フーリエ光学

フーリエ光学は、フーリエ変換(FT)を使用する古典光学の研究であり、検討対象の波形は平面波の組み合わせ、または重ね合わせで構成されていると見なされます。これは、波面が球面波面 (位相面とも呼ばれる) の組み合わせで構成され、その合計が検討対象の波面であると見なされるホイヘンス-フレネルの原理といくつかの類似点があります。重要な違いは、フーリエ光学では平面波を伝搬媒体の自然モードと見なすのに対し、ホイヘンス-フレネルでは球面波が物理媒体に由来する点です。

曲がった位相面は、これらの「自然モード」の無限の数、つまり空間内で異なる方向に向いた平面波位相面から合成できます。膨張する球面波がその発生源から遠い場合、その発生源は、伝播の半径方向を横切る平面位相面 (無限スペクトルからの単一の平面波) に局所的に接します。この場合、単一の球面波位相中心から発せられるフラウンホーファー回折パターンが作成されます。近接場には、明確に定義された単一の球面波位相中心が存在しないため、波面は球体に局所的に接しません。この場合、空間内の (物理的に識別可能な) 球面波源の分布で構成される拡張された発生源から発せられるフレネル回折パターンが作成されます。近接場においては、局所的にも、フレネル近接場波を表すために平面波の完全なスペクトルが必要です。前方に移動する「広い」波（海岸に向かって広がる海の波のように）は、無数の「平面波モード」と見なすことができます。これらのモードはすべて（途中の岩などに衝突すると）互いに独立して散乱する可能性があります。これらの数学的な簡略化と計算は、フーリエ解析と合成の領域です。これらを組み合わせることで、光がさまざまなスリット、レンズ、またはいずれかの方向に曲がったミラーを通過するとき、または完全にまたは部分的に反射されるときに何が起こるかを説明できます。

フーリエ光学は、画像処理技術の理論の多くを形成し、量子光学などの光源から情報を抽出する必要があるアプリケーションにも適用されています。少し複雑な言い方をすると、従来のフーリエ変換理論で使用される周波数と時間の概念に似ており、フーリエ光学は空間周波数領域 ( k _x、k _y ) を空間 ( x、y ) 領域の共役として使用します。変換理論、スペクトル、帯域幅、ウィンドウ関数、1 次元信号処理からのサンプリングなどの用語と概念がよく使用されます。

フーリエ光学は、半導体チップ製造用のウェーハ上に結像されるレチクル上のパターンが非常に密集しているため、レチクルから放射される光（例えば、DUVまたはEUV）が回折し、各回折光が異なる空間周波数（k _x、k _y）に対応する可能性があるフォトリソグラフィーなどの高精度光学アプリケーションで重要な役割を果たします。レチクル上のパターンは一般に不均一であるため、単純な回折格子解析では、各レチクルから光がどのように回折されるかの詳細が得られない場合があります。

光は、自由空間 (真空) または物質媒体 (空気やガラスなど) を伝播する波形として説明できます。数学的には、波を表すベクトル場の実数値成分は、空間と時間の両方に依存するスカラー波動関数uによって表されます。 ここで、 は 3 次元空間 (ここでは直交座標系) の位置を表し、t は時間を表します。 $${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$$

フーリエ光学は、同次スカラー波動方程式（無源領域で有効）から始まります。 ここで、は光速、u ( r , t )は自由空間を伝播する電磁波の実数値直交成分です（たとえば、 i = x、y、またはzの場合、 u ( r , t ) = E _i ( r , t )で、E _{i は}直交座標系における電場Eのi軸成分です）。 $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$${\displaystyle c}$

時間/波長/色における固定周波数の光（シングルモード レーザーからの光など）を想定すると、角周波数 における波の解に時間依存性があると想定する工学的時間規則に基づくと、は波の時間周期であり、光場の 時間調和形式は次のように与えられます。ここでは虚数単位、は の実部を取る演算子、 は光波の角周波数（単位時間あたりのラジアン単位）、 は 一般に、負でない実数 の別々の振幅と位相 を持つ複素量です。 ${\displaystyle e^{i\omega t}}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f=1/\tau }$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}.}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{x\right\}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \omega =2\pi f}$$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle \phi }$

この式を上記のスカラー波動方程式に代入すると、時間に依存しない波動方程式が得られます。 ここで 、真空中の 波長、は波数 (伝播定数とも呼ばれる)、は電磁波の複素数値直交座標成分の空間部分です。伝播定数と角周波数は互いに線形関係にあることに注意してください。これは、均質媒体における横方向電磁波 (TEM) の一般的な特性です。 $${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0}$$$${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$

スカラー波動方程式の本来の目的である実数値解は、の実部を取るだけで簡単に得られるため、ヘルムホルツ方程式として知られる次の方程式を解くことが最も重要になります。これは、複素数値関数を扱う方が、対応する実数値関数を扱うよりもはるかに簡単である場合が多いためです。 ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=0.}$$

ヘルムホルツ方程式の解は、偏微分方程式の変数分離の原理によって、直交座標系で簡単に求めることができます。この原理によれば、分離可能な直交座標では、この波動方程式の基本積解は、次の形式、 つまり、 x 関数とy関数とz関数の積として構成できます。この基本積解を、直交座標系の スカラーラプラシアンを使用して波動方程式に代入する と、3 つの個別の関数について次の式が得られ 、簡単に次の形式に並べ替えることができます。 $${\displaystyle \psi (x,y,z)=f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}},}$$$${\displaystyle f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0}$$$${\displaystyle {\frac {f_{x}''(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f_{z}''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$$

ここで、上記の式の各商は必然的に定数でなければならないと主張することもできます。これを正当化するために、最初の商は定数ではなく、xの関数であるとしましょう。式の他の項はいずれも変数xに依存していないため、最初の項もxに依存してはならず、定数でなければなりません。(最初の項がxの関数である場合、この式の左辺をゼロにすることはできません。) この定数は - k _x ^{2と表されます。} y商とz商についても同様に推論すると、 f _x、f _y、f _zの 3 つの常微分方程式と 1 つの分離条件が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=k^{2}\end{aligned}}}$$

