対角線

幾何学において、対角線は多角形または多面体の2つの頂点を結ぶ線分であり、それらの頂点が同じ辺上にない場合に用いられる。非公式には、傾斜した線はどれも対角線と呼ばれる。対角線という言葉は古代ギリシャ語のδιαγώνιος diagonios ^[1]「隅から隅へ」（διά- dia-「通り抜ける」、「横切る」とγωνία gonia「隅」から成り、gony 「膝」に関連）を意味する。ストラボン^[2]とユークリッド^{[3]の両者が}菱形または直方体^[4]の2つの頂点を結ぶ線を指すのに使用し、後にラテン語でdiagonus「斜めの線」 として採用された。

多角形に適用される場合、対角線は、連続しない任意の 2 つの頂点を結合する線分です。したがって、四辺形には、反対側の頂点のペアを結合する 2 つの対角線があります。任意の凸多角形の場合、すべての対角線は多角形の内側にありますが、凹多角形の場合、一部の対角線は多角形の外側にあります。

凸型でも凹型でも、任意の n 辺形 ( n ≥ 3 ) には全対角線があり、各頂点には、その頂点自身と 2 つの隣接する頂点を除く他のすべての頂点に対する対角線、つまりn − 3 個の対角線があり 、各対角線は 2 つの頂点で共有されます。 ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$

一般に、正n辺の多角形には長さが異なる対角線があり、正方形から始まり 1、1、2、2、3、3... というパターンに従います。 ${\displaystyle \lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor }$

凸多角形において、内部の1点に3本の対角線が交わらない場合、対角線が内部を分割する領域の数は^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

n =3, 4, ...のn角形の場合、領域の数は

1、4、11、25、50、91、154、246...

これはOEIS配列A006522である。^[6]

凸多角形の3本の対角線が内部の点で交わらない場合、対角線の内部交点の数はで与えられる。^{[7] [8]}これは、たとえば、辺の数が奇数である正多角形に当てはまります。この式は、各交点が交差する2本の対角線の4つの端点によって一意に決定されるという事実から導かれます。つまり、交点の数は、n個の頂点を4つずつ組み合わせる組み合わせの数です。 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{4}}}$

多角形の辺の数が増えると、多角形内の異なる対角線の数も増えますが、任意の対角線の長さを計算することができます。

辺の長さがaである正 n 角形において、 x 番目に短い異なる対角線の長さは次のようになります。

${\displaystyle \sin({\frac {\pi (x+1)}{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a}$

この式は、辺の数が無限大に近づくにつれて、x 番目に短い対角線の長さが(x+1)a に近づくことを示しています。さらに、 x = 1 の場合、最短対角線の式は簡略化されます。

${\displaystyle \sin({\frac {2\pi }{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a=2\cos({\frac {\pi }{n}})*a}$

辺の数が偶数の場合、長い対角線はすべて多角形の中心で交差するため、最も長い対角線は多角形の外接円の直径に等しくなります。

特殊なケースとしては次のようなものがあります:

正方形には同じ長さの2本の対角線があり、正方形の中心で交差します。対角線と辺の比は${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

正五角形は5つの対角線がすべて同じ長さです。対角線と辺の比率は黄金比です。${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

正六角形には 9 つの対角線があります。6 つの短い対角線の長さは互いに等しく、3 つの長い対角線の長さは互いに等しく、六角形の中心で交差します。長い対角線と辺の比は 2 で、短い対角線と辺の比は です 。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

正七角形には 14 本の対角線があります。7 本の短い対角線の長さは互いに等しく、7 本の長い対角線の長さも互いに等しくなります。辺の逆数は、短い対角線と長い対角線の逆数の合計に等しくなります。

多面体( 2 次元の面で囲まれた3 次元空間内の立体) には、2 種類の対角線があります。1つは、同じ面上の隣接していない頂点を結ぶ、さまざまな面上の面対角線、もう 1 つは、多面体の内部に完全に含まれる空間対角線です (頂点上の端点を除く)。

n 次元の超立方体の対角線の長さは、数学的帰納法で計算できます。n 次元の立方体の最長の対角線は です。さらに、 x 番目に短い対角線は あります。たとえば、5 次元の立方体の対角線は次のようになります。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle 2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}}$

対角線の総数は416です。一般に、n立方体の対角線の総数は です。これは、凸多面体の面対角線と空間対角線の総数を記述するより一般的な形式に従います。 ^[9]ここで、vは頂点の数を表し、eは辺の数を表します。 ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-n-1)}$${\displaystyle {\frac {v(v-1)}{2}}-e}$

同様に、任意の集合Xとそれ自身との直積X × Xの部分集合 (すべての対 (x,x) から成る) は対角線と呼ばれ、 X上の等式関係のグラフ、または同等にXからXへの恒等関数のグラフである。これは幾何学において重要な役割を果たしている。たとえば、Xからそれ自身への写像Fの不動点は、 Fのグラフと対角線を 交差させることで得られる。

幾何学の研究では、対角線をそれ自身と交差させるという考え方は一般的であるが、直接交差させるのではなく、同値類内でそれを摂動させることによって交差させる。これは、オイラー特性およびベクトル場の零点と深いレベルで関連している。例えば、円 S ^1はベッチ数1, 1, 0, 0, 0を持ち、したがってオイラー特性 0 である。これを幾何学的に表現する方法は、2トーラス S ¹ xS ^{1上の対角線を見て、(θ, θ) から (θ, θ + ε) への小さな動きによってそれ}自身から外れることができることを観察することである。一般に、関数のグラフと対角線の交差数は、レフシェッツの不動点定理を介してホモロジーを使用して計算できる。対角線の自己交差は恒等関数の特殊なケースである。

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• インタラクティブアニメーションによる多角形の対角線
• MathWorldからの多角形対角線。