非同次線形微分演算子のインパルス応答
点源に従う微分方程式の 解がわかっていて 、微分演算子が線形である場合、それらを重ね合わせて 一般源の 解を構築することができます 。
グ （ x 、
x ′
）
{\textstyle G(x,x')}
ら ^
（ x ） グ （ x 、
x ′
） = δ （ x −
x ′
）
{\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\デルタ (xx')}
ら ^
（ x ）
{\textstyle {\hat {L}}(x)}
あなた （ x ） = ∫ ふ （
x ′
） グ （ x 、
x ′
） d
x ′
{\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}
ら ^
（ x ） あなた （ x ） = ふ （ x ）
{\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}
数学 において 、 グリーン関数 （または グリーン関数 ）は、 指定された初期条件または境界条件を持つ領域上で定義された
不同次 線形 微分演算子 の インパルス応答です。
これは、が 線型微分演算子である場合、
ら
{\displaystyle L}
グリーン関数は 方程式 の解であり 、 は ディラックのデルタ関数 です 。
グ
{\displaystyle G}
ら グ = δ
{\displaystyle LG=\delta }
δ
{\displaystyle \delta}
初期値問題の解は 畳み込み ( )である 。
ら ええ = ふ
{\displaystyle Ly=f}
グ ∗ ふ
{\displaystyle ガスト f}
重ね合わせの原理 により 、 線型常微分方程式 (ODE)が与えられた場合 、 まず各 sについて を 解き 、ソースが デルタ関数の和であるため、 L の線型性により、解もグリーン関数の和であることがわかります 。
ら ええ = ふ
{\displaystyle Ly=f}
ら グ =
δ
s
{\displaystyle LG=\delta_{s}}
グリーン関数は、 1820 年代にこの概念を初めて考案したイギリスの 数学者 ジョージ・グリーンにちなんで名付けられました。現代の線形 偏微分方程式の研究では、グリーン関数は主に 基本解 の観点から研究されています 。
多体理論 では 、この用語は 物理学 、具体的には 量子場の理論 、 空気力学 、 航空音響学、電気 力学 、 地震学 、 統計場の理論 でも使用され、数学的な定義に当てはまらないものも含め、さまざまな種類の 相関関数 を指します。量子場の理論では、グリーン関数は 伝播関数 の役割を果たします 。
定義と用途 ユークリッド空間 の部分集合上の 超 関数 に作用する線型 微分作用素 L = L ( x ) の 点 s におけるグリーン関数 G ( x , s ) は、
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ここで δは ディラックのデルタ関数 である 。グリーン関数のこの性質は、次のような微分方程式を解くのに利用できる。
L の 核 が自明でない 場合、グリーン関数は一意ではありません。ただし、実際には、 対称性 、 境界条件 、および/またはその他の外部から課せられた基準の組み合わせにより、一意のグリーン関数が得られます。グリーン関数は、満たされる境界条件の種類によって、 グリーン関数番号 によって分類できます。また、グリーン関数は一般に、 分布 であり、必ずしも 実変数の
関数ではありません。
グリーン関数は、 波動方程式 や 拡散方程式を 解く際にも役立つツールです。 量子力学では、 ハミルトニアン のグリーン関数は、 状態密度 の概念と重要なつながりを持つ重要な概念です 。
物理学で使用されるグリーン関数は、通常、反対の符号で定義されます。つまり、
この定義では、ディラックのデルタ関数の均一性により、グリーン関数の特性は大幅に変更されません。
ら グ （ x 、 s ） = δ （ x − s ） 。
{\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.}
演算子が 変換不変で ある場合、つまり、が x に関して 定数係数を 持つ場合 、グリーン関数は 畳み込みカーネル としてとらえることができます。つまり、
この場合、グリーン関数は 線形時不変システム理論 のインパルス応答と同じです。
ら
{\displaystyle L}
グ （ x 、 s ） = グ （ x − s ） 。
{\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.}
モチベーション 大まかに言えば、そのような関数 G が演算子 L に対して見つかる場合 、 グリーン関数の 式 1に f ( s )を掛けて s について積分すると、次式 が得られます。
演算子は線形であり、変数 x にのみ作用し （ 積分変数 sには 作用しない ）、演算子を 積分外に取り出すと、次式が得られます。
これは、
∫ ら グ （ x 、 s ） ふ （ s ） d s = ∫ δ （ x − s ） ふ （ s ） d s = ふ （ x ） 。
{\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}
