最高の理想

代数学において、素イデアルは、整数環において素数の多くの重要な性質を共有する環の部分集合である。^[1]^{[2]整数の素イデアルは、}零イデアルとともに、与えられた素数のすべての倍数を含む集合である。

原始イデアルは素数であり、素イデアルは原始的かつ半素数でもある。

可換環の素イデアル

意味

可換環 $R$ のイデアル $P は$ 、次の 2 つの性質を持つ場合、 素数となります。

$a$ と $b が$ $R$ の2つの要素で、それらの積 $ab$ $がP$ の要素である場合、 $a は$ $P$ に含まれるか、 $b は$ $P$ に含まれる。
$P は$ 環 $R$ 全体ではありません。

これは、ユークリッドの補題として知られる素数の次の性質を一般化したものである。p $が$ 素数であり、 $pが$ 2つの整数の積 $abを$ 割り切る場合、 $pは$ $aを$ 割り切るか、 $pは$ $bを$ 割り切る。したがって、次のように言える。

正の整数

n

が素数であるのは、nが素イデアルである場合に限ります。

n\mathbb {Z}

\mathbb {Z} .

例

簡単な例: リング内の偶数の部分集合は素イデアルです。 $R=\mathbb {Z} ,$
整域が与えられると、任意の素元は主素イデアルを生成します。たとえば、ある体上の多項式環の既約多項式を考えます。アイゼンシュタインの整域基準 (したがってUFD ) は、多項式環の元が既約であるかどうかを判断するのに有効です。 $R$ $p\in R$ $(p)$ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $\mathbb {F}$
$R が$ 複素係数を持つ 2 変数の多項式環を表す場合、多項式 $Y$ $2$ $-$ $X$ $3$ $-$ $X$ $- 1$ によって生成されるイデアルは素イデアルです (楕円曲線を参照)。 $\mathbb {C} [X,Y]$
整数係数を持つすべての多項式の環において、 $2$ と $X$ によって生成されるイデアルは素イデアルです。このイデアルは、の要素の $2$ 倍を取り、それをの別の多項式の $X$ 倍に加算して構成されるすべての多項式で構成されます(これにより、後者の多項式の定数係数が線形係数に変換されます)。したがって、結果として得られるイデアルは、定数係数が偶数であるすべての多項式で構成されます。 $\mathbb {Z} [X]$ $\mathbb {Z} [X]$ $\mathbb {Z} [X]$
任意の環 $R$ において、極大イデアル $とは、 R$ のすべての固有イデアルの集合において極大となるイデアル $M の$ ことである。つまり、 $M は$ $R$ のちょうど 2 つのイデアル、つまり $M自身と環$ $R$ 全体に含まれる。すべての極大イデアルは素数である。主イデアル領域では、すべての非ゼロの素イデアルは極大であるが、これは一般には当てはまらない。UFD の場合、ヒルベルトの零点定理によれば、すべての極大イデアルは次の形式となる。 $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).$
$M$ が滑らかな多様体、 $Rが$ $M上の滑らかな$ 実関数の環、 $x が$ $M$ 内の点である場合、 $f$ $($ $x$ $) = 0 を$ 満たすすべての滑らかな関数 $fの集合は、$ $R$ 内の素イデアル（最大イデアルも含む）を形成します。

非例

次の2つの商の合成を考えてみましょう

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}

最初の2つの環は整域であるが（実際、最初の環はUFDである）、最後の環は整域ではない。なぜなら、

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C}

はに因数分解されるため、商環には零因子が存在することを意味し、と同型になることを防ぎ、代わりに非整域と同型になります(中国剰余定理より)。

(y^{2}-1)

(y-1)(y+1)

\mathbb {C}

\mathbb {C} \times \mathbb {C}

これは、イデアルが素数ではないことを示しています。(以下にリストされている最初の特性を参照してください。)

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

もう一つの非例は理想である。 $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$

x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)

