「スラブ」に分割されます (連結されたセットではない場合があります)。fのグラフの下の高さdyの小さな水平の「スラブ」の面積は、スラブの幅の測定値にdy を掛けたものに等しくなります。 したがって、ルベーグ積分は、これらの水平のスラブの面積を合計することで定義できます。この観点から、リーマン積分との主な違いは、「スラブ」が長方形 (2 つの区間の直積) ではなくなり、代わりに区間を持つ測定可能なセットの直積になることです。 $${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$

ルベーグ積分を導入する同等の方法は、リーマン積分のステップ関数を一般化する、いわゆる単純関数を使用することです。たとえば、毎日の平滑化された症例のグラフから COVID-19 の累積症例数を決定することを考えてみましょう (右)。

リーマン・ダルブーアプローチ

ドメイン (期間) を間隔 (右の例では 8 つ) に分割し、グラフに合う高さのバーを作成します。累積数は、間隔の幅 (日数) とバーの高さ (1 日あたりの症例数) の積をすべてのバーにわたって合計することで求められます。

ルベーグアプローチ

関数の範囲内で、有限の数のターゲット値 (例では 8 つ) を選択します。これらの値と同じ高さのバーを関数の下に作成すると、ドメインが同じ数のサブセットに分割されます (例では色で示されているサブセットは接続する必要はありません)。これは、以下で説明するように、「単純な関数」です。累積カウントは、ドメインのすべてのサブセットについて、そのサブセットの測定値(日数で表した合計時間) とバーの高さ (1 日あたりのケース数) の積を合計することで求められます。

ルベーグ積分は、スラブまたは単純関数の観点から考えることができます。直感的には、単純関数の下の領域は、単純関数の範囲（実数区間）内の値の（有限の）集合に基づいてスラブに分割できます。逆に、関数のアンダーグラフ内のスラブの（有限の）集合は、有限の再分割後に単純関数のアンダーグラフになるように再配置できます。

スラブの観点により、基本的な微積分を用いてルベーグ積分を簡単に定義できます。 が(ルベーグ測定可能な) 関数で、非負の値 ( を含む可能性あり) を取るとします。 の分布関数を「スラブの幅」、つまり と定義します。 すると は単調減少かつ非負となり、したがって 上で (不適正な) リーマン積分を持ちます。 ルベーグ積分は と 定義できます。ここで 、右側の積分は、非負関数 ( 0 の近傍上に あるかのように適切に解釈されます) の通常の不適正なリーマン積分です。${\displaystyle f}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle f}$$${\displaystyle F(y)=\mu \{x|f(x)>y\}.}$$${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle (0,\infty )}$$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }F(y)\,dy}$$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle F(y)=+\infty }$

しかし、ほとんどの教科書では、ルベーグ積分に関する基本定理を証明するのがより簡単になるという理由から、 単純関数の観点を強調しています。

測度論は当初、実数直線の部分集合の長さの概念、およびより一般的にはユークリッド空間の部分集合の面積と体積の概念を抽象化するために作成されました。特に、測度論はRのどの部分集合に長さがあるかという問題に対する体系的な回答を提供しました。後の集合論の発展が示したように(非測度集合を参照)、自然な加法性と並進不変性のある性質を保持する方法でRのすべての部分集合に長さを割り当てることは実際には不可能です。これは、適切なクラスの測度可能な部分集合を選択することが必須の前提条件であることを示唆しています。

リーマン積分は長さの概念を明示的に使用します。実際、リーマン積分の計算要素は長方形[ a , b ] × [ c , d ]であり、その面積は( b − a )( d − c )と計算されます。量b − a は長方形の底辺の長さで、d − c は 長方形の高さです。より一般的な集合を測定する適切な理論がなかったため、リーマンは曲線の下の面積を近似するために平面長方形しか使用できませんでした。

1950 年以降のほとんどの現代の教科書における理論の展開では、測度と積分へのアプローチは公理的です。つまり、測度とは、集合Eの特定の部分集合クラスX上で定義され、特定のプロパティ リストを満たす任意の関数μです。これらのプロパティは、さまざまなケースで成り立つことが示されます。