ら = ら （ x ）
{\displaystyle L=L(x)}
ら
{\displaystyle L}
ら
（
∫ グ （ x 、 s ） ふ （ s ） d s
）
= ふ （ x ） 。
{\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}
方程式の解である
ら あなた （ x ） = ふ （ x ） 。
{\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}
したがって、式 1 のグリーン関数と 式 2 の右側のソース項を知ることで 関数 u ( x ) を得ることができます。このプロセスは演算子 L の線形性に依存しています。
言い換えれば、 式 2の解 u ( x ) は、 式 3 で与えられた積分によって決定できます 。 f ( x )は既知ですが、 G も既知でなければこの積分は実行できません。ここでの問題は、 式 1 を 満たす グリーン関数 G を 見つけることです。このため、グリーン関数は 演算子 L に関連付けられた基本解 と呼ばれることもあります。
すべての演算子が グリーン関数を許容するわけではありません。グリーン関数は L の 右逆関数と考えることもできます。特定の演算子のグリーン関数を見つけることの難しさとは別に、 式 3 の積分 を評価するのは非常に難しい場合があります。ただし、この方法は理論的に正確な結果をもたらします。
ら
{\displaystyle L}
これは、ディラックのデルタ関数基底（ f を 上に 射影し 、各 射影 上の解を重ね合わせたもの） に従った f の展開として考えることができます。このような積分方程式は フレドホルム積分方程式 として知られており 、その研究が フレドホルム理論 を構成しています。
δ （ x − s ）
{\displaystyle \delta (xs)}
不均質境界値問題を解くためのグリーン関数 数学におけるグリーン関数の主な用途は、非同次 境界値問題を 解くことです。現代の 理論物理学 では、グリーン関数は通常、 ファインマン図 の 伝播関数としても使用されます。 グリーン関数 という用語は、 さらに 相関関数 を指す場合もよく使用されます。
フレームワーク をシュトゥルム・リウヴィル 作用素、すなわち 次の形式の線型微分作用素
とし
、を ベクトル値 境界条件 作用素
とする。
ら
{\displaystyle L}
ら =
d
d x
[
p （ x ）
d
d x
]
+ q （ x ）
{\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}
だ
{\displaystyle \mathbf {D} }
だ
あなた =
[
α
1
あなた ′
（ 0 ） +
β
1
あなた （ 0 ）
α
2
あなた ′
（ ℓ ） +
β
2
あなた （ ℓ ）
]
。
{\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}
を における 連続関数 と します 。 さらに、問題が「正則」であると仮定します
。つまり、 すべての x に対して
の唯一の解 は です 。 [a]
ふ （ x ）
{\displaystyle f(x)}
[ 0 、 ℓ ]
{\displaystyle [0,\ell ]\,}
ら あなた
= ふ
だ
あなた
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}
ふ （ x ） = 0
{\displaystyle f(x)=0}
あなた （ x ） = 0
{\displaystyle u(x)=0}
定理 を満たす
解は 1 つだけあり
、それは によって与えられます。
ここで は 、次の条件を満たすグリーン関数です。
あなた （ x ）
{\displaystyle u(x)}
ら あなた
= ふ
だ
あなた
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}
あなた （ x ） =
∫
0
ℓ
ふ （ s ） グ （ x 、 s ） d s 、
{\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}
グ （ x 、 s ）
{\displaystyle G(x,s)}
グ （ x 、 s ）
{\displaystyle G(x,s)}
はおよび において連続です 。
x
{\displaystyle x}
s
{\displaystyle s}
のために 、 。
x ≠ s
{\displaystyle x\neq s\,}
ら グ （ x 、 s ） = 0
{\displaystyle LG(x,s)=0}
のために 、 。
s ≠ 0
{\displaystyle s\neq 0\,}
だ
グ （ x 、 s ） =
0
{\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }
派生語 「ジャンプ」: .
グ ′
（
s
0 +
、 s ） −
グ ′
（
s
0 −
、 s ） = 1
/
p （ s ）
{\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}
対称性: .