これら 3 つの微分方程式の解の形式は、正弦、余弦、または複素指数のいずれか同じです。ここでは、複素指数を複素関数 と見なします。その結果、基本積解は 一般に複素数 となります 。この解は、伝播する平面波の複素数値直交成分の空間部分です(たとえば、、、または直交座標系の各軸に沿った電場成分)。ここでは、 ( 、、または) が実数であるのは、波はソースのない媒体内にあると想定されているため、各平面波は媒体内を伝播する際に減衰または増幅されないからです。波動ベクトル(ここで) における( 、、または) の負の符号は、波の伝播方向ベクトルが正の( 、、または) 成分を持つことを意味し、 の正の符号は、そのベクトルの負の( 、、または) 成分を意味します。 ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$${\displaystyle \psi (x,y,z)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,y,z)&=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{z}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {k} =k_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+k_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$${\textstyle \left|\mathbf {k} \right|=k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

ヘルムホルツ方程式の積解は、円筒座標と球座標でも容易に得られ、円筒調和関数と球面調和関数が得られます（残りの分離可能な座標系はあまり使用されません）。

直交座標系における固定時間周波数での同次電磁波方程式の一般解は、すべての可能な基本平面波解の重み付き重ね合わせとして形成される。 ${\displaystyle f}$

の制約があり、それぞれは実数で、です。この重ね合わせでは、は重み係数、または平面波成分の振幅で、波数ベクトルはと前述の制約によって 決定されます。${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})}$${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

次に、 次のようにします。$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}.}$$$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$$

式（ 2.1 ）における一般的な電磁場（例えば球面波）の平面波スペクトル表現は、フーリエ光学の基本的な基礎である（この点はいくら強調してもしすぎることはない）。なぜなら、 z = 0では、式は単純に場とその平面波の内容との間のフーリエ変換（FT）関係になるからである（そのため、フーリエ光学という名前が付けられている）。

したがって 、 $${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}}$$$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)={\mathcal {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}}$$

各平面波成分の空間依存性はすべて、指数関数によって明示的に記述されます。指数関数の係数は、各平面波の波数ベクトルの 2 つの成分のみの関数です (残りの他の成分は上記の制約によって決定できるため)。たとえば、通常のフーリエ解析やフーリエ変換の場合と同様に、 および です。 ${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

z 軸がシステムの光軸で、物体面（システムの画像面に画像化されるもの）が の平面である画像化システムを考えてみましょう。物体面では、波の複素数値直交座標成分の空間部分は、上に示したように、の制約（それぞれ実数、 ）を伴い、となります。画像化とは、物体面上の波（画像化される物体面上のパターンに関する情報を持つ）を、物体から画像面への適切な波の伝播を介して画像面上に再構成することです（たとえば、空中空間での画像の画像化について考えてください）。画像化されるパターンに完全に従う物体面上の波は、原理的には、 が無限の範囲の実数を取る制約のない逆フーリエ変換によって記述されます。これは、 に関する上記の制約により、特定の光周波数に対して、パターンの完全な特徴の一部しか画像化できないことを意味します。 (1) 逆フーリエ変換で表現するには空間周波数（ここで はを満たす横波数）を必要とする微細特徴は、与えられた光 に対してそのような波は存在しないため、完全には画像化できません（この現象は回折限界として知られています）。また、(2) 空間周波数 が非常に近いが、光軸に対する波の出射角が大きい場合は、高価で構築が困難な高 NA（開口数）画像化システムが必要です。(1) については、複素数値の縦波数が許容される場合でも（光と通常は固体材料である物体面パターンとの未知の相互作用により）、軸に沿った光の減衰を引き起こします（軸に沿った光の増幅は、物体面と像面の間に増幅材料がない場合には物理的に意味をなさず、これは通常のケースです）。そのため、そのような波は、通常物体面から十分離れた像面に到達しない可能性があります。 ${\displaystyle z=0}$${\textstyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\textstyle \psi _{0,{\text{unc}}}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\textstyle {\frac {k_{T}}{2\pi }}}$${\displaystyle k_{T}}$${\displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}}$${\displaystyle k_{T}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{T}<k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{z}}$

電子部品のフォトリソグラフィーに関しては、これら(1)と(2)が、ウェハ上のフォトレジスト上の集積回路のより微細な特徴を画像化するために、より高い周波数の光(より短い波長、したがってより大きな振幅)またはより高いNAの画像化システムが必要となる理由である。その結果、そのような光リソグラフィーを実現する機械はますます複雑で高価になり、電子部品の製造コストが大幅に増加している。 ${\displaystyle k}$

ヘルムホルツ方程式の解は、単一周波数波の複素数値直交座標成分の空間部分として次の形式をとるものと仮定します。 ここで、は波動ベクトル、 は 波数です。次に、近軸近似を使用します。これは、三角関数の2次近似まで（つまり、各三角関数のテイラー級数展開 の第2項までのみをとった場合） となる 小角近似です。$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$${\displaystyle \mathbf {k} }$$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$$$${\displaystyle k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \over c}}$$$${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\tan \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-\theta ^{2}/2\end{aligned}}}$$

ここで、波数ベクトルkと、議論中の光学系の光軸としての z 軸と の間の角度 (ラジアン) です。${\displaystyle \theta }$

その 結果、 $${\displaystyle k_{z}=k\cos \theta \approx k(1-\theta ^{2}/2)}$$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}}$$

この式をヘルムホルツ方程式に代入すると、近軸波動方程式が導かれます。 ここで、 は 直交座標系における 横方向ラプラス演算子です。近軸波動方程式の導出では、次の近似が使用されます。 $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0}$$$${\displaystyle \nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$$

• ${\displaystyle \theta }$は小さい ( ) ので、 を含む項は無視されます。${\displaystyle \theta \ll 1}$${\displaystyle \theta ^{2}}$
• およびを含む項は(または)を含む項よりもはるかに小さいため、これら 2 つの項は無視されます。${\displaystyle 2k_{x}}$${\displaystyle 2k_{y}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k_{z}}$
• ${\textstyle \left|{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )\right|\ll \left|k{\frac {\partial }{\partial z}}A(\mathbf {r} )\right|}$したがって、 の項は無視されます。これは、波の振幅またはエンベロープが、波の主周期と比較してゆっくり変化することを意味する、ゆっくり変化するエンベロープ近似です。${\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )}$${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$${\textstyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$

上記の式（2.1）は、遠方場（定常位相法を使用）で漸近的に評価することができ、遠方点における場は、ベクトル に平行に伝播し、その平面が で位相面と接する波動ベクトルを持つ平面波成分のみによるものであることが示される。このプロセスの数学的詳細は、Scott [1998] または Scott [1990] に記載されている。上記の式に定常位相積分を実行すると、次の式が得られる。^[1]${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (x,y,z)}$