まず、測度空間 ( E , X , μ )から始めます。ここで、Eは集合、XはEの部分集合のσ 代数、μ はXの集合上で定義されたE上の(非負の)測度です。

たとえば、E はユークリッドn空間 R ⁿまたはそのルベーグ可測部分集合であり、X はEのすべてのルベーグ可測部分集合のσ 代数であり、μはルベーグ測度です。確率の数学的理論では、 μ ( E ) = 1 を満たす確率測度 μに研究を限定します。

ルベーグの理論は、可測関数と呼ばれる関数のクラスの積分を定義します。 E上の実数値関数fは、形式( t、∞)のすべての区間の逆像がXにある場合、可測です。

$${\displaystyle \{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$$

これは、 Rの任意のボレル部分集合の逆像がXにあることを要求するのと同等であることが示せます。測定可能な関数の集合は代数演算に対して閉じていますが、より重要なのは、さまざまな種類の点ごとの連続極限に対して閉じていることです。

$${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$$

元の流れ（f _k） （ k∈N ）が測定可能な関数から構成されている 場合、測定可能で ある。

E上で定義された測定可能な実数値関数fの積分を定義するにはいくつかの方法があり、そのような積分を表すためにいくつかの表記法が使用されます。

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f(x)\,d\mu (x)=\int _{E}f(x)\,\mu (dx).}$$

分布論における0次の分布を持つ測度の同定、またはラドン測度との同定に従って、双対表記法を使用して、 μに関する積分を次 のように書くこともできる。

$${\displaystyle \langle \mu ,f\rangle .}$$

ルベーグ積分の理論には、測定可能な集合とそれらの集合上の測度の理論、および測定可能な関数とそれらの関数上の積分の理論が必要です。

ルベーグ積分を構成する 1 つの方法は、いわゆる単純関数、つまり指示関数の有限で実数の線形結合を使用することです。与えられた関数f の直下にある単純関数は、fの値域を有限個の層に分割することによって構成できます。 fのグラフと層の交点は、 fの定義域内の区間の集合を識別し、これらをまとめて、単純関数の下でのその層の下限の逆像として定義されます。このように、fの値域の分割は、その定義域の分割を意味します。単純関数の積分は、これらの (必ずしも接続されているわけではない) 定義域の部分集合にわたって、部分集合の測度と単純関数の下でのその像 (対応する層の下限) との積を合計することによって求められます。直感的には、この積は同じ高さのすべてのバーの面積の合計です。非負の一般測定可能関数の積分は、単純な関数による近似値の適切な上限として定義され、（必ずしも正ではない）測定可能関数の積分は、非負の測定可能関数の2つの積分の差である。^[1]

与えられた測度μと一致する測定可能な集合Sの指示関数 1 _Sの積分に値を割り当てるには、次のように設定するのが唯一の合理的な選択です。

$${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

μが有限測度でない限り、結果は+∞に等しくなる可能性があることに注意してください。

指標関数の 有限線形結合

$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

ここで係数a _kは実数、S _{k は}互いに素な可測集合であり、可測単純関数と呼ばれる。この積分を線形性によって非負の可測単純関数に拡張する。係数a _kが正のとき、次のように設定する。

$${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$

この合計が有限であるか +∞ であるか。単純な関数は、指示関数の線形結合としてさまざまな方法で記述できますが、測定値の加法性により積分は同じになります。

実数値の単純な関数の積分を定義する際には、定義されていない表現∞ − ∞を避けるために注意が必要である。表現

$${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

は、 ak ≠0の_ときはいつでもμ( Sk )<∞となる。すると、 fの積分に関する上記の式は意味を持ち、結果は仮定を満たすfの特定の表現_に依存しない。 ^[2]