グ （ x 、 s ） = グ （ s 、 x ）
{\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}
グリーン関数の発達と発達遅延 グリーン関数は必ずしも一意ではありません。なぜなら、同次方程式の任意の解を 1 つのグリーン関数に追加すると、別のグリーン関数が得られるからです。したがって、同次方程式に非自明な解がある場合、複数のグリーン関数が存在します。場合によっては、 に対してのみゼロでない 1 つのグリーン関数 ( 遅延グリーン関数と呼ばれます) と、 に対してのみゼロでない別のグリーン関数 ( 高度なグリーン関数と呼ばれます) を見つけることが可能です。このような場合、2 つのグリーン関数の任意の線形結合も有効なグリーン関数です。高度なおよび遅延という用語は、変数 x が時間に対応する場合に特に便利です。このような場合、遅延グリーン関数の使用によって提供される解は過去のソースのみに依存し、 因果的 ですが、高度なグリーン関数の使用によって提供される解は将来のソースのみに依存し、非因果的です。これらの問題では、因果的な解が物理的に重要な場合がよくあります。高度グリーン関数と遅延グリーン関数の使用は、特に 非同次電磁波方程式 の解の解析によく使用されます 。
s ≤ x
{\displaystyle s\leq x}
s ≥ x
{\displaystyle s\geq x}
グリーン関数の発見
ユニット グリーン関数の形は一意に決まるわけではありませんが、 次元解析を 行ってグリーン関数の単位を見つけることは、他の手段で見つかったグリーン関数の重要な妥当性チェックになります。定義式を簡単に調べると、
の単位は の単位だけでなく、位置ベクトル とが要素となっ ている空間の数と単位にも依存していることがわかります 。このことから、次の関係が導かれます。
ここで は 「 の物理的単位 」 [ さらなる説明が必要 ] として定義され、は 空間 (または 時空) の 体積要素 です 。
ら グ （ x 、 s ） = δ （ x − s ） 、
{\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs),}
グ
{\displaystyle G}
ら
{\displaystyle L}
x
{\displaystyle x}
s
{\displaystyle s}
[ [ グ ] ] = [ [ ら ]
]
− 1
[ [ d x ]
]
− 1
、
{\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}
[ [ グ ] ]
{\displaystyle [[G]]}
グ
{\displaystyle G}
d x
{\displaystyle dx}
たとえば、 および時間が唯一の変数である場合、次のようになります。
、 ダランベール演算子 、 および空間が 3 次元である
場合、次のようになります。
ら =
∂
t
2
{\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}
[
[
L
]
]
=
[
[
time
]
]
−
2
,
[
[
d
x
]
]
=
[
[
time
]
]
,
and
[
[
G
]
]
=
[
[
time
]
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}
L
=
◻
=
1
c
2
∂
t
2
−
∇
2
{\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}
[
[
L
]
]
=
[
[
length
]
]
−
2
,
[
[
d
x
]
]
=
[
[
time
]
]
[
[
length
]
]
3
,
and
[
[
G
]
]
=
[
[
time
]
]
−
1
[
[
length
]
]
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}
固有値展開 微分作用素 Lが 完全 な固有ベクトル の 集合 Ψn ( x ) （すなわち、 LΨn = λnΨn となる関数 Ψn とスカラー λn の 集合 ） を 許容する場合、これらの固有ベクトル と 固有値 から グリーン関数を構築することが できる 。
「完全」とは、関数の集合 {Ψ n } が次の 完全性関係 を満たすことを意味する。
δ
(
x
−
x
′
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
†
(
x
)
Ψ
n
(
x
′
)
.
{\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}
すると次のことが成り立ちます。
G
(
x
,
x
′
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
†
(
x
)
Ψ
n
(
x
′
)
λ
n
,
{\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},}
ここで、 は 複素共役を表します。
†
{\displaystyle \dagger }
この方程式の各辺に演算子 L を 適用すると、想定されていた完全性関係が得られます。
上記の形式で書かれたグリーン関数と、その関数と 固有ベクトルによって形成される 関数空間との関係についての一般的な研究は、 フレドホルム理論 として知られています。
グリーン関数を求める方法は他にもいくつかあり、 像法 、 変数分離法 、 ラプラス変換など があります。 [1]
グリーン関数を組み合わせる 微分演算子を として因数分解できる場合 、 のグリーン関数は および の グリーン関数から構築できます 。
上記の恒等式は 、 を の右演算子逆の表現と見なすことで直ちに得られます。 これ は、によって定義される 可逆線形演算子 が 、 その行列要素 によって表される 方法に類似しています 。
L
{\displaystyle L}
L
=
L
1
L
2
{\displaystyle L=L_{1}L_{2}}
L
{\displaystyle L}
L
1
{\displaystyle L_{1}}
L
2
{\displaystyle L_{2}}
G
(
x
,
s
)
=
∫
G
2
(
x
,
s
1
)
G
1
(
s
1
,
s
)
d
s
1
.
