ハートリー・フォック法

計算物理学および計算化学において、ハートリー・フォック( HF ) 法は、定常状態にある量子多体系の波動関数とエネルギーを決定するための近似法です。

ハートリー・フォック法では、システムの正確なN体波動関数は、単一のスレーター行列式(粒子がフェルミオンの場合) または単一の永久行列式(ボソンの場合) のN スピン軌道で近似できると仮定することがよくあります。変分法を呼び出すと、 Nスピン軌道のN結合方程式のセットを導出できます。これらの方程式を解くと、システムのハートリー・フォック波動関数とエネルギーが得られます。ハートリー・フォック近似は平均場理論の一例であり、^[1]秩序パラメータの高次変動を無視することで相互作用項を2次項に置き換えることができ、正確に解けるハミルトニアンが得られます。

特に古い文献では、ハートリー・フォック法は自己無撞着場法( SCF ) とも呼ばれている。シュレーディンガー方程式の近似解として現在ハートリー方程式と呼ばれるものを導出する際に、ハートリーは電荷分布から計算される最終場が、想定される初期場と「自己無撞着」であることを要求した。したがって、自己無撞着は解の要件であった。非線形ハートリー・フォック方程式の解も、各粒子が他のすべての粒子によって作成された平均場の影響を受けるかのように振舞うため (下記のフォック演算子を参照)、この用語がそのまま使われた。方程式はほぼ普遍的に反復法によって解かれるが、固定小数点反復アルゴリズムは常に収束するわけではない。^[2] この解法スキームは唯一の可能なものではなく、ハートリー・フォック法の本質的な特徴でもない。

^{ハートリー・フォック法は、原子、分子、ナノ構造[3]}および固体に対するシュレーディンガー方程式の解法に典型的に応用されていますが、原子核物理学でも広く使用されています。（原子核構造理論への応用については、ハートリー・フォック・ボゴリュボフ法を参照してください）。原子構造理論では、計算は多くの励起エネルギー準位を持つスペクトルに対して行われる場合があり、その結果、原子に対するハートリー・フォック法では、波動関数は明確に定義された量子数を持つ単一の配置状態関数であり、エネルギー準位は必ずしも基底状態ではないと仮定します。

原子と分子の両方において、ハートリー・フォック解は、多電子系をより正確に記述するほとんどの方法の中心的な出発点です。

この記事の残りの部分では、原子を特別なケースとする分子に適した電子構造理論の応用に焦点を当てます。ここでの説明は、原子または分子がすべての軌道 (原子または分子) が二重占有されている閉殻システムである制限付きハートリー・フォック法についてのみです。一部の電子がペアになっていない開殻システムは、制限付き開殻システムまたは制限なしハートリー・フォック法のいずれかで処理できます。

ハートリー・フォック法の起源は、1926 年にシュレーディンガー方程式が発見された直後の 1920 年代末に遡ります。ダグラス・ハートリーの方法は、ボーアの古い量子理論に基づいた、1920 年代初頭のいくつかの初期の半経験的方法 (E. フュース、RB リンゼイ、およびハートリー自身による)に導かれていました。

原子のボーア模型では、主量子数 nの状態のエネルギーは原子単位で と表される。原子スペクトルから、多電子原子のエネルギー準位はボーアの公式の修正版を適用することでうまく記述できることが観察された。量子欠陥dを経験的パラメータとして導入することで、一般的な原子のエネルギー準位は式 でうまく近似され、 X線領域で観測される遷移準位をかなりうまく再現できるようになった（例えば、モーズリーの法則における経験的議論と導出を参照）。非ゼロの量子欠陥の存在は電子間反発によるものと考えられたが、これは孤立した水素原子には明らかに存在しない。この反発により、むき出しの核電荷が部分的に遮蔽された。これらの初期の研究者らは後に、実験データをよりよく再現できることを期待して、追加の経験的パラメータを含む他のポテンシャルを導入した。 ${\displaystyle E=-1/n^{2}}$ ${\displaystyle E=-1/(n+d)^{2}}$