BがEの測定可能な部分集合であり、sが測定可能な単純関数である 場合、次のように定義される。

$${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).}$$

f をE上の非負の測定可能な関数とし、値+∞を取ることを許す、言い換えれば、f は拡張された実数直線上で非負の値を取るものとする。定義する。

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

Eが線分[ a , b ]のとき、この積分が単純関数の集合上で定義された前の積分と一致することを示す必要があります。また、これがリーマン積分の概念に何らかの形で対応するかどうかという疑問もあります。両方の質問に対する答えが「はい」であることを証明することは可能です。

E上の任意の非負拡張実数値測定可能関数に対してfの積分を定義しました。関数によっては、この積分は無限大になります。 ${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$

ルベーグ積分をよく近似する単純な関数の特定の列を持つことは、多くの場合有用です（リーマン和に類似）。非負の測定可能な関数fについて、 （ k は、たとえば 未満の非負の整数）のときは常に値がとなる単純な関数を とします。すると、であり、右辺の極限が拡張された実数として存在することが直接証明できます 。これは、単純な関数を使用したルベーグ積分へのアプローチと、範囲の分割を使用したルベーグ積分の動機との間のつながりを橋渡しします。 ${\textstyle s_{n}(x)}$${\textstyle k/2^{n}}$${\textstyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}}$${\textstyle 4^{n}}$$${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$

符号付き関数を扱うには、もう少し定義が必要です。fが集合Eの実数（±∞を含む）に対する測定可能な関数である場合、次のように書くことができます。 $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{if }}f(x)>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

f ⁺とf ^{− は}どちらも非負の測定可能な関数である ことに注意してください。また、

$${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

測定可能な関数f のルベーグ積分は存在する、またはと の少なくとも 1 つが有限である場合に定義されると言います。 ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$

$${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

この場合、定義する

$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

もし

$${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$

f はルベーグ積分可能であると言う。

この定義により、積分の望ましい特性が得られることがわかります。

fが測定可能かつ非負であると 仮定すると、関数は 単調非増加である。ルベーグ積分はf ^∗の不定リーマン積分として定義できる。^{[3]この積分は}∞ の上限では不定であり、ゼロでも不定である可能性がある。無限大になる可能性を考慮すれば、この積分は存在する。^{[4] [5]}$${\displaystyle f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).}$$ $${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.}$$

前述のように、ルベーグ積分可能（必ずしも非負ではない）関数の積分は、その正の部分と負の部分の積分を減算することによって定義されます。

複素数値関数も同様に、実部と虚部を別々に考えることで積分することができる。^[6]

実数値の積分可能な関数f、gに対してh = f + igとすると、 hの積分は次のように定義される。 $${\displaystyle \int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .}$$

関数がルベーグ積分可能であるのは、その絶対値がルベーグ積分可能である場合のみです ( 「絶対積分可能関数」を参照)。

有理数の指示関数1 _Q（ディリクレ関数とも呼ばれる）を考えてみましょう。この関数はどこでも連続ではありません。

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ は[ 0, 1]上でリーマン積分可能ではありません。集合[ 0, 1]がどのように部分区間に分割されても、各区間には少なくとも 1 つの有理数と少なくとも 1 つの無理数が含まれます。これは、有理数と無理数が両方とも実数に稠密であるためです。したがって、上側のDarboux 和はすべて 1 であり、下側の Darboux 和はすべて 0 です。
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ は、ルベーグ測度を用いて[ 0, 1]上でルベーグ積分可能です。実際、これは有理数の指示関数なので、定義によりQ は可算であるためです。$${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$

ルベーグ積分における技術的な問題は、積分領域が集合（測度空間の部分集合）として定義され、向きの概念がないことである。初等微積分学では、向きに関する積分を定義する。これ を高次元に一般化すると、微分形式の積分が得られる。対照的に、ルベーグ積分は測度に関する部分集合上の積分という別の一般化を提供する。これは、 部分集合A上の積分を示すために と表記することができる。これらの一般化の関係の詳細については、「微分形式 § 測度との関係」を参照。これらのアイデアを結び付ける主要な理論は、ジョルジュ・ド・ラムとハスラー・ホイットニーが開拓したホモロジー積分（幾何学的積分理論と呼ばれることもある）である。^[7]$${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$$${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$