これは、における場が の方向のスペクトル成分に正比例することを明確に示しており、ここで、 ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (x,y,z)}$

• ${\textstyle x=r~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle y=r~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle z=r~\cos \theta ~}$

そして

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

言い換えると、平面場分布の放射パターンは、そのソース分布の FT (フーリエ変換) です (ホイヘンス-フレネルの原理を参照してください。この原理では、同じ方程式がグリーン関数アプローチを使用して展開されています)。これは平面波ではないことに注意してください。半径依存性は、大きさと位相の両方において球面波であり、その局所的な振幅は、その遠方場角度でのソース平面分布の FT です。平面波スペクトルは、そのスペクトル内の平面波成分の重ね合わせとしてのフィールドが、遠距離で平面波のように動作するということを必ずしも意味しません。 ${\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}}$

上記の式 ( 2.2 ) は、遠方場における空間帯域幅(一方) と角度帯域幅(他方)の関係を理解する上で重要です。「遠方場」という用語は通常、位相中心が明確に定義された収束または発散する球面波について話していることを意味することに注意してください。遠方場における空間帯域幅と角度帯域幅の関係は、薄レンズのローパス フィルタリング特性を理解する上で不可欠です。遠方場領域を定義する条件については、セクション 6.1.3 を参照してください。

角度帯域幅の概念が理解されると、光学科学者は空間領域とスペクトル領域の間を「行き来」して、通常は空間領域または光線光学の考慮だけでは容易に得られない洞察をすばやく得ることができます。たとえば、最初のレンズのエッジ角度を超えるソース帯域幅 (このエッジ角度によって光学システムの帯域幅が設定されます) は、処理対象システムによってキャプチャされません。

余談ですが、電磁気学者は、定常位相積分を伴わない遠方領域の電界を計算する別の方法を考案しました。彼らは、通常Mで表され、次のように定義される 「架空磁流」という概念を考案しました 。この方程式では、z 方向の単位ベクトルが遠方場計算が行われる半空間を指していると想定されています。これらの等価磁流は、等価原理を使用して取得されます。この等価原理により、無限平面インターフェイスの場合、任意の電流Jを「イメージ化」することができ、架空磁流は開口電界の 2 倍から取得されます (Scott [1998] を参照)。次に、電流によって放射される磁界の方程式に類似した方程式を使用して、磁流から放射電界が計算されます。このようにして、開口電界に関する放射電界のベクトル方程式が得られ、導出には定常位相の考え方を使用する必要はありません。 $${\displaystyle \mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{\text{aper}}\times \mathbf {\hat {z}} .}$$

平面波スペクトルの概念は、フーリエ光学の基本的な基礎です。平面波スペクトルは均一な平面波の連続スペクトルであり、遠方場位相面上のすべての接点に対してスペクトル内に 1 つの平面波成分があります。その平面波成分の振幅は、その接点における光場の振幅になります。これもまた、遠方場にのみ当てはまります。遠方場は、光源の最大線形範囲、波長を超える範囲として大まかに定義されます (Scott [1998])。平面波スペクトルは、特定の種類の周期格子に対して離散的であると見なされることがよくありますが、実際には、格子からのスペクトルも連続的です。これは、真の線スペクトルを生成するために必要な無限の範囲を持つ物理的なデバイスは存在しないためです。 ${\displaystyle 2D^{2}/\lambda }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda }$

電気信号と同様に、光学における帯域幅は、画像の詳細さの尺度です。詳細が細かいほど、それを表現するために必要な帯域幅が大きくなります。DC (直流) 電気信号は一定で振動しません。光軸 ( ) に平行に伝播する平面波は、どのx - y平面でも一定の値を持ち、したがって電気信号の (一定の) DC 成分に類似しています。電気信号の帯域幅は、信号のスペクトル内に存在する最高周波数と最低周波数の差に関連し、実際には、帯域幅を数値で表すためにスペクトルの高周波エッジと低周波エッジをカットオフする基準があります。光学システムの場合、帯域幅は空間周波数コンテンツ (空間帯域幅) にも関連しますが、二次的な意味もあります。帯域幅は、対応する平面波が光軸からどれだけ傾いているかを測定するものでもあり、このタイプの帯域幅は、角度帯域幅とも呼ばれることがよくあります。電気回路で短いパルスを生成するにはより広い周波数帯域幅が必要であり、光学システムで鋭いスポットを生成するにはより広い角度 (または空間周波数) 帯域幅が必要です (点広がり関数に関する説明を参照)。 ${\displaystyle z}$

平面波スペクトルは、直交座標における同次電磁波方程式の固有関数または「自然モード」解として自然に生じます（電磁放射も参照してください。これは、ソースのない媒体におけるマクスウェル方程式から波動方程式を導きます。または、スコット[1998]）。周波数領域では、 の時間規則を仮定すると、同次電磁波方程式はヘルムホルツ方程式と呼ばれるものになり、次の形式になります。 ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

ここで、は媒体の 波数です。${\displaystyle u=x,y,z}$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

微分方程式の場合、行列方程式の場合と同様に、方程式の右辺がゼロのときはいつでも (たとえば、強制関数、強制ベクトル、または力のソースがゼロの場合)、方程式は、応用数学では固有関数解、物理学では「自然モード」解、電気回路理論では「ゼロ入力応答」と呼ばれる、非自明な解を許容する場合があります。これは、幅広い物理分野にまたがる概念です。共鳴自然モードの一般的な物理的例としては、弦楽器 (1D)、打楽器 (2D)、または旧タコマナローズ橋(3D) の共鳴振動モードが挙げられます。伝播する自然モードの例には、導波路モード、光ファイバーモード、ソリトン、およびブロッホ波が含まれます。無限均質媒体は、考慮中の座標系に応じて、ヘルムホルツ方程式の矩形、円形、および球面調和関数解を許容します。この記事で学習する伝播する平面波は、おそらくあらゆるタイプの媒体で見られる伝播する波の中で最も単純なタイプです。

上記のヘルムホルツ方程式（ 2.3）は、 正方行列Aの固有値/固有ベクトル の通常の方程式と驚くほど類似している。 $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)f=0,}$$$${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {x} =0,}$$

