意味 関数 のハートレー変換f （ t ） {\displaystyle f(t)}
H （ ω ） = { H f } （ ω ） = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f （ t ） ケース （ ω t ） d t 、 {\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,}
どこω {\displaystyle \omega } 角周波数 となり、
ケース （ t ） = コス （ t ） + 罪 （ t ） = 2 罪 （ t + π / 4 ） = 2 コス （ t − π / 4 ） 、 {\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,}
これはコサイン・アンド・サイン（CAS）カーネル、またはハートレー カーネルです。工学用語で言えば、この変換は信号（関数）を時間領域からハートレースペクトル領域（周波数領域）に変換します。
ハートレー変換は、自身の逆変換（対合 ）であるという便利な性質を持っています。
f = { H { H f } } 。 {\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\,.}
この変換は、古典的なフーリエ変換とは異なる。 F （ ω ） ≡ F { f （ t ） } （ ω ） {\displaystyle \ F(\omega )\equiv {\mathcal {F}}\ {\bigl \{}\ f(t)\ {\bigr \}}(\omega )\ } exp （ − 私 ω t ） = コス （ ω t ） − 私 罪 （ ω t ） 、 {\displaystyle \ \exp \left({-\mathrm {i} \ \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \ \sin(\omega t)\ ,} 私 {\displaystyle \ \mathrm {i} \ } は虚数単位 です。
しかし、この2つの変換は密接に関連しており、両方とも同じものを使用すると仮定すると 1 2 π {\displaystyle \ {\tfrac {1}{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ }
F （ ω ） = 1 2 [ H （ ω ） + H （ − ω ） ] − 私 1 2 [ H （ ω ） − H （ − ω ） ] 。 {\displaystyle F(\omega )={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )+H(-\omega )\ {\bigr ]}-\mathrm {i} \ {\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )-H(-\omega )\ {\bigr ]}~.}
つまり、フーリエ変換の実部と虚部は、それぞれハートレー変換の偶数部と奇数部によって単純に与えられる。
逆に、実数値関数の場合 f （ t ） 、 {\displaystyle \ f(t)\ ,}
H { f } = R e { F f } − 私 m { F f } = R e { F [ f ⋅ （ 1 + 私 ） ] } 、 {\displaystyle \operatorname {\mathcal {H}} {\bigl \{}\ f\ {\bigr \}}=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}\ -\ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}={\mathcal {R_{e}}}{\Bigl \{}\ \operatorname {\mathcal {F}} \ {\bigl [}f\cdot \left(1+\mathrm {i} \right){\bigr ]}\ {\Bigr \}}\ ,}
どこ R e {\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\ } 私 m {\displaystyle \ {\mathcal {I_{m}}}\ }
物件 ハートレー変換は実線形演算子 であり、対称 （かつエルミート ）です。対称性と自己逆性から、この変換はユニタリ演算子 （実際には直交 ）であることがわかります。
畳み込みは [ 4 ] f （ x ） * g （ x ） = F （ ω ） G （ ω ） + F （ − ω ） G （ ω ） + F （ ω ） G （ − ω ） − F （ − ω ） G （ − ω ） 2 {\displaystyle f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}} F （ ω ） = { H f } （ ω ） {\displaystyle F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )} G （ ω ） = { H g } （ ω ） {\displaystyle G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )}
フーリエ変換と同様に、偶関数/奇関数のハートレー変換はそれぞれ偶関数/奇関数になります。
ケース ハートレーが1942年に関数にcas （ cosineとsineから）という名前を導入した ハートレーカーネル の性質は、三角法 から直接導かれ、位相シフトされた三角関数として定義されます[ 1 ] [ 5 ]。 ケース （ t ） = 2 罪 （ t + π / 4 ） = 罪 （ t ） + コス （ t ） {\displaystyle \operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)} 。
2 ケース （ 1 + b ） = ケース （ 1 ） ケース （ b ） + ケース （ − 1 ） ケース （ b ） + ケース （ 1 ） ケース （ − b ） − ケース （ − 1 ） ケース （ − b ） 。 {\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b)\,.}
さらに：
ケース （ 1 + b ） = コス （ 1 ） ケース （ b ） + 罪 （ 1 ） ケース （ − b ） = コス （ b ） ケース （ 1 ） + 罪 （ b ） ケース （ − 1 ） 、 {\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,,}
そしてその導関数は次のように与えられる。
ケース ′ （ 1 ） = d d 1 ケース （ 1 ） = コス （ 1 ） − 罪 （ 1 ） = ケース （ − 1 ） 。 {\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a)\,.}
さらに読む Olnejniczak, Kraig J.; Heydt, Gerald T. 編 (1994 年 3 月) 「ハートレー変換に関する特集号の概観」ハートレー変換に関する特集号 IEEE 論文集 第 82巻372–380 ページ2017 年 10 月 取得 
![{\displaystyle F(\omega )={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )+H(-\omega )\ {\bigr ]}-\mathrm {i} \ {\tfrac {1}{2}}{\bigl [}\ H(\omega )-H(-\omega )\ {\bigr ]}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a2c9a3cf33820eed72918f07deea9f4bb59ded)
![{\displaystyle \operatorname {\mathcal {H}} {\bigl \{}\ f\ {\bigr \}}=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}\ -\ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl \{}\ {\mathcal {F}}\ f\ {\bigr \}}={\mathcal {R_{e}}}{\Bigl \{}\ \operatorname {\mathcal {F}} \ {\bigl [}f\cdot \left(1+\mathrm {i} \right){\bigr ]}\ {\Bigr \}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8df15003b8e6fb3b35d4cb1028c2a53aec5b64)
