漸近均質化

数学と物理学において、均質化は、次のような 急速に振動する係数を持つ偏微分方程式を研究する方法である^{[1] [2] [3]。}

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f}$

ここで、は非常に小さなパラメータであり、 1周期係数 、 です。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A\left({\vec {y}}\right)}$${\displaystyle A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

これらの方程式の研究は物理学や工学においても非常に重要であることが分かっています。なぜなら、この種の方程式は不均質または異質な物質の物理を支配するからです。もちろん、すべての物質はあるスケールでは不均質ですが、均質として扱う方が便利な場合がよくあります。その良い例が、連続体力学で使用される連続体概念です。この仮定の下では、流体、固体などの物質は均質な物質として扱うことができ、これらの物質には、せん断弾性率、弾性率など の材料特性が関連付けられます。

多くの場合、不均質な材料（複合材料など）は微細構造を持ち、そのため、微細構造の特性長さスケールよりもはるかに大きな長さスケールで変化する荷重や力を受けます。このような状況では、上記の式を次の式に置き換えることができます。

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f}$

ここで、は定数テンソル係数であり、問​​題の材料に関連する有効特性として知られています。これは次のように明示的に計算できます。 ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n}$

以下を満たす1周期関数から ： ${\displaystyle w_{j}}$

${\displaystyle \nabla_{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla_{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).}$

振動係数の大きい方程式を同次（均一）係数の方程式に置き換えるこのプロセスは、均質化と呼ばれます。まさにこの理由から、 この主題はマイクロメカニクスの主題と密接に結びついています。

均質化では、が十分に小さい場合、 ある方程式が別の方程式に置き換えられます( のような適切なノルムが与えられます)。 ${\displaystyle u_{\epsilon }\approx u}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle u_{\epsilon }\to u}$${\displaystyle \epsilon \to 0}$

上記の結果から、均質化は連続体概念を微細構造を持つ材料に拡張したものと見なすことができます。連続体概念における微分要素の類似物（その材料を代表するのに十分な原子または分子構造を含む）は、均質化とマイクロメカニクスでは「代表体積要素」^[4]として知られています。この要素には、材料を代表するのに十分な不均質媒体に関する統計情報が含まれています。したがって、この要素を平均すると、上記のような有効な特性が得られます。 ${\displaystyle A^{*}}$

均質化理論の古典的な結果^{[1] [2] [3]}は、周期係数を持つ偏微分方程式でモデル化された周期的微細構造を持つ媒体に対して得られました。これらの結果は後に、統計特性が空間のどの点においても同じであるランダム係数を持つ微分方程式でモデル化された空間的に均質なランダム媒体に一般化されました。^{[5] [6]}実際には、多くのアプリケーションでは、周期的でも統計的に均質でもない、より一般的なモデリング方法が必要です。この目的のために、均質化理論の方法は、係数が周期的でも統計的に均質でもない偏微分方程式 (いわゆる任意に粗い係数) に拡張されました。^{[7] [8]}

数学的な均質化理論は、フランス、ロシア、イタリアの学派にまで遡ります。^{[1] [2] [3] [9]}漸近均質化の方法は、高速変数を導入し、次のように形式展開することによって行われます。 ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}}, {\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,}$

これにより、問題の階層が生成されます。関数のいわゆる「セル問題」を解くことで、均質化方程式が得られ、有効な係数が決定されます。 ${\displaystyle u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )}$

• 漸近解析
• Γ収束
• モスココンバージェンス
• 有効媒体近似

• Kozlov, SM; Oleinik, OA ; Zhikov, VV (1994)、微分演算子と積分関数の均質化、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク市：Springer-Verlag、ISBN 3-540-54809-2、ZBL  0838.35001
• オレイニク、OA ; シャマエフ、AS; ヨシフィアン、GA (1991)、「弾性と均質化における数学的問題」、数学とその応用の研究、第26巻、アムステルダム-ロンドン-ニューヨーク市-東京：ノースホランド、ISBN 0-444-88441-6、ZBL  0768.73003
• ホルンング、ウルリッヒ（編）（1997）、均質化と多孔質媒体、学際応用数学、第6巻、シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4612-1920-0、ISBN 978-1-4612-7339-4
• Bakhvalov, NS ; Panasenko, GP (1984)、「周期的媒体におけるプロセスの平均化」（英訳：Kluwer、1989）、モスクワ：Nauka、Zbl  0607.73009
• Braides, A.; Defranceschi, A. (1998)、「多重積分の均質化」、オックスフォード数学とその応用講義シリーズ、オックスフォード：クラレンドン・プレス、ISBN 978-0-198-50246-3