{\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}
G
(
x
,
s
)
{\displaystyle G(x,s)}
L
{\displaystyle L}
C
{\displaystyle C}
C
=
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
{\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}
C
i
,
j
{\displaystyle C_{i,j}}
導関数 のスカラー多項式である微分演算子については、さらに恒等式が成り立ちます。代数 の基本定理は、 が 自身と可換であるという事実と組み合わさって、多項式が因数分解できることを保証し、次の 形式 に なり ます 。 ここ で
の 零点です 。 をと の 両方について フーリエ 変換 すると、 次のようになります。
次に、 部分分数分解
を使用して分数を和に分割してから、 と空間 に戻すフーリエ変換を行うことができます 。 このプロセスにより、グリーン関数の積分とその和を関連付ける恒等式が得られます。 たとえば、 の場合、 のグリーン関数の 1 つの形式は次のようになります。
提示された例は解析的に扱いやすいものですが、積分が自明でない場合に機能するプロセスを示しています (たとえば、 が 多項式の演算子である場合)。
L
=
P
N
(
∂
x
)
{\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}
∂
x
{\displaystyle \partial _{x}}
L
{\displaystyle L}
L
=
∏
i
=
1
N
(
∂
x
−
z
i
)
,
{\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}
z
i
{\displaystyle z_{i}}
P
N
(
z
)
{\displaystyle P_{N}(z)}
L
G
(
x
,
s
)
=
δ
(
x
−
s
)
{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}
x
{\displaystyle x}
s
{\displaystyle s}
G
^
(
k
x
,
k
s
)
=
δ
(
k
x
−
k
s
)
∏
i
=
1
N
(
i
k
x
−
z
i
)
.
{\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}
x
{\displaystyle x}
s
{\displaystyle s}
L
=
(
∂
x
+
γ
)
(
∂
x
+
α
)
2
{\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}
G
(
x
,
s
)
=
1
(
γ
−
α
)
2
Θ
(
x
−
s
)
e
−
γ
(
x
−
s
)
−
1
(
γ
−
α
)
2
Θ
(
x
−
s
)
e
−
α
(
x
−
s
)
+
1
γ
−
α
Θ
(
x
−
s
)
(
x
−
s
)
e
−
α
(
x
−
s
)
=
∫
Θ
(
x
−
s
1
)
(
x
−
s
1
)
e
−
α
(
x
−
s
1
)
Θ
(
s
1
−
s
)
e
−
γ
(
s
1
−
s
)
d
s
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
グリーン関数の表 次の表は、頻繁に現れる微分演算子のグリーン関数の概要を示しています。ここで 、、 は ヘビサイド ステップ関数 、 は ベッセル関数 、 は 第1種の修正ベッセル関数 、は 第2種の修正ベッセル関数 です 。 [2] 時間( t )が最初の列に現れるところは、遅延(因果)グリーン関数がリストされています。
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
ρ
=
x
2
+
y
2
{\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
Θ
(
t
)
{\textstyle \Theta (t)}
J
ν
(
z
)
{\textstyle J_{\nu }(z)}
I
ν
(
z
)
{\textstyle I_{\nu }(z)}
K
ν
(
z
)
{\textstyle K_{\nu }(z)}
ラプラシアンのグリーン関数 ラプラシアン を含む線型微分演算子のグリーン関数は、 グリーン恒等式 の 2 番目を使用することで簡単に使用できます 。
グリーンの定理を導くには、 発散定理（ ガウスの定理 とも呼ばれる ）から始める。
∫
V
∇
⋅
A
d
V
=
∫
S
A
⋅
d
σ
^
.
{\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}
をガウスの法則に代入します 。
A
=
φ
∇
ψ
−
ψ
∇
φ
{\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }
∇演算子の積の法則を
計算して適用する。
∇
⋅
A
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }
∇
⋅
A
=
∇
⋅
(
φ
∇
ψ
−
ψ
∇
φ
)
=
(
∇
φ
)
⋅
(
∇
ψ
)
+
φ
∇
2
ψ
−
(
∇
φ
)
⋅
(
∇
ψ
)
−
ψ
∇
2
φ
=
φ
∇
2
ψ
−
ψ
∇
2
φ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}
これを発散定理に当てはめると グリーンの定理 が得られる。
∫
V
(
φ
∇
2
ψ
−
ψ
∇
2
φ
)
d
V
=
∫
S
(
φ
∇
ψ
−
ψ
∇
φ
)
⋅
d
σ
^
.