特に、スカラー ラプラシアン と行列Aは両方とも、それぞれの関数 / ベクトル空間上の線型演算子であるためです。(この行列方程式のマイナス記号は、事実上、重要ではありません。ただし、ヘルムホルツ方程式のプラス記号は重要です。) ヘルムホルツ方程式 / 行列方程式の固有関数解 / 固有ベクトル解は、多くの場合、検討中の関数空間 / ベクトル空間にまたがる(つまり、基底セットを形成する) 固有関数 / 固有ベクトルの直交セットを生成することに留意する価値があるかもしれません。 関心のある読者は、ルジャンドル多項式、チェビシェフ多項式、エルミート多項式などのさまざまな種類の直交固有関数を生成する他の関数線型演算子 (つまり、ヘルムホルツ方程式とは異なる方程式) を調べることができます。 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Aが正方行列である行列方程式の場合、行列の行列式をゼロに設定する、つまり行列に逆行列がない場所を見つけることで、固有値を求めることができます。(このような正方行列は特異行列と呼ばれます。) 有限行列には有限個の固有値/固有ベクトルしかありませんが、線形演算子には、(限られた領域では)可算無限個の固有値/固有関数、または、境界のない領域のように、可算無限 (連続) の解のスペクトルが あります。${\displaystyle \lambda }$

周期的体積内のバンドの計算などの特定の物理学のアプリケーションでは、行列の要素が周波数と波数の非常に複雑な関数である場合が多く、ほとんどの周波数と波数の組み合わせに対して行列が非特異（つまり、逆行列を持つ）になりますが、特定の特定の組み合わせに対しては特異（つまり、逆行列を持たない）になることもあります。どの周波数と波数の組み合わせが行列の行列式をゼロにするかを調べることで、媒体の伝搬特性を決定できます。周波数と波数の間のこの種の関係は分散関係と呼ばれ、一部の物理システムではさまざまな種類の分散関係が認められます。電磁気学からの例としては、通常の導波管が挙げられます。導波管には多数の分散関係が認められ、それぞれが導波管の固有の伝搬モードに関連付けられます。導波管の各伝搬モードは、導波管内のマクスウェル方程式の固有関数解（または固有モード解）と呼ばれます。自由空間は、固有モード（自然モード）解（一般的には平面波として知られています）も許容しますが、任意の周波数に対して、自由空間は連続モード スペクトルを許容するのに対し、導波管は離散モード スペクトルを持つという違いがあります。この場合、分散関係はセクション 1.3 のように線形です。

均質真空空間などの与えられたものに対して、分離条件は、 3次元配置空間におけるユークリッド計量 の式と同一であり、3次元「k空間」におけるkベクトルの概念を示唆する。これは、（平面波の伝播に対して）直交座標系では次のように定義される。 球面座標系 では次のように 定義される。${\displaystyle k}$${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$$$${\displaystyle \mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

次のセクションでは、これらの球面座標系の関係を使用します。

k 空間の概念は、工学や物理学の多くの分野、特に結晶学や半導体材料のバンド理論などの周期的体積の研究において中心的な役割を果たしています。

スペクトル解析方程式（関数のスペクトルを計算する）： ${\displaystyle u(x,y)}$$${\displaystyle U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$$

合成方程式（スペクトルから関数を再構築する）： ${\displaystyle u(x,y)}$$${\displaystyle u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$$

の正規化係数は、角周波数 (ラジアン) が使用されるときは常に存在しますが、通常の周波数 (サイクル) が使用されるときは存在しません。 ${\displaystyle {1}/{(2\pi )^{2}}}$

大まかに言えば、光学系は 3 つの部分、つまり入力平面、出力平面、およびこれらの平面の間にあり、入力平面で形成された画像fを出力平面で形成された別の画像gに変換するコンポーネントのセットから構成されます。光学系の出力画像gは、入力画像と光学系の光インパルス応答関数 h (焦点を合わせた光学系の場合は点像分布関数 ) を畳み込むことで、入力画像 f に関連付けられます。インパルス応答関数は、光学系の入出力動作を一意に定義します。慣例により、システムの光軸はz軸とされます。その結果、2 つの画像とインパルス応答関数はすべて、横方向の座標xとy の関数になります。 $${\displaystyle g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)}$$

光学画像システムのインパルス応答は、システムへのインパルス入力である理想的な数学的光場点光源が入力面（通常は軸上、つまり光軸上）に配置されたときに生成される出力面フィールドです。実際には、正確なインパルス応答を決定するために理想的な点光源を持つ必要はありません。これは、検討中の光学システムの帯域幅外にある光源帯域幅は、いずれにしても重要ではないためです（光学システムによってキャプチャすることさえできないため）。したがって、インパルス応答を決定する際に必要ではありません。光源には、少なくとも光学システムと同じ（角度）帯域幅があれば十分です。

光学システムは、通常、2 つの異なるカテゴリのいずれかに分類されます。1 つ目は、通常の焦点を合わせた光学画像システム (カメラなど) で、入力面はオブジェクト プレーン、出力面はイメージ プレーンと呼ばれます。イメージ プレーン (画像システムの出力プレーン) 内の光学フィールドは、オブジェクト プレーン (画像システムの入力プレーン) 内の光学フィールドの高品質な再現であることが望まれます。光学画像システムのインパルス応答関数は、入力プレーン内のインパルス (理想的な点光源) の位置に対応する出力プレーン内の位置 (または線形にスケールされた位置) で、2D デルタ関数を近似することが望まれます。画像システムの実際のインパルス応答関数は、通常、半径が使用する光の波長のオーダーであるエアリー関数に似ています。この場合のインパルス応答関数は、オブジェクト プレーン内の数学的な光の点がイメージ プレーン内のエアリー関数に広がっているため、 通常、点拡散関数と呼ばれます。

2 番目のタイプは、入力平面光フィールド内の重要な特徴を特定して分離する光学画像処理システムです。この場合、このようなシステムのインパルス応答は、入力平面フィールドで検索されている特徴の正確なレプリカ (画像) であることが望ましく、これにより、入力平面フィールドに対するインパルス応答 (目的の特徴の画像) の畳み込みによって、出力平面内の特徴の場所に明るいスポットが生成されます。この後者のタイプの光学画像処理システムが、このセクションの主題です。セクション 6.2 では、このセクションで説明する光学画像処理操作の 1 つのハードウェア実装を示します。

入力平面は、 z = 0となるすべての点の軌跡として定義されます。したがって、入力画像fは $${\displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}}$$

