セクション（圏論）

圏論（数学の一分野）において、切断はある射の右逆である。双対的に、撤回はある射の左逆である。言い換えれば、${\displaystyle f:X\to Y}$そして${\displaystyle g:Y\to X}$合成が${\displaystyle f\circ g:Y\to Y}$は恒等射である${\displaystyle Y}$、 それから${\displaystyle g}$は、${\displaystyle f}$、 そして${\displaystyle f}$これは撤回です${\displaystyle g}$[ ^{1 ]​}

すべてのセクションは単射（左逆を持つすべての射は左消去的である）であり、すべてのリトラクションは全射（右逆を持つすべての射は右消去的である）である。

セクションが存在する場合${\displaystyle Y}$に${\displaystyle X}$すると、${\displaystyle Y}$撤回する​${\displaystyle X}$。

代数学では、切断は分割単射とも呼ばれ、縮約は分割全射とも呼ばれます。アーベル圏では、${\displaystyle f:X\to Y}$は分裂単射を伴う分裂全射である${\displaystyle g:Y\to X}$、 それから${\displaystyle X}$は、直和と同型である。${\displaystyle Y}$そして核心は${\displaystyle f}$文献では、section の同義語としてcoretraction が時折見られるが、近年の研究ではまれである。

• 切断が全射でもある場合、それは同型写像である。同様に、縮約が単射でもある場合、それは同型写像である。

圏論における撤回の概念は、位相幾何学における撤回の概念と本質的に類似している。${\displaystyle f:X\to Y}$どこ${\displaystyle Y}$は の部分空間である${\displaystyle X}$包含写像の撤回であれば、それは位相的な意味での撤回である。${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$圏論的な意味で。位相幾何学における概念は、1931年にカロル・ボルスクによって定義された。 ^{[ 2 ]}

ボルスクの教え子であるサミュエル・アイレンバーグは、サンダース・マックレーンと共に圏論の創始者であり、（圏論に関する初期の出版物は様々な位相空間に関するものであったため）この用語が当初使用されていたと予想されるかもしれない。実際、マックレーン（1963）の『ホモロジー』など、彼らの初期の出版物では右逆という用語が使用されていた。アイレンバーグとジョン・コールマン・ムーアが双対用語「コレトラクション」を造語した1965年になって初めて、ボルスクの用語が圏論全般に適用されるようになった。^{[ 3 ]} コレトラクションという用語は、1960年代末までにセクションという用語に取って代わられた。

集合のカテゴリーにおいて、空でない定義域を持つすべての単射（単射関数）は切断であり、すべての全射（全射関数）は縮約である。後者の記述は選択公理と同値である。

体K上のベクトル空間のカテゴリーでは、すべての単射とすべての全射は分裂します。これは、線形写像が基底上の値を指定することによって一意に定義できるという事実から導かれます。

アーベル群の圏において、すべての整数を法 2の剰余に写す全射Z → Z /2 Zは分裂しません。実際、唯一の射Z /2 Z → Zはゼロ写像です。同様に、自然な単射Z /2 Z → Z /4 Zは、非自明な射Z /4 Z → Z /2 Zが存在するにもかかわらず分裂しません。

カテゴリー論における切断の概念はホモロジー代数において重要であり、位相幾何学におけるファイバー束の切断の概念とも密接に関連している。後者の場合、ファイバー束の切断とは、ファイバー束の束射影写像の切断のことである。

商空間が与えられた場合${\displaystyle {\bar {X}}}$商マップ付き$\displaystyle \pi \colon X\to \bar X}}$、${\displaystyle \pi }$は横断的と呼ばれます。

• Mac Lane、Saunders (1978)。『働く数学者のためのカテゴリー』（第2 版）。Springer Verlag。
• バリー、ミッチェル（1965）。カテゴリーの理論。アカデミック・プレス。

• 分割補題
• 逆関数 § 左逆関数と右逆関数
• 横断的（組み合わせ論）