フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量

フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量（FLRW ; / ˈ f r iː d m ə n l ə ˈ m ɛ t r ə  ... /  ）は、一般相対性理論のアインシュタインの場の方程式の厳密な解に基づく計量である。この計量は、経路接続されているが必ずしも単純接続されているわけではない、均質で等方性の膨張（または収縮）宇宙を記述する。^{[1] [2] [3]}この計量の一般形は均質性と等方性の幾何学的特性から導かれる。アインシュタインの場の方程式は、時間の関数として宇宙のスケール係数を導き出すためにのみ必要である。地理的または歴史的な好みに応じて、4人の科学者、アレクサンダー・フリードマン、ジョルジュ・ルメートル、ハワード・P・ロバートソン、アーサー・ジェフリー・ウォーカーは、フリードマン、フリードマン・ロバートソン・ウォーカー( FRW )、ロバートソン・ウォーカー( RW )、またはフリードマン・ルメートル( FL ) とさまざまにグループ化されています。このモデルは現代宇宙論の標準モデルと呼ばれることもありますが、^[4]このような説明は、さらに発展したラムダCDMモデルにも関連付けられています。FLRWモデルは、1920年代と1930年代に名前の挙がった著者によって独立に開発されました。

FLRWメトリックは、空間の均質性と等方性を前提としています。また、メトリックの空間コンポーネントが時間に依存する可能性があることも想定しています。これらの条件を満たす一般的なメトリックは、

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}$

ここで、 は一様曲率の 3 次元空間、つまり楕円空間、ユークリッド空間、または双曲空間にわたっています。 通常は 3 つの空間座標の関数として記述されますが、その書き方についてはいくつかの慣例があり、以下に詳しく説明します。 はtに依存しません。時間依存性はすべて関数a ( t ) にあり、これを「スケール係数」と呼びます。 ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

縮約円周極座標では空間計量は次の形式となる^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k は空間の曲率を表す定数です。一般的な単位規則は 2 つあります。

• k は長さの単位が⁻²であるとみなすことができ、その場合r は長さの単位を持ち、a ( t ) は単位なしになります。kは、 a ( t ) = 1 のときの空間のガウス曲率です。r は、原点を中心とする円の測定された円周（そのrの値で）を 2 πで割った値に等しいため、縮約円周と呼ばれることもあります（シュワルツシルト座標のrと同様）。適切な場合、現在の宇宙時代ではa ( t ) は 1 に等しくなるように選択されることが多く、 は共動距離を測定します。${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• あるいは、k は集合{−1, 0, +1} (それぞれ負の曲率、ゼロの曲率、正の曲率) に属するとみなされる。この場合、rは単位がなく、a ( t ) は長さの単位を持つ。k = ±1の場合、a ( t ) は空間の曲率半径であり、R ( t ) と表記されることもある。

縮小された円周座標の欠点は、正の曲率の場合に 3 次元球面の半分しかカバーしないことです。その点を超えると円周が減少し始め、退化につながります。(空間が楕円形、つまり反対の点が特定された 3 次元球面の場合は、これは問題になりません。)

超球面座標または曲率正規化座標では、座標rは半径距離に比例します。これは次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

は前と同じですが、 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

以前と同様に、2 つの一般的な単位規則があります。

• k は長さの単位が⁻²であるとみなされ、その場合r は長さの単位を持ち、a ( t ) は単位なしになります。 kは、 a ( t ) = 1 のときの空間のガウス曲率です。適切な場合、現在の宇宙時代ではa ( t ) は 1 に等しくなるように選択されることが多く、 は共動距離を測定します。${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• あるいは、前と同様に、k は集合 {−1 ,0, +1} (それぞれ負、ゼロ、正の曲率) に属するものとみなすことができます。この場合、r は単位がなく、a ( t ) は長さの単位を持ちます。k = ±1の場合、a ( t ) は空間の曲率半径であり、 R ( t ) と表記されることもあります。 k = +1の場合、r は基本的にθとφとともに 3 番目の角度であることに注意してください。 rの代わりに文字χ を 使用することもできます 。

Sは通常上記のように区分的に定義されるが、kと r の両方の解析関数であり、べき級数として書くこともできる。

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

または

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

ここで、 sinc は正規化されていないsinc 関数であり、kの虚数、ゼロ、または実数の平方根のいずれかです。これらの定義はすべてのkに対して有効です 。 ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$

k = 0の ときは単純に次のように書ける。

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

これをk ≠0に拡張するには次のように定義する。

${\displaystyle x=r\cos \theta \,,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$、 そして