出力平面は、 z = dとなるすべての点の軌跡として定義されます。したがって、出力画像gは $${\displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}}$$

$${\displaystyle g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}$$ つまり、

注意深い読者は、上記の積分は暗黙的に、インパルス応答が入力面における光のインパルスの位置 (x',y') の関数ではないと仮定していることに気付くでしょう (そうでない場合、このタイプの畳み込みは不可能です)。この特性はシフト不変性として知られています(Scott [1998])。光学システムで完全にシフト不変性があるものは存在しません。理想的な数学的な光の点が光軸から離れてスキャンされると、収差によって最終的にインパルス応答が劣化します (焦点を合わせた画像システムではコマとして知られています)。ただし、高品質の光学システムは、入力面の特定の領域で「十分にシフト不変性がある」ことが多く、インパルス応答を入力面と出力面の座標の差のみの関数と見なすことができるため、上記の式を問題なく使用できます。

また、この式は単位倍率を仮定している。倍率が存在する場合、式（4.1）は

これは基本的に、インパルス応答関数h _M ()をx′からx = Mx′に変換するものです。式( 4.2 )では、h _Mは同様の拡大されていないシステムのインパルス応答関数hの拡大バージョンとなり、 h _M ( x , y ) = h ( x / M , y / M )となります。

2 次元への拡張は、因果関係が時間領域には存在するが、空間領域には存在しないという違いを除けば、自明です。因果関係とは、電気システムのインパルス応答h ( t − t′ ) は、時刻t'に適用されたインパルスによって、 t − t′ < 0となるすべての時刻tで必然的にゼロになることを意味します。

システム応答の畳み込み表現を得るには、ディラックのデルタ関数のふるい分け特性を使用して、入力信号を一連のインパルス関数の重み付き重ね合わせとして表現する必要があります。 $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'}$$

次に、検討中のシステムが線形であると仮定します。つまり、 2 つの異なる入力 (場合によっては異なる 2 つの時刻) によるシステムの出力は、個別に導入された 2 つの入力に対するシステムの個々の出力の合計です。したがって、光学システムには、非線形材料や能動デバイス (非常に線形な能動デバイスを除く) は含まれません。単一のデルタ関数入力に対するシステムの出力は、システムのインパルス応答h ( t − t′ ) として定義されます。また、線形性の仮定 (つまり、パルス列入力に対するシステムの出力は、各個別のパルスによる出力の合計である) により、一般的な入力関数f ( t ) によって次の出力が生成されると言えます。 ここで、h ( t − t′ ) は、時刻t'に適用されたデルタ関数入力δ ( t − t′ ) に対する線形システムの (インパルス) 応答です。これが上記の畳み込み方程式の由来です。畳み込み方程式が便利なのは、デルタ関数入力に対するシステムの応答を見つけ、次に上記の畳み込みを実行して任意の入力に対する応答を見つける方が、任意の入力に対する応答を直接見つけるよりもはるかに簡単である場合が多いためです。また、インパルス応答 (時間領域または周波数領域のいずれか) により、通常、システムの関連する性能指数が明らかになります。ほとんどのレンズの場合、点広がり関数 (PSF) は評価目的の非常に一般的な性能指数です。 $${\displaystyle g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'}$$

同じ論理がホイヘンス・フレネル原理、またはストラットン・チュー定式化に関連して使用され、そこでは「インパルス応答」はシステムのグリーン関数と呼ばれます。したがって、線形光学システムの空間領域の動作は、この点でホイヘンス・フレネル原理に類似しています。

上記の最後の式をフーリエ変換すると次のようになります。 ここで $${\displaystyle G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )}$$

• ${\displaystyle G(\omega )}$出力信号のスペクトルである
• ${\displaystyle H(\omega )}$システムの伝達関数である
• ${\displaystyle F(\omega )}$入力信号のスペクトルである

同様に、式（4.1）をフーリエ変換すると次の式が得られる。

$${\displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$$

システム伝達関数。光学イメージングでは、この関数は光学伝達関数(Goodman)としてよく知られています。 ${\displaystyle H(\omega )}$

もう一度、アッベの正弦条件に関する議論から、この式は単位倍率を前提としていることに留意してください。

この式は、フーリエ変換が、横波数が である平面波の係数に関連付けられたときに、その真の意味を持ちます。したがって、入力平面平面波スペクトルは、システム伝達関数の乗法作用によって出力平面平面波スペクトルに変換されます。この理解の段階で、平面波スペクトルに関するこれまでのバックグラウンドは、フーリエ光学システムの概念化にとって非常に貴重なものになります。 ${\displaystyle ~G(k_{x},k_{y})}$${\displaystyle ~(k_{x},k_{y})}$

フーリエ光学は光情報処理の分野で使用されており、その中心となるのは古典的な 4F プロセッサです。

レンズのフーリエ変換特性は、空間フィルタリング、光相関、コンピューター生成ホログラムなどの光信号処理におけるさまざまな用途に利用できます。

フーリエ光学理論は、干渉法、光ピンセット、原子トラップ、量子コンピューティングで使用されています。フーリエ光学の概念は、空間周波数平面における光強度の位相を再構築するために使用されます (適応加法アルゴリズムを参照)。

透過性物体がレンズの前の焦点距離に置かれると、そのフーリエ変換はレンズの後ろの焦点距離に形成されます。右の図を検討してください（クリックして拡大）

この図では、平面波が左から入射すると仮定しています。前方焦点面（すなわち、平面 1）の透過率関数は、式（2.1 ）の左側（ z = 0に指定）のように、入射平面波の大きさと位相を空間的に変調し、その際に、式（2.1 ）の右側（ z > 0 の場合）のように、透過率関数の FT に対応する平面波のスペクトルを生成します。さまざまな平面波成分は、レンズの光軸（すなわち、水平軸）に対して異なる傾斜角で伝播します。透明度の特徴が細かくなるほど、平面波スペクトルの角度帯域幅は広くなります。光軸に対して角度θで伝播するそのような平面波成分の 1 つを考えてみましょう。θは小さい（近軸近似） と仮定 し 、 および $${\displaystyle {\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta }$$$${\displaystyle {\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$

図では、前方焦点面からレンズ面まで水平に移動する 平面波の位相は 、レンズから後方焦点面のスポットまでの 球面波の位相 は、次のようになります。2 つの経路長の合計は、f (1 + θ ² /2 + 1 − θ ² /2) = 2 fです。つまり、近軸平面波の場合、傾斜角θに依存しない一定値です。前方焦点面のフィールドの各近軸平面波成分は、後方焦点面の点像分布関数スポットとして表示され、強度と位相は、前方焦点面の元の平面波成分の強度と位相に等しくなります。言い換えると、後方焦点面のフィールドは、前方焦点面のフィールドの フーリエ変換です。$${\displaystyle e^{ikf\cos \theta }}$$$${\displaystyle e^{ikf/\cos \theta }}$$