しかし、どちらも理想の要素ではありません。

x-1

x+1

プロパティ

環 $R$ (単位元) のイデアル $I が$ 素数となるのは、因数環 $R$ $/$ $I$ が整域となる場合のみです。特に、可換環 (単位元 ) が整域となるのは、 $(0)$ が素イデアルとなる場合のみです。(零環には素イデアルはありません。なぜなら、イデアル (0) は環全体だからです。)
イデアル $I$ が素数となるのは、その集合論的補集合が乗法的に閉じている場合に限ります。^[3]
すべての非ゼロ環には少なくとも 1 つの素イデアル (実際には少なくとも 1 つの最大イデアル) が含まれます。これは、クルルの定理の直接的な結果です。
より一般的には、 $S が$ $R の$ 任意の乗法的に閉集合である場合、本質的に Krull による補題は、 $S$ と互いに素であることに関して $R$ の最大のイデアルが存在し、さらにそのイデアルは素でなければならないことを示しています。これは、非可換環にさらに一般化できます (下記参照)。^[4] $S$ $= {1}$ の場合、 Krull の定理が得られ、これにより $Rの最大イデアルが復元されます。別の典型的な m-システムは、非$ 冪零元のすべての正の累乗の集合 ${$ $x$ $、$ $x$ $2$ $、$ $x$ $3$ $、$ $x$ $4$ $、...}$ です。
環準同型による素イデアルの逆像は素イデアルである。同様の事実は極大イデアルに対して常に当てはまるとは限らず、これが代数幾何学者が環のスペクトルを極大イデアルではなく素イデアルの集合として定義する理由の 1 つである。環の準同型はスペクトル間の写像を与えることが望まれる。
すべての素イデアルの集合（環のスペクトルと呼ばれる）には、極小元（極小素イデアルと呼ばれる）が含まれます。幾何学的には、これらはスペクトルの既約成分に対応します。
2 つの素イデアルの和は必ずしも素数ではありません。例として、素イデアル $P$ $= ($ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1)$ と $Q$ $= ($ $x$ $) (それぞれ$ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1$ と $x$ によって生成されるイデアル) を持つ環を考えます。しかし、それらの和 $P$ $+$ $Q$ $= ($ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1,$ $x$ $) = ($ $y$ $2$ $- 1,$ $x$ $)$ は素数ではありません: $y$ $2$ $- 1 = ($ $y$ $- 1)($ $y$ $+ 1) \in$ $P$ $+$ $Q$ ですが、その 2 つの因数は素数ではありません。あるいは、商環には零因子がないので整域ではなく、したがって $P$ $+$ $Q は$ 素数にはなり得ません。 $\mathbb {C} [x,y]$
2 つのイデアルに因数分解できないイデアルはすべて素イデアルであるとは限りません。たとえば、因数分解できないが素数ではないイデアルなどです。 $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$
少なくとも 2 つの元を持つ可換環 $Rにおいて、すべての適切なイデアルが素数である場合、その環は体です。(イデアル$ $(0)$ が素数である場合、環 $R$ は整域です。q $が$ $R$ の任意の非ゼロ元であり、イデアル $(q 2)$ が素数である場合、q は $R$ に含まれ、 $q は$ 可逆です。)
非ゼロの主イデアルは、素元によって生成される場合のみ素数です。UFD では、すべての非ゼロの素イデアルには素元が含まれます。

用途

素イデアルの用途の 1 つは代数幾何学で、多様体は多項式環のイデアルの零集合として定義されます。既約多様体は素イデアルに対応することがわかります。現代の抽象的なアプローチでは、任意の可換環から始めて、その素イデアルの集合 (スペクトルとも呼ばれます) を位相空間に変換し、多様体の一般化 (スキーム)を定義できます。スキームは幾何学だけでなく数論にも応用されています。

代数的整数論における素イデアルの導入は大きな前進であった。算術の基本定理で表現される一意因数分解という重要な性質は代数的整数のすべての環で成り立つわけではないことが認識されたが、リチャード・デデキントが元をイデアルに、素元を素イデアルに置き換えることで代替物が見つかった。デデキント域を参照。

非可換環の素イデアル

素イデアルの概念は、可換定義を「イデアルごとに」使用することで非可換環に一般化できます。ヴォルフガング・クルルは1928 年にこのアイデアを提唱しました。^{[5]以下の内容は、グッドアールの}^[6]やラムの^[7]などのテキストに記載されています。 $R$ が (おそらく非可換な) 環であり、 $Pが$ $R$ の真イデアルである場合、 $R$ の任意の2 つのイデアル $A$ と $Bに対して$ $Pが$ 素であるというのは次の条件を満たすときです。

