アルティンL関数

数学において、アルティンL関数は、ガロア群Gの線型表現ρに関連付けられたディリクレ級数の一種です。これらの関数は、1923 年にエミール・アルティンが類体理論の研究に関連して導入しました。それらの基本的な特性、特に以下に説明するアルティン予想は、簡単には証明できないことが判明しています。提案されている非アーベル類体理論の目的の 1 つは、アルティンL関数の複素解析的性質を、保型形式やラングランズ プログラムによって提供されるような、より大きなフレームワークに組み込むことです。これまでのところ、そのような理論のほんの一部だけがしっかりとした基盤に置かれています。

有限次元複素ベクトル空間 上のの表現が与えられ、ここで は数体の有限拡大のガロア群であるとき、アルティン関数はオイラー積によって定義されます。の整数環 の各素イデアルに対して、オイラー因子 が存在し、これはがで分岐しない場合に最も簡単に定義できます(ほとんどすべてのに対して当てはまります)。その場合、フロベニウス元はの共役類として定義されます。したがって、の 特性多項式は明確に定義されます。 のオイラー因子は、特性多項式をわずかに修正したもので、同様に明確に定義されています。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbf {フロブ} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \operatorname {charpoly} (\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})))^{-1}=\operatorname {det} \left[It\rho (\mathbf {Frob] } ({\mathfrak {p}}))\right]^{-1},}$

tの有理関数として、 で評価され、通常のリーマンゼータ関数表記の複素変数を持ちます。(ここでN はイデアルの 体ノルムです。)${\displaystyle t=N({\mathfrak {p}})^{-s}}$${\displaystyle s}$

が分岐し、I がGの部分群である慣性群である場合、同様の構成が、Iによって（点ごとに）固定されたVの部分空間に適用されます。^{[注 1]}${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

アルティンの L 関数は、これらの因数のすべての素イデアルの無限積です。アルティンの相互性が示すように、G がアーベル群である場合、これらのL関数には 2 番目の記述があります ( Kが有理数体である場合のディリクレのL関数、および一般にヘッケのL関数として)。新しいのは、非アーベルGとその表現 です。${\displaystyle L(\rho ,s)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

1 つの応用は、デデキント ゼータ関数の因数分解を与えることです。これは、たとえば、有理数体上のガロアである場合です。正規表現の既約表現への分解に従って、そのようなゼータ関数は、Gの各既約表現に対して、アルティンL関数の積に分割されます。たとえば、最も単純なケースは、G が3 つの文字上の対称群である場合です。 G は次数 2 の既約表現を持つため、そのような表現のアルティンL関数は、そのような数体に対するデデキント ゼータ関数の因数分解で、リーマン ゼータ関数 (自明表現の場合) とシグネチャ表現のディリクレ型の L関数との積の形で、2 乗されて現れます。

より正確には、n次のガロア拡大の場合、因数分解 ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(s,\rho _{\text{regular}})=\prod _{\rho {\text{Irr rep }}{\text{Gal}}(L/K)}L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}}$

から続く

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[IN({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){|V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}}$

${\displaystyle -\log \det \left[IN({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}}$

${\displaystyle \sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho ){\text{tr}}(\rho (\sigma ))={\begin{cases}n&\sigma =1\\0&\sigma \neq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[IN\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]}$

ここで、 は正規表現における既約表現の重複度、fはの位数、n は分岐素数で n/eに置き換えられます。${\displaystyle \deg(\rho )}$${\displaystyle \mathbf {フロブ} _{\mathfrak {p}}}$

指標はクラス関数の正規直交基底であるため、のいくつかの解析的性質を示した後、等差数列に関するディリクレの定理の一般化としてチェボタレフの密度定理が得られます。 ${\displaystyle L(\rho ,s)}$