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,,}$

ここで、r は上で定義された半径座標の 1 つですが、これはまれです。

直交座標を用いた平坦なFLRW空間では、リッチテンソルの残存成分は^[7]${\displaystyle (k=0)}$

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

そしてリッチスカラーは

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

球面座標（上記では「縮小円周極座標」と呼ばれる）を使用するより一般的なFLRW空間では、リッチテンソルの残存成分は^[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

そしてリッチスカラーは

${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}}}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

アインシュタインの場の方程式は、計量の一般形を導くのには使われません。それは、均質性と等方性の幾何学的特性から導かれます。しかし、 の時間発展を決定するには、アインシュタインの場の方程式と、宇宙の状態方程式などの密度を計算する方法が必要です。 ${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \rho (t),}$

この計量は、エネルギー運動量テンソルが同様に等方性かつ均質であると仮定した場合、アインシュタインの場の方程式 の解析解を持ち、フリードマン方程式を与える。結果として得られる方程式は以下の通りである: ^[9]${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.}$

これらの方程式は、現在のΛCDMモデルを含む標準的なビッグバン宇宙モデルの基礎となっている。^[10] FLRWモデルは均質性を仮定しているため、一部の一般的な説明では、ビッグバンモデルでは観測された宇宙の塊状性を説明できないと誤って主張している。厳密なFLRWモデルでは、銀河団や星団は存在しない。これらは宇宙の典型的な部分よりもはるかに密度が高い物体だからである。それでも、FLRWモデルは計算が簡単であり、宇宙の塊状性を計算するモデルがFLRWモデルの拡張として追加されるため、実際の塊状宇宙の進化に対する第一近似として使用されている。ほとんどの宇宙論者は、観測可能な宇宙はほぼFLRWモデル、つまり原始的な密度変動を除けばFLRWメトリックに従うモデルによって十分に近似されていることに同意している。 2003 年現在、 FLRW モデルのさまざまな拡張の理論的意味は十分に理解されているようであり、目標はこれをCOBEおよびWMAPの観測と一致させることです。 ^[update]

上記の2つの方程式は、次の2つの方程式と同等である。

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

は空間曲率指数であり、最初の方程式 の積分定数として機能します。${\displaystyle k}$

最初の方程式は熱力学的考察からも導くことができ、宇宙の膨張が断熱過程であると仮定すると（これはフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量の導出において暗黙的に仮定されている）、熱力学の第一法則と同等である。

2 番目の方程式は、エネルギー密度と圧力の両方が宇宙の膨張率を減少させる、つまり、両方とも宇宙の膨張の減速を引き起こすと述べています。これは重力の結果であり、一般相対性理論の原理によれば、圧力はエネルギー (または質量) 密度と同様の役割を果たします。一方、宇宙定数は宇宙の 膨張を加速させます。${\displaystyle {\dot {a}}}$

宇宙定数項は、以下のように置き換えると省略できる。

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.}$

したがって、宇宙定数は、その（正の）エネルギー密度に等しい大きさの負の圧力を持つエネルギーの形態から生じると解釈できます。

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,}$

これは暗黒エネルギーを含む真空の状態方程式です。

これを一般化しようとすると

${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$

さらなる修正を行わなければ、一般的な不変性は得られません。

実際、宇宙の膨張を加速させる項を得るには、次の式を満たす スカラー場があれば十分である。

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.}$

このようなフィールドは、クインテセンスと呼ばれることもあります。

これはマクリーとミルンによるものですが^[11]、時にはフリードマンによるものと誤って解釈されることもあります。フリードマン方程式は次の2つの方程式と同等です。

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

最初の式は、固定された立方体（その辺は瞬間的にa ）に含まれる質量の減少は、宇宙の膨張により辺から放出される質量と、放出される物質に対する圧力によって行われた仕事の質量当量を加えたものであることを示しています。これは、宇宙の一部に含まれる 質量エネルギー保存則（熱力学の第一法則）です。

2 番目の方程式は、膨張とともに動く単位質量の粒子の運動エネルギー (原点から見た場合) と (原点に近い物質球に含まれる質量に対する) (負の)重力による位置エネルギーの合計が、宇宙の曲率に関連する定数に等しいことを示しています。言い換えると、自由落下中の共動粒子のエネルギー (原点に対する) は保存されます。一般相対性理論は、宇宙の空間曲率とそのような粒子のエネルギーの関係を追加するだけです。つまり、正の総エネルギーは負の曲率を意味し、負の総エネルギーは正の曲率を意味します。