$イデアルAB$ の積が $P$ に含まれる場合、 $A$ と $B$ の少なくとも 1 つは $P$ に含まれます。

この定義は可換環における可換な定義と同等であることが示せます。非可換環 $R$ のイデアルが可換な素数定義を満たす場合、非可換バージョンも満たすことは容易に証明できます。可換な素数定義を満たすイデアル $P は$ 、環内の他の単なる素数イデアルと区別するために、完全に素なイデアルと呼ばれることがあります。完全に素なイデアルは素イデアルですが、その逆は真ではありません。たとえば、体上の $n \times n$ 行列の環の零イデアルは素イデアルですが、完全に素ではありません。

これは、イデアルをイデアル数として捉える歴史的な観点に近いもので、環の場合、「 $Aは$ $P$ に含まれる」というのは「 $P は$ $A を$ 割り切る」という言い方と同義であり、単位イデアル $R は$ 統一を表します。 $\mathbb {Z}$

理想的な $P \neq R が$ 素数であることの同等の定式化には、次の特性が含まれます。

$R$ のすべての $a$ と $b$ について、 $($ $a$ $)($ $b$ $) \subseteq$ $P は$ $a$ $\in$ $P$ または $b$ $\in$ $P$ を意味します。
$Rの任意の 2 つの$ 右イデアルについて、 $AB$ $\subseteq$ $P は$ $A$ $\subseteq$ $P$ または $B$ $\subseteq$ $P$ を意味します。
$Rの任意の 2 つ$ の左イデアルについて、 $AB$ $\subseteq$ $P は$ $A$ $\subseteq$ $P$ または $B$ $\subseteq$ $P$ を意味します。
$R$ の任意の要素 $a$ と $b$ について、 $aRb$ $\subseteq$ $P$ であれば、 $a$ $\in$ $P$ または $b$ $\in$ $P$ です。

可換環の素イデアルは $R$ に乗法的に閉じた補集合を持つという特徴があり、少し修正すれば非可換環の素イデアルについても同様の特徴付けができる。空でない部分集合 $S$ $\subseteq$ $R$ は、 $S$ の任意の $a$ と $bに対して、$ $R$ に $r が$ 存在して $arb が$ $S$ に含まれるとき、 m-システムと呼ばれる。^[8]上記の同値な条件のリストに次の項目を追加できる。

補集合 $R ∖ P$ は m-システムです。

例

あらゆる原始イデアルは素数である。
可換環と同様に、極大イデアルは素であり、また素イデアルには極小素イデアルが含まれます。
環が素環となるのは、零イデアルが素イデアルである場合に限ります。また、環が整域となるのは、零イデアルが完全に素イデアルである場合に限ります。
非可換理論に反映された可換理論からのもう一つの事実は、 $A$ が非ゼロの $R$ 加群であり、 $Pが$ $Aのサブ加群の$ 消滅イデアルの順序集合における最大元である場合、 $P$ は素数であるということです。

重要な事実

素数回避補題。Rが可換環、 $A$ が部分環（単位元を持たない可能性あり）、 $I$ $1$ $, ...,$ $I$ $n$ $がR$ のイデアルの集合で最大2つの要素が素数でないとき、A がどの I j にも含まれない場合 $、$ $I$ $1$ $,$ ... $,$ $I$ $n$ $の$ $和$ 集合にも含まれない。^[9]特に、 $A は$ $R$ のイデアルとなり得る。
$S が$ $R$ の任意の m-システムである場合、本質的に Krull による補題は、 $S$ と分離することに関して最大の $R$ のイデアル $I が$ 存在し、さらにイデアル $I は$ 素でなければならないことを示しています (素数性 $I は$ 次のように証明できます。の場合、 $I$ の最大値の性質により、となる元が存在する。ここで、の場合、となり、これは矛盾です)。^[4] $S$ = {1}の場合 $、$ Krull の定理が得られ、これにより $R$ の最大イデアルが復元されます。別の典型的な m-システムは、非冪零元のすべての正の累乗の集合 ${$ $x$ $、$ $x$ $2$ $、$ $x$ $3$ $、$ $x$ $4$ $、...}$ です。 $a,b\not \in I$ $s,t\in S$ $s\in I+(a),t\in I+(b)$ $(a)(b)\subset I$ $st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I$
素イデアル $P$ に対して、補集合 $R ∖ P は$ m-システムであること以外に別の特性を持ちます。xy が $R ∖ P$ に含まれる場合、 $P$ はイデアルなので、 $x$ と $y は両方とも$ $R ∖ P$ に含まれていなければなりません。その要素の約数を含む集合は飽和と呼ばれます。
可換環 $R$ については、前の命題の逆のようなものが存在します。 $S が$ $R$ の任意の空でない飽和かつ乗法的に閉じた部分集合である場合、補集合 $R ∖ S$ $はR$ の素イデアルの和集合です。^[10]
素イデアルの下降連鎖の要素の共通部分は素イデアルであり、可換環では素イデアルの上昇連鎖の要素の和集合は素イデアルである。ゾルンの補題によれば、これらの観察は可換環の素イデアルの半集合（包含によって部分的に順序付けられている）には最大元と最小元があることを意味する。