フーリエ級数の出現により、積分に関する多くの解析的問題が出現し、それらの満足のいく解決には極限過程と積分符号の交換が必要となった。しかし、積分が

$${\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$

等しいことは、リーマンの枠組みでは非常に困難であることが証明されています。リーマン積分には、他にも技術的な難しさがいくつかあります。これらは、上で説明した極限を取る難しさと関連しています。

上で示したように、有理数上の指示関数 1 _{Q は}リーマン積分可能ではない。特に、単調収束定理は成り立たない。その理由を見るために、{ a _k } を[0, 1]内のすべての有理数の列挙とする（これらは可算なのでこれを行うことができる）。次に、 $${\displaystyle g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

関数g _{k は、}有限の点集合を除いて、どこでもゼロです。したがって、そのリーマン積分はゼロです。各g _kは非負であり、この関数列は単調増加ですが、k → ∞としての極限は1 _Qであり、リーマン積分可能ではありません。

リーマン積分は、有界区間上の関数のみを積分できます。ただし、 ∞ − ∞のような答えが出ない限り、極限を取ることで、有界でない区間に拡張できます。

リーマン積分は実数の順序構造と密接に関係しています。

2 つの関数は、 が空集合のサブセットである場合、ほぼどこでも(略して)等しいと言われます。集合の測定可能性 は要求されません。 ${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g}$${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$

以下の定理は測度論とルベーグ積分に関するほとんどの教科書で証明されている。^[8]

• fとgが非負の測定可能な関数（値+∞を想定可能）であり、ほぼすべての点でf = gである場合、つまり、積分はほぼすべての点で等しくなるという同値関係を尊重します。$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$
• fとg がほぼどこでもf = gとなるような関数である場合、 gがルベーグ積分可能である場合のみ、f はルベーグ積分可能であり、fとgの積分は存在する場合は同じです。
• 線形性：fとgがルベーグ積分可能関数でaとbが実数の場合、af + bgはルベーグ積分可能であり、$${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• 単調性: f ≤ gならば、$${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• 単調収束定理: { f _k } _{k ∈ N が}次の 条件を満たす非負の可測関数の列であるとします。すると、 f _kの各点の極限f はルベーグ可測であり、どの積分の値も無限大になることが許されます。$${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$
• ファトゥの補題: { f _k } _{k ∈ N が}非負の測定可能な関数の列である場合、再び、いずれの積分の値も無限大になる可能性がある。$${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$
• 優勢収束定理: { f _k } _{k ∈ N が}点ごとの極限fを持つ複素可測関数の列であるとし、すべてのkに対して| f _k | ≤ g を満たすルベーグ積分可能関数g (つまり、g は空間L ¹に属する)が存在するとする。このとき、f はルベーグ積分可能であり、$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

極限と積分の交換に必要な十分条件は、カフィエロ^{[9] [10] [11] [12]によって証明され、レナート・カチョッポリ、ウラジミール・ドゥブロフスキー、ガエターノ・フィチェラ[13]}の以前の研究を一般化した。

測度論の完全な仕組みに頼らずに、ルベーグ測度に関する積分を展開することは可能です。そのようなアプローチの 1 つがダニエル積分によって提供されます。

関数解析法による積分理論を展開する別のアプローチもあります。リーマン積分は、R ⁿ (または固定された開集合)上で定義されたコンパクト台の任意の連続関数fに対して存在します。より一般的な関数の積分は、これらの積分から構築できます。

C _{c を}Rの実数値コンパクトに支えられた連続関数全体の成す空間とする。C c上のノルムを次のように 定義する_。$${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

すると、C _{c は}ノルムベクトル空間（特に、距離空間）になります。すべての距離空間はハウスドルフ完備化を持つので、L ^{1 を}その完備化とします。この空間は、積分が 0 である関数の部分空間を法として、ルベーグ積分可能関数の空間に同型です。さらに、リーマン積分∫は、 L ¹で稠密なC _c上のノルムに関して一様連続関数です。したがって、∫ はL ¹全体に対して一意の拡張を持ちます。この積分は、まさにルベーグ積分です。

