コンフォーマルキリングベクトルフィールド

共形幾何学において、（擬似）リーマン計量を持つ n次元の多様体 上の共形キリングベクトル場（共形キリングベクトル、CKV、または共形共線化とも呼ばれる）は、（局所的に定義された）フローによって共形変換が定義される、つまりスケールまで保存され、共形構造が保存されるベクトル場である。多様体上の 何らかの関数などに対して、フローのリー導関数に関して、共形キリング方程式と呼ばれる同等の定式化がいくつか存在する。その空間の共形対称性を指定する解は有限個存在するが、2次元では解は無限に存在する。キリングという名前は、キリングベクトル場を初めて研究したヴィルヘルム・キリングに由来する。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n\neq 2}$

ベクトル場 がキリングベクトル場となるのは、その流れが計量テンソルを保存する場合のみです（厳密に言えば、多様体の各コンパクト部分集合について、流れは有限時間に対してのみ定義されればよい）。数学的に定式化すると、キリングとなるのは、次の式を満たす場合のみです 。${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$

ここでリー導関数です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

より一般的には、wキリングベクトル場を、（局所的な）流れが密度化された計量 を保存するベクトル場として定義します。ここで、 は（つまり局所的に）によって定義される体積密度であり、 はその重みです。キリングベクトル場は を保存するので、このより一般的な方程式も自動的に満たすことに注意してください。また、 は、計量のスケーリングに対して組み合わせを不変にする一意の重みであることにも注意してください。したがって、この場合、条件は共形構造のみに依存します。ここで、はwキリングベクトル場であるためには、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle g\mu_{g}^{w}}$${\displaystyle \mu_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}}$${\displaystyle w\in \mathbf {R} }$${\displaystyle \mu_{g}}$${\displaystyle w=-2/n}$${\displaystyle g\mu_{g}^{w}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}$

これ は${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.}$

両辺のトレースをとると、 と結論付けられます。したがって、 の場合、必然的に となり、wキリング ベクトル場は、フローによって計量が格納される通常のキリング ベクトル場になります。ただし、 の場合、 のフローは共形構造のみを格納する必要があり、定義により、 は共形キリング ベクトル場となります。 ${\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}$${\displaystyle w\neq -2/n}$${\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}$${\displaystyle w=-2/n}$${\displaystyle X}$

以下は同等である

1. ${\displaystyle X}$は共形キリングベクトル場であり、
2. （局所的に定義された）流れは共形構造を保存する。${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$何らかの機能のために${\displaystyle \lambda .}$

上の議論は、一見より一般的な最後の形式を除くすべての形式が同等であることを証明しています。ただし、最後の 2 つの形式も同等です。トレースを取ると、必然的に であることが示されます。 ${\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}$

最後の形式は、任意のキリングベクトルが共形キリングベクトルでもあることを明確に示しており、${\displaystyle \lambda \cong 0.}$

を使うと、はのレヴィ・チヴィタ微分（共変微分ともいう）であり、 は の双対 1 形式（共変ベクトルともいう、インデックスが下がったベクトルともいう）であり、 は対称部分への射影であるので、等角キリング方程式を抽象インデックス表記で次のように書くことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}$${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}$

${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}$

共形キリング方程式を書くための別の指数表記は

${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.}$

次元平坦空間、つまりユークリッド空間または擬ユークリッド空間には、定数計量 を持つ大域的に平坦な座標が存在します。このとき、シグネチャ を持つ空間には、成分 があります。これらの座標では、接続成分が消えるため、共変微分は座標微分です。平坦空間の共形キリング方程式は、 です。平坦空間 共形キリング方程式の解には、キリングベクトル場に関する記事で説明した平坦空間キリング方程式の解が含まれます。これらは、平坦空間の等長変換のポアンカレ群を生成します。仮説 を考慮して、 の反対称部分を削除します。これは既知の解に対応し、新しい解を探しているためです。すると は対称です。したがって、これは拡大であり、実数はであり、対応するキリングベクトルであることがわかります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$$${\displaystyle \partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.}$$${\displaystyle X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },}$${\displaystyle M^{\mu \nu }}$${\displaystyle M^{\mu \nu }}$${\displaystyle M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X^{\mu }=\lambda x^{\mu }}$

一般解からは、特殊共形変換と呼ばれる生成元がさらに存在し、次のように表される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },}$

ここで のトレースレス部分は上では消えるため、 によってパラメータ化できます。 ${\displaystyle c_{\mu \nu \rho }}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }}$

平行移動、ローレンツ変換、膨張、特殊共形変換は共形代数を構成し、擬ユークリッド空間の 共形群を生成します。${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$

• アフィンベクトル場
• 共形キリングテンソル
• 曲率共線
• アインシュタイン多様体
• 相似ベクトル場
• 不変微分演算子
• キリングベクトルフィールド
• 物質の共線性
• 時空の対称性

• Wald, RM (1984). 一般相対性理論. シカゴ大学出版局.