すべての FT コンポーネントは、同時に、つまり並列に、光速で計算されます。たとえば、光は 1 ナノ秒あたり約 1 フィート (0.30 m) の速度で移動するため、レンズの焦点距離が 1 フィート (0.30 m) の場合、2D FT 全体を約 2 ナノ秒 (2 × 10 ⁻⁹秒) で計算できます。焦点距離が 1 インチの場合、時間は 200 ピコ秒未満です。このような数値に匹敵する電子コンピュータは存在しません。おそらく、スーパーコンピュータが実際に光学よりも高速であることが証明されるかもしれませんが、それはありそうにありません。ただし、その速度は、個別には光学よりも遅い多数のコンピュータを組み合わせることによって得られます。光学 FT の欠点は、導出が示すように、FT 関係が近軸平面波にのみ当てはまるため、この FT「コンピュータ」は本質的に帯域制限されていることです。一方、可視光の波長は、画像内の最小の可視特徴寸法に対しても非常に小さいため、つまり、 (画像の空間帯域幅内の すべてのk _x、k _yに対して、 k _{z が}kにほぼ等しくなるように)、近軸近似は実際にはそれほど制限的ではありません。そして、もちろん、これはデジタルではなくアナログのコンピュータなので、精度には限界があります。また、位相の抽出は難しい場合があり、多くの場合、干渉計で推測されます。 $${\displaystyle k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$$

光学処理は、特にパターン認識に関連して、大量の 2D データの迅速な処理が必要なリアルタイム アプリケーションで特に役立ちます。

式( 2.1 )の左側に示されている空間的に変調された電界は、通常、x、y平面内の有限の(通常は長方形の)開口部のみを占めます。長方形の開口部関数は、2Dの正方形上部のフィルタのように動作し、この2D長方形の外側では電界がゼロであると想定されます。式( 2.1 )の右側のFT係数を計算するための空間領域積分は、この開口部の境界で切り捨てられます。このステップの切り捨てにより、式( 2.1 ) の右辺の平面波係数の理論計算と測定値の両方に不正確さが生じる可能性があります。

関数が 1 つの FT ドメインで不連続に切り捨てられると、他の FT ドメインで広がりと波紋が発生します。光学における完璧な例は、点像分布関数に関連しています。これは、2 次レンズ (円形の開口部) の軸上平面波照明の場合、エアリー関数J ₁ ( x )/ xです。文字通り、点光源は「広げられ」(波紋が追加され)、エアリー点像分布関数を形成します (レンズの有限開口部による平面波スペクトルの切り捨ての結果として)。このエラーの原因はギブス現象として知られており、すべての重要なコンテンツが透明部分の中心近くにあるようにするだけで軽減できます。または、フレーム境界でフィールドをスムーズにゼロにテーパするウィンドウ関数を使用することで軽減できます。畳み込み定理により、任意の透明度関数の FT (開口関数で乗算 (または切り捨て)) は、開口関数の FT に対して畳み込まれた切り捨てられていない透明度関数の FT に等しくなります。この場合、開口関数はスペクトル領域における「グリーン関数」または「インパルス応答関数」の一種になります。したがって、円形レンズのイメージは、エアリー関数に対して畳み込まれた物体面関数に等しくなります (円形開口関数の FT はJ ₁ ( x )/ xであり、長方形開口関数の FT は sinc 関数の積 sin x / xです)。

入力透明体はx - y平面 (平面 1)の有限部分のみを占めますが、平面波スペクトルを構成する均一な平面波はx - y平面全体 を占めます。そのため、(この目的のためには) 縦方向の平面波位相 ( z方向、平面 1 から平面 2 へ) のみを考慮し、 z方向に横方向の位相は考慮しません。もちろん、透明体の有限の開口部から発せられる平面波が水平から大きく傾いている場合、どういうわけかレンズを完全に「逃す」と考えたくなりますが、均一な平面波は横方向 ( x - y ) 平面の​​すべての方向に無限に広がるため、平面波成分がレンズを逃すことはありません。

この問題は、おそらくフーリエ解析の最も大きな難しさ、つまり有限のサポート（つまり、自身の有限の開口部）上で定義された入力平面関数が、無限のサポートを持つ他の関数（正弦波）で近似される（つまり、無限のx - y平面全体で定義される）という問題を提起します。これは信じられないほど計算効率が悪く、ウェーブレットが考案された主な理由でもあります。ウェーブレットとは、関数（有限の間隔または領域で定義）を、同じく有限の間隔または領域で定義される振動関数で表すためのものです。したがって、画像全体の周波数コンテンツを一度に取得する代わりに（画像がゼロ値になるx - y平面の残りの部分全体の周波数コンテンツとともに）、通常ははるかに単純な画像のさまざまな部分の周波数コンテンツが得られます。残念ながら、 x - y平面のウェーブレットは、フーリエ正弦波 ( x - y平面) が 3 次元の平面波関数に対応するのと同様に、既知のタイプの伝播波動関数に対応していません。ただし、ほとんどのウェーブレットの FT はよく知られており、何らかの有用なタイプの伝播場と同等であることが示される可能性があります。

一方、sinc 関数とAiry 関数は、それぞれ長方形と円形の開口部の点像分布関数であるだけでなく、補間/サンプリング理論[Scott 1990]の機能分解によく使用される基数関数でもありますが、収束または発散する球面波に対応しているため、オブジェクト プレーン関数のまったく新しい機能分解として実装される可能性があり、その結果、フーリエ光学に似た別の観点につながります。これは、回折効果が含まれている点を除けば、従来の光線光学と基本的に同じです。この場合、各点像分布関数は、ファイバー上のソリトンが「滑らかなパルス」であるのと同じように、一種の「滑らかなピクセル」になります。

おそらく、この「点像分布関数」の観点におけるレンズの性能指数は、レンズが物体面のエアリー関数を画像面のエアリー関数に、光軸からの半径距離の関数として、または物体面のエアリー関数のサイズの関数として、どれだけうまく変換できるかを問うことになるでしょう。これは点像分布関数に似ていますが、ここでは、これを入力から出力への平面伝達関数 (MTF など) の一種として見ており、完全な点に対する絶対的な用語として見ているわけではありません。同様に、伝播するガウス ビームのウェストに対応するガウス ウェーブレットは、物体面フィールドのさらに別の機能分解にも使用できる可能性があります。