最大化へのつながり

素イデアルは、特定のイデアルの集合の最大元として生成されることがよくあります。たとえば、

固定された m システムとの空の交差を持つことに関する理想的な最大値は素数です。
$固定されたR$ 加群 $M$ のサブ加群の消滅子間の理想的な最大値は素数です。
可換環において、非主であることに関するイデアル極大値は素数である。^[11]
可換環において、可算生成でないという点に関するイデアル極大値は素数である。^[12]

参照

参考文献

^ ダミット、デビッド・S.、フット、リチャード・M. (2004)。抽象代数（第3版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-43334-9。
^ ラング、セルジュ(2002)。代数学。大学院数学テキスト。シュプリンガー。ISBN 0-387-95385-X。
^ リード、マイルズ(1996)。学部生向け可換代数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-45889-7。
^ ab Lam非可換環論入門、p. 156
^ Krull、Wolfgang、Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen、Sitzungsberichte Heidelberg。アカド。 Wissenschaft (1928)、7. Abhandl.、3-14。
^ グッドアール、非可換ネーター環入門
^ ラム『非可換環論入門』
^ 明らかに、乗法的に閉じた集合は m システムです。
^ ジェイコブソン『基礎代数 II』390 ページ
^ カプランスキー可換環、p. 2
^ Kaplansky可換環、p. 10、例 10。
^ Kaplansky可換環、p. 10、例11。

さらに読む

Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004)、「非可換ノイザン環入門」、ロンドン数学会学生テキスト、第61巻（第2版）、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. xxiv+344、doi :10.1017/CBO9780511841699、ISBN 0-521-54537-4、MR 2080008
ジェイコブソン、ネイサン（1989）、Basic algebra. II（第2版）、ニューヨーク：WH Freeman and Company、pp. xviii+686、ISBN 0-7167-1933-9、MR 1009787
カプランスキー、アーヴィング（1970）、可換環、ボストン、マサチューセッツ州：アリン＆ベーコン社、pp. x+180、MR 0254021
ラム、TY (2001)、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、doi：10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0、MR 1838439、Zbl 0980.16001
ラム, テキサス州; Reyes、Manuel L. (2008)、「可換代数における主要な理想原理」、J. Algebra、319 (7): 3006–3027、doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016、ISSN 0021-8693、MR 2397420、Zbl 1168.13002
「素イデアル」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[1] ダミット、デビッド・S.、フット、リチャード・M. (2004)。抽象代数（第3版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-43334-9。

[2] ラング、セルジュ(2002)。代数学。大学院数学テキスト。シュプリンガー。ISBN 0-387-95385-X。

[3] リード、マイルズ(1996)。学部生向け可換代数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-45889-7。

[Lam-4] Lam非可換環論入門、p. 156

[5] Krull、Wolfgang、Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen、Sitzungsberichte Heidelberg。アカド。 Wissenschaft (1928)、7. Abhandl.、3-14。

[6] グッドアール、非可換ネーター環入門

[7] ラム『非可換環論入門』

[8] 明らかに、乗法的に閉じた集合は m システムです。

[9] ジェイコブソン『基礎代数 II』390 ページ

[10] カプランスキー可換環、p. 2

[11] Kaplansky可換環、p. 10、例 10。

[12] Kaplansky可換環、p. 10、例11。