ダルブーインテグラル

区間の分割${\displaystyle [a,b]}$は有限個の値の列です${\displaystyle x_{i}}$そのため

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}$

各間隔${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$は分割のサブ区間と呼ばれる。${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$を有界関数とし、

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$

分割する${\displaystyle [a,b]}$。 させて

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

ダルブーの上限和${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle P}$は

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

ダルブー和の下限${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle P}$は

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

下側ダルブー和と上側ダルブー和は、しばしば下側和と上側和と呼ばれる。

fの上側の Darboux 積分は^{[ 4 ]}である。

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{は}}[a,b]の分割である}。}$

fの下側の Darboux 積分は^{[ 4 ]}である。

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{は}}[a,b]の分割である}。}$

一部の文献では、下線と上線が付いた積分記号は、それぞれ下ダルブー積分と上ダルブー積分を表します。^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}$

ダルブー和と同様に、これらは単に下積分と上積分と呼ばれることもあります。^{[ 4 ]}

U _f  = L _fの場合、共通値をダルブー積分と呼びます。^{[ 5 ]}また、 fはダルブー積分可能、または単に積分可能であると言い、^{[ 4 ]と設定します。} 

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}$

fの積分可能性の同等かつ有用な基準は、すべての ε > 0 に対して、 [ a , b ]の分割P _{εが存在し、} ^{[ 6 ]が成り立つことを示すことである。}

${\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}$

関数が${\displaystyle f(x)=x}$区間上でダルブー積分可能である${\displaystyle [0,1]}$そしてその値を決定します。これを行うには分割します。${\displaystyle [0,1]}$の中へ${\displaystyle n}$長さが等しい等間隔の小区間${\displaystyle 1/n}$の分割を と表す。${\displaystyle n}$等間隔の小区間として${\displaystyle P_{n}}$。

今から${\displaystyle f(x)=x}$厳密に増加しています${\displaystyle [0,1]}$任意の特定の部分区間の下限は、その開始点によって与えられます。同様に、任意の特定の部分区間の上限は、その終了点によって与えられます。${\displaystyle k}$の 番目の小区間${\displaystyle P_{n}}$は${\displaystyle (k-1)/n}$そして終点は${\displaystyle k/n}$したがって、分割上の下側ダルブー和は${\displaystyle P_{n}}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2n}}\end{aligned}}}$

同様に、上側のダルブー和は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}\end{aligned}}}$

以来

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}$

したがって、任意の${\displaystyle \varepsilon >0}$任意のパーティションがあります${\displaystyle P_{n}}$と${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$満たす

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }$

これは、${\displaystyle f}$はダルブー積分可能です。積分値を求めるには、次の点に注意してください。

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}$

ダルブーの要約

関数y = x ^{2のダルブー上和}

関数y = x ^{2の Darboux 下和}

ディリクレ関数があると仮定します${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1]}$定義される

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}1&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\0&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

有理数と無理数はどちらも稠密な部分集合であるため${\displaystyle \mathbb {R} }$したがって、${\displaystyle f}$任意の分割の各部分区間において、0と1の値をとります。したがって、任意の分割において${\displaystyle P}$我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$

これから、下側と上側のダルブー積分が等しくないことがわかる。