ホモロジー積分

微分幾何学や幾何学的測度論といった数学の分野において、ホモロジー積分あるいは幾何学的積分は、積分の概念を多様体に拡張する方法である。積分は関数や微分形式ではなく、多様体上の電流に対して定義される。

この理論は「ホモロジー的」である。なぜなら、電流自体は微分形式との双対性によって定義されるからである。すなわち、多様体M上のk電流の空間D ^{k は}、超関数の意味で、 M上のk形式Ω ^kの空間の双対空間として定義される。したがって、 k電流Tとk形式αの間にはペアリングがあり、ここでは次のように表される。

${\displaystyle \langle T,\alpha \rangle .}$

この双対性の組み合わせの下では、外微分は

${\displaystyle d:\Omega^{k-1}\to \Omega^{k}}$

境界演算子に渡される

${\displaystyle \partial :D^{k}\to D^{k-1}}$

定義

${\displaystyle \langle \partial T,\alpha \rangle =\langle T,d\alpha \rangle }$

すべてのα  ∈ Ω ^kに対して。これはコホモロジー的構成ではなくホモロジー的構成です。

• フェデラー、ヘルベルト(1969)、幾何測度理論、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 153、ニューヨーク: Springer-Verlag New York Inc.、pp. xiv+676、ISBN 978-3-540-60656-7、MR  0257325、Zbl  0176.00801。
• ホイットニー、H. (1957)、幾何積分理論、プリンストン数学シリーズ、第21巻、プリンストン、ニュージャージー州およびロンドン：プリンストン大学出版局およびオックスフォード大学出版局、pp. XV+387、MR  0087148、Zbl  0083.28204。