1927年、DRハートリーは原子とイオンのおおよその波動関数とエネルギーを計算する手順を導入した。これを自己無撞着場法と名付けた。^[4]ハートリーは経験的パラメータを廃し、基本的な物理的原理、すなわち第一原理から多体時間独立シュレーディンガー方程式を解こうとした。彼が最初に提案した解法はハートリー法、またはハートリー積として知られるようになった。しかし、ハートリーの同時代人の多くはハートリー法の背後にある物理的推論を理解していなかった。ハートリー法には経験的要素が含まれているように思われ、多体シュレーディンガー方程式の解との関連は不明瞭だった。しかし、1928年にJCスレーターとJAゴーントはそれぞれ独立して、変分原理を単一粒子関数の積としての仮説（試行波動関数）に適用することで、ハートリー法をより健全な理論的根拠に基づいて表現できることを示した。 ^{[5] [6]}

1930年、スレーターとVAフォックはそれぞれ独立に、ハートリー法が波動関数の反対称性の原理を尊重していないことを指摘した。 ^{[7] [8]}ハートリー法は、古い定式化ではパウリの排他原理を使用しており、同じ量子状態に2つの電子が存在することを禁じていた。しかし、これは量子統計を無視しており、根本的に不完全であることが示された。

ハートリー法の反対称性の欠如に対する解決策は、1926年にハイゼンベルクとディラックが初めて使用した1粒子軌道の行列式であるスレーター行列式が、厳密解の反対称性を自明に満たし、したがって変分原理を適用するのに適した仮定であることが示されたときに生まれました。元のハートリー法は、交換を無視することでハートリー-フォック法の近似と見なすことができます。フォックの元の方法は群論に大きく依存しており、当時の物理学者が理解して実装するには抽象的すぎました。1935年、ハートリーは計算の目的により適した方法に再定式化しました。^[9]

ハートリー・フォック法は、物理的により正確な描像を示すにもかかわらず、初期のハートリー法や経験的モデルに比べて計算負荷がはるかに大きかったため、1950年代に電子計算機が登場するまではほとんど使用されなかった。^{[10]当初、ハートリー法とハートリー・フォック法は両方とも原子にのみ適用され、系の球対称性により問題を大幅に簡略化できた。これらの近似法は、}中心場近似と一緒に使用され、同じ殻内の電子は同じ動径部を持つという条件を課し、変分解をスピン固有関数に制限することが多い。それでも、中型原子に対してハートリー・フォック方程式を使用して手作業で解を計算するのは面倒であり、小さな分子には1950年以前に利用可能だったものをはるかに超える計算リソースが必要だった。

ハートリー・フォック法は、ボルン・オッペンハイマー近似で説明されているように、多電子原子または分子の時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解くのによく使用されます。多電子系に対する解析解は知られていないため（水素原子や二原子水素陽イオンなどの一電子系には解があります）、この問題は数値的に解かれます。ハートリー・フォック近似によって導入される非線形性のため、方程式は反復などの非線形法を使用して解かれ、これが「自己無撞着場法」という名前につながっています。

ハートリー・フォック法では、このタスクに対処するために 5 つの主要な簡略化を行います。

• ボルン・オッペンハイマー近似が本質的に想定されています。完全な分子波動関数は、実際には電子の座標に加えて、各原子核の座標の関数です。
• 通常、相対論的効果は完全に無視されます。運動量演算子は完全に非相対論的であると仮定されます。
• 変分解は有限個の基底関数の線形結合であると仮定され、通常は（常にではないが）直交するように選択される。有限基底関数系はほぼ完全であると仮定される。
• 各エネルギー固有関数は、1つの電子波動関数（すなわち、軌道）の反対称化積である単一のスレーター行列式によって記述可能であると仮定されます。
• 平均場近似が暗示されている。この仮定からの逸脱から生じる効果は無視される。これらの効果は、電子相関という用語の定義としてまとめて使用されることが多い。しかし、厳密に言えば、「電子相関」というラベルはクーロン相関とフェルミ相関の両方を包含し、後者は電子交換の効果であり、ハートリー・フォック法で完全に考慮されている。^{[11] [12]この用語で述べると、この方法はクーロン相関のみを無視する。しかし、これは重要な欠陥であり、ハートリー・フォック法が}ロンドン分散を捉えられないことなどの原因となっている。^[13]