より一般的には、関数が定義されている測度空間も局所的にコンパクトな 位相空間である場合(実数Rの場合のように)、適切な意味で位相と互換性のある測度 (ルベーグ測度が一例であるラドン測度 ) については、コンパクトな台を持つ連続関数の積分から始めて、それらに関する積分を同じ方法で定義できます。より正確には、コンパクトに支えられた関数は自然な位相を持つベクトル空間を形成し、 (ラドン) 測度はこの空間上の連続線型関数として定義されます。コンパクトに支えられた関数における測度の値は、定義により関数の積分でもあります。次に、測度 (積分) を連続性によってより一般的な関数に拡張し、集合の測度をその指示関数の積分として定義します。これは、ニコラ・ブルバキ^[14]と他の何人かの著者が採用したアプローチです。詳細については、ラドン測度 を参照してください。

ルベーグ積分の主な目的は、積分の極限が緩い仮定の下で成り立つ積分概念を提供することです。すべての関数がルベーグ積分可能であるという保証はありません。しかし、ルベーグ積分可能でない関数に対して不定積分が存在することはあり得ます。1 つの例は、 実数直線全体にわたって sinc 関数です。この関数は、 であるためルベーグ積分可能ではありません。 一方、は不定積分として存在し、有限であると計算できます。これはディリクレ積分の2 倍で、 に等しくなります。 $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$${\displaystyle \pi }$

• アンリ・ルベーグ、ルベーグ積分の非技術的な説明
• ヌルセット
• 統合
• 測定
• シグマ代数
• ルベーグ空間
• ルベーグとスティルチェスの統合
• リーマン積分
• ヘンストック・カーツワイル積分

• バートル、ロバート G. (1995)。積分の要素とルベーグ測度。ワイリークラシックスライブラリー。ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ社。xii+ 179。ISBN 0-471-04222-6. MR  1312157。
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• ルディン、ウォルター (1966)。実解析と複素解析。ニューヨーク：McGraw-Hill Book Co. pp. xi+412。MR  0210528。ビッグ ルーディンとして知られています。理論の完全かつ慎重な説明。リース拡張定理の優れた説明。ただし、拡張定理の 1 つの証明に小さな欠陥があります (第 1 版)。この発見は、第 2 章の演習 21 に含まれています。
• サックス、スタニスワフ(1937)。インテグラルの理論。モノグラフィー・マテマティチュネ。 Vol. 7（第2版）。ワルシャワ-ルヴフ: GE Stechert & Co. JFM  63.0183.05。Zbl  0017.30004。英語訳はローレンス・チズホルム・ヤング、追加注釈はステファン・バナッハによる。
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1977)。積分、測定、微分：統一的アプローチ。ロシア語から翻訳され、Richard A. Silverman によって編集されました。Dover Books on Advanced Mathematics。ニューヨーク：Dover Publications Inc. xiv+ 233。ISBN 0-486-63519-8. MR  0466463。ダニエル積分を強調します。
• ジークムント＝シュルツェ、ラインハルト（2008）、「アンリ・ルベーグ」、ティモシー・ガワーズ著。ジューン・バロー・グリーン。 Imre Leader (編)、Princeton Companion to Mathematics、プリンストン大学出版局。
• テシュル、ジェラルド。実数および関数解析のトピック。（講義ノート）。
• ホイットニー、H. (1957)、幾何積分理論、プリンストン数学シリーズ、第21巻、プリンストン、ニュージャージー州およびロンドン：プリンストン大学出版局およびオックスフォード大学出版局、pp. XV+387、MR  0087148、Zbl  0083.28204。
• Yeh, James (2006).実解析: 測度と積分の理論 第 2 版 ペーパーバックシンガポール: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. p. 760. ISBN 978-981-256-6。