再スケールされた範囲

再スケール範囲は、英国の水文学者ハロルド・エドウィン・ハースト（1880-1978）によって導入された時系列の変動性の統計的尺度です。 ^[1]その目的は、考慮される期間の長さに応じて系列の見かけの変動性がどのように変化するかを評価することです。

時系列の再スケール範囲は、平均調整累積偏差系列（§ 計算を参照）の範囲を時系列自体の標準偏差で割ることによって計算されます。たとえば、平均 m = 2、標準偏差 S = 1.79 の時系列 {1,3,1,0,2,5} を考えます。系列の各値から m を引くと、平均調整系列 {-1,1,-1,-2,0,3} が得られます。累積偏差系列を計算するには、最初の値 -1、最初の 2 つの値の合計 -1+1=0、最初の 3 つの値の合計などを取り、{-1,0,-1,-3,-3,0} を取得します。その範囲は R = 3 なので、再スケール範囲は R/S = 1.68 です。

同じ時系列を検討し、その観測数を増やすと、再スケール範囲も一般的に増加します。再スケール範囲の増加は、R/S の対数とサンプル数の対数のプロットを作成することで特徴付けることができます。この線の傾きがハースト指数H を示します。時系列がランダム ウォーク(またはブラウン運動プロセス) によって生成される場合、その値は H = 1/2 になります。分析に適した長い時系列を持つ多くの物理現象は、1/2 を超えるハースト指数を示します。たとえば、長年にわたって毎年測定されたナイル川の水位の観測値は、H = 0.77 になります。

複数の研究者（Peters 、1991 を含む）は、多くの金融商品の価格（通貨の為替レート、株価など）も H > 1/2 であることを発見しました。^[2] これは、それらの価格がランダムウォークとは異なる動作をすることを意味し、したがって時系列は、n 番目の値がその前のすべての値から独立している確率過程によって生成されるのではありません。非分数ブラウン運動のモデル^{[3]によれば、これは正の線形自己相関の}長期記憶と呼ばれます。ただし、この尺度は線形評価に対してのみ正しいことが示されている^{[4]。記憶を持つ複雑な非線形過程には、追加の記述パラメータが必要です。Lo}の^[5]修正された再スケール範囲統計量を使用したいくつかの研究も、Peters の結果と矛盾しています。

再スケール範囲は時系列に対して 次のように計算される：^[6]${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$

1. 平均を計算する

   ${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,}$

2. 平均調整系列を作成する

   ${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m{\text{ }}t=1,2,\dots ,n\,}$

3. 累積偏差級数Zを計算します。

   ${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}{\text{ }}t=1,2,\dots ,n\,} の場合$

4. 範囲シリーズ R を作成します。

   ${\displaystyle R_{t}=\max \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right)-\min \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right){\text{ }}t=1,2,\dots ,n\,}$

5. 標準偏差シリーズ Sを作成します。

   ${\displaystyle S_{t}={\sqrt {{\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}\left(X_{i}-m(t)\right)^{2}}}{\text{ }}t=1,2,\dots ,n\,}の場合$

   ここで、m(t)は時間の経過に伴う時系列値の平均である。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}\,}$

6. 再スケールされた範囲シリーズ（R/S）を計算する

   ${\displaystyle \left(R/S\right)_{t}={\frac {R_{t}}{S_{t}}}{\text{ }}t=1,2,\dots ,n\,}$

Lo (1991)は、時系列における短距離自己相関から生じる範囲の予想される増加分を標準偏差で調整することを提唱している。 ^[5]これは、をの平方根で あるに置き換えることを意味する。${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\hat {S}}}$

${\displaystyle {\hat {S}}^{2}=S^{2}+2\sum _{j=1}^{q}\left(1-{\frac {j}{q+1}}\right)C(j),}$

ここで、 は短期的な自己相関が大きくなる可能性がある最大ラグであり、はラグにおける標本の自己共分散です。この調整された再スケール範囲を使用して、彼は株式市場のリターンの時系列は長期記憶の証拠を示さないと結論付けています。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle C(j)}$${\displaystyle j}$

• フラクタル
• 非整数ブラウン運動
• 太い尾

• R/S、DFA、ピリオドグラム回帰、ハースト指数のウェーブレット推定値とそれに対応する信頼区間を計算するための Matlab コードは、RePEc から入手できます: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Python での実装: https://github.com/Mottl/hurst