アルティンL関数は関数方程式を満たす。関数の値は と関連しており、 は複素共役表現 を表す。より正確には、 Lは に置き換えられ、これはLに特定のガンマ係数を乗じたものであり、有理型関数の方程式となる 。${\displaystyle L(\rho ,s)}$${\displaystyle L(\rho^{*},1-s)}$${\displaystyle \rho^{*}}$${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)}$

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$、

絶対値が 1 である複素数 W (ρ)を持つ。これはアルティン根数である。これは 2 種類の特性に関して深く研究されてきた。まず、ロバート・ラングランズとピエール・ドリーニュは、ラングランズ・ドリーニュ局所定数への因数分解を確立した。これは、保型表現との推測上の関係に関して重要である。また、ρ と ρ* が同値な表現である場合は、関数方程式が各辺に同じ L 関数を持つ場合とまったく同じである。代数的に言えば、ρ が実表現または四元数表現である場合である。アルティン根数は +1 または -1 のいずれかである。どちらの符号が発生するかという問題は、ガロア加群理論に関連している。^[1]

アルティンL関数に関するアルティン予想は、非自明な既約表現ρのアルティンL関数が複素平面全体で解析的であることを述べている。 ^[2]${\displaystyle L(\rho ,s)}$

これは1次元表現では知られており、L関数はヘッケ指標、特にディリクレL関数に関連付けられます。^[2]より一般的には、アルティンはアルティン予想が1次元表現から誘導されるすべての表現に対して成り立つことを示しまし た。ガロア群が超可解であるか、より一般的には 単項式である場合、すべての表現はこの形式であるため、アルティン予想が成り立ちます。

アンドレ・ヴェイユは関数体の場合におけるアルティン予想を証明した。

2次元表現は、像部分群の性質によって分類される。像部分群は、巡回、二面体、四面体、八面体、または二十面体である。巡回または二面体の場合のアルティン予想は、エーリッヒ・ヘッケの研究から容易に導かれる。ラングランズは基底変換の持ち上げを使用して四面体の場合を証明し、ジェロルド・タネルは彼の研究を八面体の場合にまで拡張した。 ^[3] アンドリュー・ワイルズはこれらのケースをモジュラリティ予想の証明に使用した。リチャード・テイラーらは（解けない）二十面体の場合でいくらか進歩を遂げており、これは活発な研究分野である。奇数で既約な2次元表現に対するアルティン予想は、射影像部分群に関係なく、セールのモジュラリティ予想の証明から導かれる。

誘導特性に関するブラウアーの定理は、すべてのアルティン L 関数がヘッケ L 関数の正と負の積の積であり、したがって複素平面全体で 有理型であることを意味します。

ラングランズ (1970) は、アルティン予想は、すべての に対してGL(n)の保型表現に関連付けられた L 関数に関連する、ラングランズ哲学からの十分に強い結果から従うと指摘しました。より正確には、ラングランズ予想は、ガロア群のすべてのn次元既約表現に、アデール群GL _n ( A _Q )の保型表現を関連付けます。ガロア表現が既約である場合、この表現は尖頭表現であり、ガロア表現のアルティン L 関数は、保型表現の保型 L 関数と同じになります。アルティン予想は、尖頭保型表現の L 関数が正則であるという既知の事実からすぐに従います。これが、ラングランズの研究の主な動機の 1 つでした。 ${\displaystyle n\geq 1}$

より弱い予想（デデキント予想とも呼ばれる）は、M / K が数体の拡大である場合、それらのデデキントゼータ関数の商は 完全であると述べています。 ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

アラマタ・ブラウアーの定理は、M / Kがガロアである場合に予想が成立することを述べています。

より一般的には、N をK上のMのガロア閉包とし、G をN / Kのガロア群とします。商は、MのK不変量複素埋め込みに対するGの作用に関連付けられた自然表現に関連付けられたアルティン L 関数に等しくなります。したがって、アルティン予想はデデキント予想を意味します。 ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

この予想は、 Gが可解群である場合に、1975年に内田浩二とRWファンデルワールスによって独立に証明された^。[4]

• 同変L関数