最後の 2 つの近似を緩和すると、いわゆるポストハートリー・フォック法が数多く生まれます。

変分定理によれば、時間に依存しないハミルトニアン演算子に対して、試行波動関数はいずれも、与えられたハミルトニアンに対応する真の基底状態波動関数以上のエネルギー期待値を持つことになります。このため、ハートリー・フォックエネルギーは、与えられた分子の真の基底状態エネルギーの上限となります。ハートリー・フォック法の文脈では、最善の解はハートリー・フォック極限、つまり基底関数が完全性 に近づくときのハートリー・フォックエネルギーの極限にあります。(もう 1 つは完全 CI 極限で、この極限では、上記のハートリー・フォック理論の最後の 2 つの近似が完全に無効になります。両方の極限に達した場合にのみ、ボルン・オッペンハイマー近似までの正確な解が得られます。) ハートリー・フォックエネルギーは、単一のスレーター行列式の最小エネルギーです。

ハートリー・フォック法の出発点は、スピン軌道と呼ばれる近似的な一電子波動関数のセットです。原子軌道計算の場合、これらは通常、水素のような原子（電子が 1 つしかないが、適切な核電荷を持つ原子）の軌道です。分子軌道または結晶計算の場合、初期の近似的な一電子波動関数は通常、原子軌道の線形結合(LCAO) です。

上記の軌道は、他の電子の存在を平均的な方法でのみ考慮しています。ハートリー・フォック法では、他の電子の影響は平均場理論のコンテキストで考慮されます。軌道は、それぞれのスレーター行列式のエネルギーを最小化するように要求することで最適化されます。結果として生じる軌道の変分条件により、新しい 1 電子演算子であるフォック演算子が得られます。最低限、占有軌道は、それらの間のユニタリ変換を介してフォック演算子の固有解になります。フォック演算子は、2 つの項の合計である有効な 1 電子ハミルトニアン演算子です。1 つ目は、各電子の運動エネルギー演算子の合計、核間反発エネルギー、および核電子クーロン引力項の合計です。2 つ目は、平均場理論の記述における電子間のクーロン反発項です。システム内の各電子の正味反発エネルギー。これは、分子内の他のすべての電子を負電荷の滑らかな分布として扱うことによって計算されます。これはハートリー・フォック法に固有の主要な簡略化であり、上記のリストの 5 番目の簡略化に相当します。

フォック演算子は、対応するフォック行列の構築に使用される軌道に依存するため、フォック演算子の固有関数は、新しいフォック演算子の構築に使用できる新しい軌道になります。このようにして、ハートリー・フォック軌道は、総電子エネルギーの変化が事前に定義されたしきい値を下回るまで、反復的に最適化されます。このようにして、自己無撞着な 1 電子軌道のセットが計算されます。ハートリー・フォック電子波動関数は、これらの軌道から構築されたスレーター行列式です。量子力学の基本公理に従って、ハートリー・フォック波動関数は、ハートリー・フォック法と使用される近似の枠組み内で、任意の化学的または物理的特性を計算するために使用できます。

スレーター・コンドン則によれば、スレーター行列式に対する分子電子ハミルトニアン のエネルギー期待値は ${\displaystyle {\hat {H}}^{e}}$