{\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}
線型微分作用素 L がラプラシアン 、 ∇ 2 であり、ラプラシアンに対するグリーン関数 G があるとする。グリーン関数の定義特性は依然として成り立つ。
L
G
(
x
,
x
′
)
=
∇
2
G
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
.
{\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}
グリーンの2番目のアイデンティティーを導入し、グリーンのアイデンティティーを見てみ ましょ う 。
ψ
=
G
{\displaystyle \psi =G}
∫
V
[
φ
(
x
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
2
φ
(
x
′
)
]
d
3
x
′
=
∫
S
[
φ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
φ
(
x
′
)
]
⋅
d
σ
^
′
.
{\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
この式を使用すると、 ノイマン境界 条件または ディリクレ 境界条件のいずれかに従って、 ラプラス方程式 ∇ 2 φ ( x ) = 0 または ポアソン方程式 ∇ 2 φ ( x ) = − ρ ( x ) を解くことができます。言い換えると、 (1) φ ( x ) の値が体積の境界面で指定されている (ディリクレ境界条件)、または (2) φ ( x ) の法線導関数が境界面で 指定されている (ノイマン境界条件) 体積内のどこでも
φ ( x )を解くことができます。
問題が 領域内の
φ ( x )を解くことであると仮定する。すると、 ディラックのデルタ関数 の定義特性により 、
積分は単純に φ ( x )
となり、次の式が得られる。
∫
V
φ
(
x
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
d
3
x
′
{\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}
φ
(
x
)
=
−
∫
V
G
(
x
,
x
′
)
ρ
(
x
′
)
d
3
x
′
+
∫
S
[
φ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
φ
(
x
′
)
]
⋅
d
σ
^
′
.
{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
この形式は調和関数 のよく知られた性質 、つまり 境界面上の値または正規導関数がわかっている場合、体積内の関数の値はどこでもわかっている、という ことを表現しています。
静電気学 では 、 φ ( x ) は 電位 、 ρ ( x ) は 電荷 密度 、法線微分は 電場の法線成分として
解釈されます。
∇
φ
(
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
{\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}
ディリクレ境界値問題を解く問題の場合、グリーン関数は x または x′ が 境界面上にある ときに G ( x , x ′)がゼロになるように選択する必要があります。これにより、 面積分 の 2 つの項のうち 1 つだけが残ります。ノイマン境界値問題を解く問題の場合、境界面上で法線導関数がゼロになるようにグリーン関数を選択するのが論理的に思えるかもしれません。しかし、グリーン関数を定義する微分方程式にガウスの定理を適用すると、
G ( x , x ′)
の法線導関数は 面上でゼロにはならないということになります。なぜなら、面上では 1 に積分しなければならないからです。 [3]
∫
S
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
=
∫
V
∇
′
2
G
(
x
,
x
′
)
d
3
x
′
=
∫
V
δ
(
x
−
x
′
)
d
3
x
′
=
1
,
{\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}
正規導関数が取り得る最も単純な形式は定数、すなわち 1/ S です。ここで S は表面の表面積です。解の表面項は となり
、 は 表面上の電位の平均値です。この数値は一般には知られていませんが、多くの場合、目標は電位そのものではなく、電位の勾配によって与えられる電界を得ることであるため、重要ではありません。
∫
S
φ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
=
⟨
φ
⟩
S
{\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}
⟨
φ
⟩
S
{\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}
境界条件がない場合、ラプラス方程式のグリーン関数（ 3変数ラプラス方程式のグリーン関数 ）は
G
(
x
,
x
′
)
=
−
1
4
π
|
x
−
x
′
|
.
{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}
境界面が無限大に広がると仮定し、このグリーン関数の式を代入すると、最終的に電荷密度に関する電位の標準的な式が得られる。
φ
(
x
)
=
∫
V
ρ
(
x
′
)
4
π
ε
|
x
−
x
′
|
d
3
x
′
.
