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量子力学において、交換演算子は 置換演算子とも呼ばれ、^[1]フォック空間の状態に作用する量子力学演算子です。交換演算子は、結合位置量子状態によって記述される任意の 2 つの同一粒子のラベルを切り替えることによって作用します。^{[2]粒子は同一であるため、}交換対称性 の概念では、交換演算子がユニタリーである必要があります。 ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

3次元以上の場合、交換演算子は、他のすべての粒子を固定したまま、断熱過程における粒子の運動によって粒子のペアの位置を文字通り交換することを表すことができます。このような運動は実際には実行されないことがよくあります。むしろ、この操作は、パリティ反転や時間反転操作に似た「仮定」として扱われます。このような粒子交換の 2 つの繰り返し操作を考えてみましょう。

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

${\displaystyle {\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle ={\hat {P}}\left|x_{2},x_{1}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

したがって、はユニタリであるだけでなく、 1の平方根演算子でもあるため、次のような可能性が残ります。 ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle \,.}$

どちらの符号も自然界で実現されています。+1 の場合を満たす粒子はボソンと呼ばれ、-1 の場合を満たす粒子はフェルミオンと呼ばれます。スピン統計定理によれば、整数スピンを持つすべての粒子はボソンであり、半整数スピンを持つすべての粒子はフェルミオンです。

交換演算子はハミルトニアンと交換されるため、保存量です。したがって、状態が交換演算子の固有状態である基底を選択することが常に可能であり、通常は最も便利です。このような状態は、システムのすべての同一のボソンの交換に対して完全に対称であるか、すべての同一のフェルミオンの交換に対して完全に反対称です。たとえば、フェルミオンに対してこれを行うには、反対称化器がそのような完全に反対称な状態を構築します。

2 次元では、粒子の断熱交換は必ずしも可能ではありません。代わりに、交換演算子の固有値は複素位相因子 (この場合はエルミートではない)になることがあります。この場合はanyon を参照してください。交換演算子は厳密に 1 次元システムでは明確に定義されていませんが、効果的な 2 次元システムとして動作する 1 次元ネットワークの構成があります。 ${\displaystyle {\hat {P}}}$

量子化学のハートリー・フォック法では、上記の交換統計から生じる交換エネルギーを推定するために、修正交換演算子が定義されています。この方法では、エネルギー交換演算子は次のように定義されることが多いです。

${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})f_{i}(x_{1})=\phi _{j}(x_{1})\int {{\frac {\phi _{j}^{*}(x_{2})f_{i}(x_{2})}{r_{12}}}\mathrm {d} x_{2}}}$

ここで、は一電子交換演算子、 は電子位置の関数として交換演算子によって作用される一電子波動関数、および は電子位置の関数としての - 番目の電子の一電子波動関数です。それらの間隔は と表記されます。^[3]ラベル 1 と 2 は表記上の便宜のためだけのものであり、物理的には「どの電子がどの電子であるか」を追跡する方法はありません。 ${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})}$${\displaystyle f(x_{1})}$${\displaystyle f(x_{2})}$${\displaystyle \phi _{j}(x_{1})}$${\displaystyle \phi _{j}(x_{2})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{12}}$

• 交流の交流
• ハミルトニアン（量子力学）
• クーロン演算子
• 交換対称性または順列対称性

• K. 北浦; K. 諸隈 (2004). 「ハートリー・フォック近似による分子相互作用の新しいエネルギー分解スキーム」.国際量子化学ジャーナル. 10 (2). Wiley: 325–340. doi :10.1002/qua.560100211.
• Bylander, DM; Kleinman, Leonard (1990). 「修正された局所密度近似による良好な半導体バンドギャップ」. Physical Review B. 41 ( 11): 7868–7871. Bibcode :1990PhRvB..41.7868B. doi :10.1103/PhysRevB.41.7868. PMID  9993089.
• AP Polychronakos (1992). 「粒子の積分可能システムのための交換演算子形式」. Phys. Rev. Lett . 69 (5): 703–705. arXiv : hep-th/9202057 . Bibcode :1992PhRvL..69..703P. doi :10.1103/PhysRevLett.69.703. PMID  10047011. S2CID  14319416.
• シェファルシー、P. (1957)。 「新たな交換の可能性について」。Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae。7 (3): 357–364。土井：10.1007/BF03156345。S2CID  124672448。
• RK Nesbet (1958). 「強磁性および反強磁性システムに対するハイゼンベルク交換演算子」Annals of Physics . 4 (1). リンカーン、マサチューセッツ州、米国: Elsevier: 87–103. Bibcode :1958AnPhy...4...87N. doi :10.1016/0003-4916(58)90039-3.
• 「ハートリー・フォック方程式」。

• 2.3.同一粒子、P.ヘインズ 2013-07-01ウェイバックマシンにアーカイブ
• 第12章 多重粒子状態
• 同一かつおそらく区別できない粒子の交換、J. デンカー