${\textstyle {\begin{aligned}E[\psi ^{HF}]&=\left\langle \psi ^{HF}|{\hat {H}}^{e}|\psi ^{HF}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{N}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{i}\,\phi _{i}^{*}(\mathbf {x} _{i}){\hat {h}}(\mathbf {x} _{i})\phi _{i}(\mathbf {x} _{i})\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\int \mathrm {d} \mathbf {x} _{i}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}\phi _{i}^{*}(\mathbf {x} _{i})\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j}){\frac {1}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j}|}}\phi _{i}(\mathbf {x} _{i})\phi _{j}(\mathbf {x} _{j})\\&-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{i}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}\phi _{i}^{*}(\mathbf {x} _{i})\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j}){\frac {1}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j}|}}\phi _{i}(\mathbf {x} _{j})\phi _{j}(\mathbf {x} _{i})\end{aligned}}}$

ここで、電子の運動エネルギーと電子-原子核クーロン相互作用を含む1電子演算子であり、 ${\displaystyle {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{HF}=\psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\phi _{1}(\mathbf {x} _{1})&\phi _{2}(\mathbf {x} _{1})&\cdots &\phi _{N}(\mathbf {x} _{1})\\\phi _{1}(\mathbf {x} _{2})&\phi _{2}(\mathbf {x} _{2})&\cdots &\phi _{N}(\mathbf {x} _{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{1}(\mathbf {x} _{N})&\phi _{2}(\mathbf {x} _{N})&\cdots &\phi _{N}(\mathbf {x} _{N})\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

ハートリー・フォック方程式を導くために、正規直交制約を持つ N 個の電子のエネルギー関数を最小化します。

${\displaystyle \delta E[\phi _{k}^{*}(x_{k})]=\delta \left\langle \psi ^{HF}|{\hat {H}}^{e}|\psi ^{HF}\right\rangle -\delta \left[\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\lambda _{ij}\left(\left\langle \phi _{i},\phi _{j}\right\rangle -\delta _{ij}\right)\right]{\stackrel {!}{=}}\,0,}$

ラグランジュ乗数行列が対角となる基底関数系、すなわちを選択する。変分を実行すると、次式が得られる。 ${\displaystyle \phi _{i}(x_{i})}$${\displaystyle \lambda _{ij}}$${\displaystyle \lambda _{ij}=\epsilon _{i}\delta _{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta E[\phi _{k}^{*}(x_{k})]&=\sum _{i=1}^{N}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{i}\,{\hat {h}}(\mathbf {x} _{i})\phi _{i}(\mathbf {x} _{i})\delta (\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{k})\delta _{ik}\\&+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\int \mathrm {d} \mathbf {x} _{i}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j}){\frac {1}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j}|}}\phi _{i}(\mathbf {x} _{i})\phi _{j}(\mathbf {x} _{j})\delta (\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{k})\delta _{ik}\\&-\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{i}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j}){\frac {1}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j}|}}\phi _{i}(\mathbf {x} _{j})\phi _{j}(\mathbf {x} _{i})\delta (\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{k})\delta _{ik}\\&-\sum _{i=1}^{N}\epsilon _{i}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{i}\,\phi _{i}(\mathbf {x} _{i})\delta (\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{k})\delta _{ik}\\&={\hat {h}}(\mathbf {x} _{k})\phi _{k}(\mathbf {x} _{k})\\&+\sum _{j=1}^{N}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j}){\frac {1}{|\mathbf {x} _{k}-\mathbf {x} _{j}|}}\phi _{k}(\mathbf {x} _{k})\phi _{j}(\mathbf {x} _{j})\\&-\sum _{j=1}^{N}\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j}){\frac {1}{|\mathbf {x} _{k}-\mathbf {x} _{j}|}}\phi _{k}(\mathbf {x} _{j})\phi _{j}(\mathbf {x} _{k})\\&-\epsilon _{k}\phi _{k}(\mathbf {x} _{k})=0.\\\end{aligned}}}$