{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}
例 グリーン関数番号 が X11 である
次の問題のグリーン関数を求めます。
L
u
=
u
″
+
k
2
u
=
f
(
x
)
u
(
0
)
=
0
,
u
(
π
2
k
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}
第一段階： 手元の線形演算子のグリーン関数は、次の解として定義される。
の場合に はデルタ関数はゼロとなり、一般解は
x
≠
s
{\displaystyle x\neq s}
G
(
x
,
s
)
=
c
1
cos
k
x
+
c
2
sin
k
x
.
{\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}
の場合 、 における境界条件は 、
かつ であること を意味します
。
x
<
s
{\displaystyle x<s}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
G
(
0
,
s
)
=
c
1
⋅
1
+
c
2
⋅
0
=
0
,
c
1
=
0
{\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}
x
<
s
{\displaystyle x<s}
s
≠
π
2
k
{\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}
の場合、 における
境界条件は
x
>
s
{\displaystyle x>s}
x
=
π
2
k
{\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}
G
(
π
2
k
,
s
)
=
c
3
⋅
0
+
c
4
⋅
1
=
0
,
c
4
=
0
{\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}
の式も 同様の理由で省略されます。
G
(
0
,
s
)
=
0
{\displaystyle G(0,s)=0}
これまでの結果をまとめると次のようになります。
G
(
x
,
s
)
=
{
c
2
sin
k
x
,
for
x
<
s
,
c
3
cos
k
x
,
for
s
<
x
.
{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}
ステップ 2: 次のタスクは、 と を決定することです 。
c
2
{\displaystyle c_{2}}
c
3
{\displaystyle c_{3}}
グリーン関数の連続性を確保する こと
は、
x
=
s
{\displaystyle x=s}
c
2
sin
k
s
=
c
3
cos
k
s
{\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}
定義する微分方程式 (すなわち、 式 * ) を から まで 積分し 、 が 0 に近づくときの極限を取ることによって、1 次導関数の適切な不連続性を確保できます 。残りの項は構成上連続するため、2 次導関数のみを積分することに注意してください。
x
=
s
−
ε
{\displaystyle x=s-\varepsilon }
x
=
s
+
ε
{\displaystyle x=s+\varepsilon }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
c
3
⋅
(
−
k
sin
k
s
)
−
c
2
⋅
(
k
cos
k
s
)
=
1
{\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}
2つの（不）連続方程式を解くと 、 次の式が得られる。
c
2
{\displaystyle c_{2}}
c
3
{\displaystyle c_{3}}
c
2
=
−
cos
k
s
k
;
c
3
=
−
sin
k
s
k
{\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}
したがって、この問題のグリーン関数は次のようになります。
G
(
x
,
s
)
=
{
−
cos
k
s
k
sin
k
x
,
x
<
s
,
−
sin
k
s
k
cos
k
x
,
s
<
x
.
{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}
その他の例 n = 1 と し、部分集合を R 全体とします 。L を とし ます 。すると、 ヘビサイドステップ関数 Θ( x − x 0 )は x 0 における L のグリーン関数になります 。
d
d
x
{\textstyle {\frac {d}{dx}}}
n = 2 とし 、部分集合を 1/4 平面 {( x , y ) : x , y ≥ 0} とし、 L を ラプラシアン とする。また、 x = 0で ディリクレ境界条件 が課され 、 y = 0で ノイマン境界条件 が課されると 仮定する 。このとき、X10Y20 グリーン関数は
G
(
x
,
y
,
x
0
,
y
0
)
=
1
2
π
[
ln
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
−
ln
(
x
+
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
ln
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
+
y
0
)
2
−
ln
(
x
+
x
0
)
2
+
(
y
+
y
0
)
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}
、および 3 つすべてを実数の要素とします。すると、区間 で積分可能な - 次導関数を持つ任意の関数 に対して 、 次 の 式が成り立ちます。 上の式のグリーン関数 は 一意ではありません。 が すべての に対して を 満たす に を加えた場合 、式はどのように変更されますか (たとえば、 の場合 )? また、上の式をを中心とする テイラー級数 の形式と比較してください 。
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
n
{\displaystyle n}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
x
)
=
∑
m
=
0
n
−
1
(
x
−
a
)
m
m
!