上の図はレンズのフーリエ変換特性を示しており、レンズは物体面の透明体の近視野内にあるため、レンズにおける物体面の視野は平面波の重ね合わせとみなすことができ、各平面波は z 軸に対してある角度で伝播します。この点で、遠視野基準は次のように大まかに定義されます: 範囲 = 2 D ² /λ。ここで、Dは光源の最大線形範囲、λ は波長です (Scott [1998])。透明体のD はcm (10 ⁻² m)のオーダーで、光の波長は 10 ⁻⁶ mのオーダーであるため、透明体全体のD /λ は 10 ⁴のオーダーになります。これにD を掛けると 10 ² mのオーダー、つまり数百メートルになります。一方、PSF スポットからの遠視野距離は λ のオーダーです。これは、スポットの D が λ のオーダーであるため、D /λ は 1 のオーダーになり、これにD (つまり、λ) を掛けると λ (10 ⁻⁶ m)のオーダーになるからです。

レンズはPSFスポットの遠方場にあるため、スポットからレンズに入射する場は、式(2.1)のように平面波スペクトルではなく、式(2.2)のように球面波とみなすことができます。一方、レンズは入力面の透明度全体の近方場にあるため、式( 2.1 )(完全な平面波スペクトル)は、より大きく拡張された光源からレンズに入射する場を正確に表します。

レンズは、基本的にローパス平面波フィルタです (ローパス フィルタを参照)。レンズの物体面の軸上にある「小さな」光源を考えてみましょう。光源は十分に小さいため、遠方場基準により、レンズは「小さな」光源の遠方場にあると想定します。すると、小さな光源から放射される場は球面波となり、式 ( 2.2 ) に示すように、光源分布の FT によって変調されます。次に、レンズは、物体面から像面へ、放射された球面波のうちレンズのエッジ角内にある部分のみを通過させます。この遠方場の場合、放射された球面波の切り捨ては、小さな光源の平面波スペクトルの切り捨てに相当します。そのため、レンズのエッジ角を超えるこの遠方場球面波の平面波成分は、レンズによって捕捉されず、像面へ転送されません。注: このロジックは、前述の2 D ² /λ 基準に従って、レンズがソースの遠距離場領域内にあるような小さなソースに対してのみ有効です。オブジェクト プレーンの透明度が小さなソースの合計として想像される場合 ( Whittaker-Shannon 補間式、Scott [1990] のように)、それぞれのスペクトルがこのように切り捨てられると、オブジェクト プレーンの透明度全体のすべてのポイントがこのロー パス フィルタリングの同じ効果を受けます。

高 (空間) 周波数コンテンツの損失は、ぼやけや鮮明度の損失を引き起こします (点像分布関数に関する説明を参照)。帯域幅の切り捨てにより、物体面の (架空の、数学的な、理想的な) 点光源が画像面でぼやけ (または拡散) るため、「点像分布関数」という用語が生まれます。帯域幅が拡大または縮小されると、通常はそれに応じて画像サイズも縮小または拡大され、ハイゼンベルクの原理 (Scott [1998] およびアッベの正弦条件) により、空間帯域幅積が一定に保たれます。

周波数領域で動作する場合、e ^jωt (エンジニアリング) 時間依存性が想定され、コヒーレント (レーザー) 光が暗黙的に想定されます。これは周波数領域でデルタ関数依存性を持ちます。異なる (デルタ関数) 周波数の光は、平面波スペクトルを異なる角度で「散布」し、その結果、これらの平面波成分は出力面の異なる場所に焦点を合わせます。レンズのフーリエ変換特性は、特別な目的を達成するために異なる周波数の光を組み合わせる特別な理由がない限り、コヒーレント光で最もよく機能します。

セクション 5 で紹介した光学伝達関数の理論は、いくぶん抽象的です。しかし、2 つの同一レンズと透明プレートだけを使用してシステム伝達関数H をハードウェアで実装する、非常によく知られたデバイスが 1 つあります。それが 4F 相関器です。このデバイスの重要な用途の 1 つは、相互相関と畳み込みの数学的演算を実装することですが、このデバイス (焦点距離の 4 倍の長さ) は、実際には、その名前が示す範囲をはるかに超えたさまざまな画像処理演算に使用されます。典型的な 4F 相関器の図を下の図に示します (クリックして拡大)。このデバイスは、電界の平面波スペクトル表現 (セクション 1.5) と 2 次レンズのフーリエ変換特性 (セクション 6.1) を組み合わせて、セクション 5 で説明した光学画像処理演算を生成することで簡単に理解できます。

4F 相関器は、フーリエ変換理論の畳み込み定理に基づいています。この定理では、空間 ( x、y ) 領域での畳み込みは、空間周波数 ( k _x、k _y ) 領域 (別名:スペクトル領域) での直接乗算と同等であるとされています。ここでも、平面波が左から入射すると想定され、1 つの 2D 関数f ( x、y ) を含む透明シートが、相関器の入力面 (最初のレンズの 1 つの焦点距離前) に配置されます。透明シートは、式 ( 2.1 ) の左側のように、入射平面波の大きさと位相を空間的に変調し、その際に、式 ( 2.1 ) の右側のように、透過率関数の FT に対応する平面波のスペクトルを生成します。このスペクトルは、図に示すように、最初のレンズの 1 つの焦点距離後ろで「画像」として形成されます。 2 番目の関数g ( x , y ) の FT を含む透過マスクは、この同じ平面で、最初のレンズの 1 焦点距離後ろに配置され、マスクを通過する透過が積F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ) に等しくなります。この積は、2 番目のレンズ (1 つの焦点距離前) の「入力平面」にあるため、この積の FT (つまり、f ( x , y ) とg ( x , y )の畳み込み) は、2 番目のレンズの後焦点面で形成されます。

理想的な数学的な点光源が第 1 レンズの入力面の軸上に配置されると、第 1 レンズの出力面には均一で平行なフィールドが生成されます。この均一で平行なフィールドに FT 平面マスクを掛け、第 2 レンズでフーリエ変換すると、出力平面フィールド (この場合は相関器のインパルス応答) は相関関数g ( x , y ) になります。実際のアプリケーションでは、g ( x , y ) は、入力平面フィールド内で識別および配置する必要のある何らかの特徴になります (Scott [1998] を参照)。軍事用途では、この特徴は、より複雑なシーン内で迅速に識別する必要がある戦車、船、または飛行機である可能性があります。