分子ハミルトニアンの二重積分の前の係数1/2は対称性と積の法則により消える。フォック演算子を定義して、次の式を書き直す ことができる。

${\displaystyle {\hat {F}}(\mathbf {x} _{k})\phi _{k}(\mathbf {x} _{k})\equiv \left[{\hat {h}}(\mathbf {x} _{k})+{\hat {J}}(\mathbf {x} _{k})-{\hat {K}}(\mathbf {x} _{k})\right]\phi _{k}(\mathbf {x} _{k})=\epsilon _{k}\phi _{k}(\mathbf {x} _{k}),}$

ここで、クーロン演算子 と交換演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle {\hat {J}}(\mathbf {x} _{k})}$ ${\displaystyle {\hat {K}}(\mathbf {x} _{k})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}(\mathbf {x_{k}} )&\equiv \sum _{j=1}^{N}\int \mathrm {d} \mathbf {x} _{j}{\frac {\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j})\phi _{j}(\mathbf {x} _{j})}{|\mathbf {x} _{k}-\mathbf {x} _{j}|}}=\sum _{j=1}^{N}\int \mathrm {d} \mathbf {x} _{j}{\frac {\rho (\mathbf {x} _{j})}{|\mathbf {x} _{k}-\mathbf {x} _{j}|}},\\{\hat {K}}(\mathbf {x_{k}} )\phi _{k}(\mathbf {x} _{k})&\equiv \sum _{j=1}^{N}\phi _{j}(\mathbf {x} _{k})\int {\text{d}}\mathbf {x} _{j}{\frac {\phi _{j}^{*}(\mathbf {x} _{j})\phi _{k}(\mathbf {x} _{j})}{|\mathbf {x} _{k}-\mathbf {x} _{j}|}}.\\\end{aligned}}}$

交換演算子には古典的な類似物はなく、積分演算子としてのみ定義できます。

解と はそれぞれ分子軌道と軌道エネルギーと呼ばれます。 ${\displaystyle \phi _{k}}$${\displaystyle \epsilon _{k}}$

ハートリー・フォック方程式は固有値問題の形で現れますが、フォック演算子自体は別の手法に依存しており、その手法で解く必要があります。 ${\displaystyle \phi }$

最適な総エネルギーは分子軌道の観点から表すことができます。 ${\displaystyle E_{HF}}$

${\displaystyle E_{HF}=\sum _{i=1}^{N}{\hat {h}}_{ii}+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N/2}[2{\hat {J}}_{ij}-{\hat {K}}_{ij}]+V_{\text{nucl}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{ij}}$および はそれぞれクーロン演算子と交換演算子の行列要素であり、 は分子内のすべての原子核間の全静電反発力です。 ${\displaystyle {\hat {K}}_{ij}}$${\displaystyle V_{\text{nucl}}}$

総エネルギーは軌道エネルギーの合計と等しくありません。

原子または分子が閉殻の場合、ハートリー・フォック法による全エネルギーは

${\displaystyle E_{HF}=2\sum _{i=1}^{N/2}{\hat {h}}_{ii}+\sum _{i=1}^{N/2}\sum _{j=1}^{N/2}[2{\hat {J}}_{ij}-{\hat {K}}_{ij}]+V_{\text{nucl}}.}$^[14]

通常、現代のハートリー・フォック計算では、1 電子波動関数は原子軌道の線形結合によって近似されます。これらの原子軌道はスレーター型軌道と呼ばれます。さらに、使用される「原子軌道」は、計算時間を大幅に節約するために、 実際にはスレーター型軌道ではなく、1 つ以上のガウス型軌道の線形結合で構成されることが非常に一般的です。

実際にはさまざまな基底関数が使用されていますが、そのほとんどはガウス関数で構成されています。一部のアプリケーションでは、グラム・シュミット過程などの直交化法を実行して、直交基底関数のセットを作成します。これにより、重なり行列を実質的に単位行列に変換することにより、コンピューターがRoothaan–Hall 方程式を解くときに、原理的には計算時間を節約できます。ただし、分子ハートリー・フォック計算用の最新のコンピューター プログラムのほとんどは、直交化の数値コストが高いことと、 Roothaan–Hall 方程式が一例である一般化固有値問題を解くための、より効率的で多くの場合スパースなアルゴリズムの出現により、この手順には従っていません。

