擬似スペクトル

数学において、演算子の擬スペクトルは、演算子のスペクトルと「ほぼ」固有値である数値を含む集合です。擬スペクトルの知識は、非正規演算子とその固有関数を理解するのに特に役立ちます。

行列Aのε擬スペクトルは、 Aにε近似する行列のすべての固有値から構成される：^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.}$

行列の固有値を計算する数値アルゴリズムは、丸めやその他の誤差のため、近似値の結果しか得られません。これらの誤差は、行列Eで記述できます。

より一般的には、バナッハ空間 と演算子に対して、（通常は と表記される）の擬スペクトルを次のように 定義することができる。${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle A:X\to Y}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)}$

${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.}$

ここで、 ifは逆関数ではないという規則を用いる。^[2]${\displaystyle \|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty }$${\displaystyle A-\lambda I}$

• Lloyd N. Trefethen および Mark Embree: 「Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices And Operators」、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0691119465 (2005)。 

• Embree と Trefethen による Pseudospectra Gateway