4F 相関器は、上記のセクション 5 で触れた光学機器の「システム」の側面を説明するのに優れたデバイスです。FT 平面マスク関数G ( k _x , k _{y ) は相関器のシステム伝達関数で、一般的には}H ( k _x , k _y )と表記されます。これは相関器のインパルス応答関数h ( x , y ) の FT であり、相関関数g ( x , y ) に相当します。また、前述のように、相関器のインパルス応答は、入力画像で見つけようとしている特徴の単なる画像です。4F 相関器では、システム伝達関数H ( k _x , k _y ) が入力関数のスペクトルF ( k _x , k _y ) に直接乗算され、出力関数のスペクトルが生成されます。これが、電気信号処理システムが 1D の時間信号に対して動作する方法です。

点像分布関数による画像のぼやけは光学情報処理において広く研究されており、ぼやけを軽減する方法の 1 つはウィーナー フィルタを採用することです。たとえば、 が非干渉性物体からの強度分布であり、が空間不変の点像分布関数と検出プロセスで導入されたノイズによってぼやけた画像の強度分布であると仮定します。 ${\displaystyle o(x,y)}$${\displaystyle i(x,y)}$${\displaystyle s(x,y)}$${\displaystyle n(x,y)}$$${\displaystyle i(x,y)=o(x,y)\otimes s(x,y)+n(x,y)}$$

画像復元の目的は、真の分布と推定値の間の平均二乗誤差を最小化する線形復元フィルタを見つけることである。つまり、 ${\displaystyle {\hat {o}}(x,y)}$$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}}$$

この最適化問題の解はウィーナーフィルタです。 ここで、、は点広がり関数、オブジェクト、ノイズのパワースペクトル密度です。 $${\displaystyle H\left(f_{X},f_{Y}\right)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\left|S\left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}},}$$${\displaystyle S\left(f_{X},f_{Y}\right)}$${\displaystyle \Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$${\displaystyle \Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$

ラグナルソンは、図に示すようなホログラフィック技術によってウィーナー復元フィルタを光学的に実現する方法を提案した。^{[2] [3]}このセットアップの機能の導出は以下のように説明される。

記録面として透明な物体があり、点源Sからインパルスが放射されていると仮定します。インパルスの波はレンズL 1 によって平行化され、インパルス応答に等しい分布を形成します。次に、分布は2 つの部分に分割されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

1. 上部は、まずレンズL 2 によってレンズL 3の前方焦点面内のスポットに焦点を合わせられ (つまり、フーリエ変換され) 、球面波を生成する仮想点光源が形成されます。次に、波はレンズL 3 によって平行化され、記録面の形状で傾斜した平面波が生成されます。${\displaystyle r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}}$
2. 下部はレンズL3によって直接コリメートされ、振幅分布が生成されます。${\displaystyle {\frac {1}{\lambda f}}H{\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)}}$

したがって、全体の強度分布は $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)&=\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}\\&=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}}$$

振幅分布と位相分布が次のように 表されると仮定する。${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)=S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right],}$$

強度は次のように書き直すことができます。 $${\displaystyle I\left(x_{2},y_{2}\right)=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

フィルム面の原点（）では、下側の経路を通過する波が集中しているため、下側から記録された波は上側から記録された波よりもはるかに強くなり、関係が成り立つことに注意してください。 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0} }$${\textstyle r_{0}\ll {\frac {1}{\lambda f}}}$

ラグナルソンの研究では、この方法は以下の仮説に基づいています。

1. 振幅透過率がに比例し、ぼやけたシステムの既知のインパルス応答を記録した透明体があると仮定します。${\displaystyle t}$${\displaystyle s(x,y)}$
2. フィルタによって導入される最大位相シフトはラジアンよりもはるかに小さいので、 となります。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle e^{j\phi }\approx 1+j\phi }$
3. 漂白後の透明度の位相シフトは、漂白前の銀密度に直線的に比例します。${\displaystyle D}$
4. 密度は露出の対数に比例する。$${\displaystyle I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}.}$$
5. 平均露出は変動露出よりもはるかに強い${\displaystyle {\bar {I}}}$$${\displaystyle \Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)={\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

これらの仮定により、次の関係が成立します。 $${\displaystyle \Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (\log I)\approx {\frac {\Delta I}{I}}.}$$

最後に、ウィーナー フィルターの形式で振幅透過率を取得します。 $${\displaystyle \Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^{2}}}.}$$

電場は、数学的にさまざまな方法で表現できます。ホイヘンス-フレネルやストラットン-チューの観点では、電場は点光源の重ね合わせとして表現され、各点光源はグリーン関数場を生じます。したがって、全体の場は、すべての個別のグリーン関数場の加重和になります。これは、ほとんどの人にとって電場を見る最も自然な方法のようです。これは、トーマス・ヤングが二重スリット実験に関する古典的な論文で行ったのと同じように、ほとんどの人が一度は分度器と紙を使って円を描いたことがあるからに違いありません。ただし、これが電場を表す唯一の方法というわけではありません。電場は、正弦波状に変化する平面波のスペクトルとして表すこともできます。さらに、フリッツ・ゼルニケは、単位円板上で定義されたゼルニケ多項式に基づくさらに別の機能分解を提案しました。3 次 (およびそれ以下) のゼルニケ多項式は、通常のレンズ収差に対応します。さらに別の機能分解は、ウィテカー・シャノン補間式やナイキスト・シャノン標本化定理のように、シンク関数とエアリー関数の観点から行うことができます。これらの機能分解はすべて、さまざまな状況で有用です。これらのさまざまな表現形式にアクセスできる光学科学者は、これらの素晴らしい場とその特性の性質について、より豊かな洞察を得ることができます。場を見るこれらのさまざまな方法は、矛盾したり対立したりするものではなく、むしろ、それらのつながりを調べることで、波動場の性質についてより深い洞察を得ることができることがよくあります。

ここで簡単に触れた固有関数展開と関数分解という 2 つの主題は、完全に独立しているわけではありません。特定の領域で定義された特定の線形演算子に対する固有関数展開は、多くの場合、その領域にまたがる可算無限の直交関数の集合を生成します。演算子とその領域の次元 (および形状と境界条件) に応じて、原理的にはさまざまなタイプの関数分解が可能です。

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