この手順では数値安定性が問題になる可能性があり、この不安定性に対処する方法はさまざまあります。最も基本的で一般的に適用可能な方法の 1 つは、F 混合または減衰と呼ばれます。F 混合では、単一電子波動関数が計算されると、それが直接使用されることはありません。代わりに、計算された波動関数とその電子の以前の波動関数の組み合わせが使用されます。最も一般的なのは、計算された波動関数と直前の波動関数の単純な線形結合です。原子計算でハートリーが使用した巧妙な回避策は、核電荷を増やしてすべての電子を互いに引き寄せることでした。システムが安定するにつれて、これは徐々に正しい電荷に減少しました。分子計算では、最初に陽イオンの波動関数を計算し、次にこれらの軌道を中性分子の開始点として使用するという同様のアプローチが使用されることがあります。現代の分子ハートリー-フォック コンピュータ プログラムでは、さまざまな方法を使用して、Roothaan-Hall 方程式の収束を確実にします。

「ハートリー・フォック アルゴリズム」のセクションで概説した 5 つの簡略化のうち、5 番目が通常最も重要です。電子相関を無視すると、実験結果から大きく逸脱する可能性があります。この弱点に対するいくつかのアプローチ (まとめてポスト ハートリー・フォック法と呼ばれる) は、電子相関を多電子波動関数に組み込むために考案されました。これらのアプローチの 1 つであるMøller-Plesset 摂動論は、相関をフォック演算子の摂動として扱います。その他のアプローチでは、多配置自己無撞着場、配置相互作用、二次配置相互作用、完全活性空間 SCF (CASSCF)など、スレーター行列式の線形結合の観点から真の多電子波動関数を展開します。さらに他の方法（変分量子モンテカルロなど）では、ハートリー・フォック波動関数に相関関数（「ジャストロー」因子）を乗算して修正します。相関関数は、独立した単一粒子関数に分解できない複数の電子の関数であることが明示的に示されています。

場合によっては、ハートリー・フォック計算の代替として密度汎関数理論が使われます。密度汎関数理論は、近似的ではありますが、交換エネルギーと相関エネルギーの両方を扱います。実際、2 つの方法を組み合わせた計算を使用するのが一般的です。人気の B3LYP スキームは、そのようなハイブリッド汎関数法の 1 つです。別の選択肢として、最新の原子価結合法を使用する方法があります。

特に分子と固体のハートリー・フォック計算を処理できることが知られているソフトウェア パッケージの一覧については、量子化学および固体物理学ソフトウェアの一覧を参照してください。

• レヴィン、アイラ・N. (1991)。量子化学（第4版）。ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティスホール。pp.  455– 544。ISBN 0-205-12770-3。
• Cramer, Christopher J. (2002).計算化学の基礎. チチェスター: John Wiley & Sons, Ltd. pp.  153– 189. ISBN 0-471-48552-7。
• Szabo, A.; Ostlund, NS (1996).現代量子化学. ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publishing. ISBN 0-486-69186-1。

• Hartree, DR (1928年1 月)。「非クーロン中心場を持つ原子の波動力学。第 2 部。いくつかの結果と考察」。ケンブリッジ哲学協会数学紀要。24 : 111–132。doi : 10.1017 /S0305004100011920。
• ハートリー・フォック分子軌道理論入門 C. デイビッド・シェリル著 (2000 年 6 月)
• 平均場理論: ハートリー・フォックと BCS、E. パヴァリーニ、E. コッホ、J. ファン デン ブリンク、G. サワツキー著: 量子材料: 実験と理論、ユーリッヒ 2016、ISBN 978-3-95806-159-0