宇宙定数項は暗黒エネルギーとして扱われると想定され、密度項と圧力項に統合されます。

プランク時代においては、量子効果を無視することはできない。そのため、量子効果によってフリードマン方程式から逸脱する可能性がある。

ソ連の数学者アレクサンダー・フリードマンは、1922年と1924年に初めてFLRWモデルの主な結果を導き出しました。 ^{[12] [13]}権威ある物理学雑誌Zeitschrift für Physikに彼の研究が掲載されましたが、同時代の人々にはあまり注目されませんでした。フリードマンはアルベルト・アインシュタインと直接連絡を取り合っており、アインシュタインはZeitschrift für Physikを代表して、フリードマンの研究の科学的審判を務めました。最終的にアインシュタインはフリードマンの計算の正しさを認めましたが、フリードマンの予測の物理的な重要性を理解しませんでした。

フリードマンは1925年に亡くなった。1927年、ベルギーの司祭で天文学者、ルーヴェン・カトリック大学の物理学教授であったジョルジュ・ルメートルが、フリードマンと同様の結果を独自に導き、ブリュッセル科学協会年報に発表した。^{[14] [15] 1920年代後半に}エドウィン・ハッブルが宇宙の膨張の観測的証拠を得たことを受けて、ルメートルの結果は特にアーサー・エディントンの注目を集め、1930年から1931年にかけてルメートルの論文は英訳され、王立天文学会月報に掲載された。

1930年代には、米国のハワード・P・ロバートソンと英国のアーサー・ジェフリー・ウォーカーがこの問題をさらに研究した。 ^{[16] [17] [18] [19]} 1935年にロバートソンとウォーカーは、FLRW計量が空間的に均質かつ等方的な時空上の唯一の計量であることを厳密に証明した（上で述べたように、これは幾何学的な結果であり、フリードマンとルメートルが常に仮定していた一般相対性理論の方程式に特に結びついたものではない）。

この解は、その一般的な特性を証明したことからロバートソン・ウォーカー計量と呼ばれることが多いが、応力エネルギーへの寄与は冷たい物質（「ダスト」）、放射線、および宇宙定数のみであると仮定したa ( t )の特定の解である動的「フリードマン・ルメートル」モデルとは異なる。

アインシュタインの宇宙半径は、アインシュタインの宇宙の空間の曲率半径であり、これは私たちの宇宙を理想的な形で表現するはずだったが、 長い間放棄されていた静的モデルである。

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

フリードマン方程式では、この宇宙の空間の曲率半径（アインシュタイン半径）は^[要出典]

${\displaystyle R_{\text{E}}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }},}$

ここで、は光の速度、はニュートンの万有引力定数、 はこの宇宙の空間密度です。アインシュタインの半径の数値は、10 ¹⁰光年、つまり 100 億光年のオーダーです。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$

現在の宇宙論の標準モデルであるラムダCDMモデルは、FLRW計量を使用しています。WMAPやプランクなどのいくつかの実験からの観測データと、エーラース・ゲーレン・ザックス定理とその一般化の理論的結果を組み合わせることで、 ^[24]天体物理学者は現在、初期宇宙はほぼ均質かつ等方性であり（非常に大きなスケールで平均した場合）、したがってほぼFLRW時空であることに同意しています。そうは言っても、電波銀河^[25]とクエーサー^[26]の研究を通じて宇宙マイクロ波背景（CMB）双極子の純粋に運動学的解釈を確認する試みは、大きさに関して不一致を示しています。額面通りに受け取ると、これらの観測は、FLRW計量によって記述される宇宙と矛盾しています。さらに、現在の観測で許容されるFLRW宇宙論の範囲内でハッブル定数に最大値があると主張することもできます。=${\displaystyle H_{0}}$71 ± 1 km/s/Mpcであり、局所的な決定がどのように収束するかに応じて、これは後期宇宙におけるFLRWメトリックの崩壊を示唆し、FLRWメトリックを超えた説明が必要になる可能性がある。^{[27] [20]}

• ノース、ジョン・デイビッド（1990年）。宇宙の尺度：現代宇宙論の歴史。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66517-7。
• ハリソン、 ER （1967） 。「均一宇宙論モデルの分類」。 王立天文学会月報。137（1）：69–79。Bibcode ：1967MNRAS.137...69H。doi ：10.1093/mnras/137.1.69。ISSN 0035-8711。
• レイ・ディンヴェルノ（1992年）『アインシュタインの相対性理論入門』（再版）オックスフォード[イギリス]：ニューヨーク：クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-859686-8。（FLRW モデルの特に明確で簡潔な紹介については、第 23 章を参照してください。）