[
d
m
f
d
x
m
]
x
=
a
+
∫
a
b
[
(
x
−
s
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
Θ
(
x
−
s
)
]
[
d
n
f
d
x
n
]
x
=
s
d
s
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}
G
(
x
,
s
)
=
(
x
−
s
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
Θ
(
x
−
s
)
{\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}
g
(
x
−
s
)
{\displaystyle g(x-s)}
G
(
x
,
s
)
{\displaystyle G(x,s)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
d
n
g
d
x
n
=
0
{\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
g
(
x
)
=
−
x
/
2
{\displaystyle g(x)=-x/2}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
参照
^ 専門用語では、「正則」とは、 同次 問題 ( )に対して 自明な 解 ( )のみが存在することを意味します
u
(
x
)
=
0
{\displaystyle u(x)=0}
。
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
参考文献
^ Cole, KD; Beck, JV; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, B. (2011). 「グリーン関数を求める方法」. グリーン関数を用いた熱伝導 . Taylor and Francis. pp. 101–148. ISBN 978-1-4398-1354-6 。 ^いくつかの例は Schulz、Hermann (2001) から引用。 Physik mit Bleistift: das Analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers (4. Aufl ed.)。フランクフルト・アム・マイン: ドイツ語。 ISBN 978-3-8171-1661-4 。 ^ ジャクソン、ジョン・デイビッド (1998-08-14). 古典電気力学 . ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 39.
Bayin, SS (2006). 科学と工学における数学的手法 . Wiley. 第 18 章と第 19 章。 アイゲス、レナード（1972年）。 『古典的電磁場』 。ニューヨーク、NY：ドーバー出版 。ISBN 0-486-63947-9 。 第 5 章には、グリーン関数を使用して静電気の境界値問題を解決する方法についての非常にわかりやすい説明が含まれています。 ポリアニン、AD; ザイツェフ、VF (2003)。 常微分方程式の厳密解ハンドブック （第2版）。フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRCプレス 。ISBN 1-58488-297-2 。 バートン、ガブリエル (1989)。 グリーン関数と伝播の要素: ポテンシャル、拡散、波 。オックスフォード科学出版。オックスフォード: ニューヨーク: クラレンドン プレス; オックスフォード大学出版局 。ISBN 978-0-19-851988-1 。 グリーン関数の教科書で、手順が詳しく解説されています。 ポリアニン、AD（2002）。 エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック 。フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRCプレス 。ISBN 1-58488-299-9 。 マシューズ、ジョン; ウォーカー、ロバート L. (1970)。 物理学の数学的方法 (第 2 版)。ニューヨーク: WA ベンジャミン 。ISBN 0-8053-7002-1 。 Folland, GB フーリエ解析とその応用 。数学シリーズ。Wadsworth および Brooks/Cole。 グリーン、G (1828)。 電気と磁気の理論への数学的分析の応用に関するエッセイ 。ノッティンガム、イギリス：T.ホイールハウス。10-12ページ。 Faryad and, M.; Lakhtakia, A. (2018). 電磁気学における無限空間ダイアディックグリーン関数。ロンドン、イギリス / サンラファエル、カリフォルニア: IoP Science (イギリス) / Morgan and Claypool (アメリカ)。Bibcode :2018idgf.book.....F . ISBN 978-1-68174-557-2 。 Şeremet, VD (2003). グリーン関数と行列のハンドブック . サウサンプトン: WIT プレス. ISBN 978-1-85312-933-9 。
外部リンク
![{\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d3fd6df18b34bdfbba804fbc99e3e6dda15291)
![{\displaystyle [0,\ell ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8f5818a03081009018fc028c713c925de6c1b1)
![{\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdd0f71437271af1845d639fab3815f256b7ee4)
![{\displaystyle [[G]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c4741f657ce5212f6d7e746b6db1174bb03569)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e74b54de3b79a229c863c93974ebd49650d9315)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf36c5933191bb1a405efbd7c986056e141f0ad0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (xs)e^{-\gamma (xs)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (xs)e^{-\alpha (xs)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (xs)\left(xs\right)e^{-\alpha (xs)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b618a4d5e86ad85324802640e1224eefe701fb88)
![{\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf { x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\ mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2081611a48e5f745ead5696edd75afcea51a17a4)
![{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d ^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right] \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5794de11e41281313ec24d0f2b75ad20f42ba286)
![{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c653101af1959f15082dffc96effa1371fe449)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a48e894755b8bec27b8e5255f1aa1946d91a222)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(xa)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(xs)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (xs)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a482e6b86452bc1eeee1ea7373df0c85ced263c3)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
