フラウンホーファー回折

ここでのフラウンホーファー条件の導出は、右側のボックスで説明されている幾何学に基づいています。^{[ 8 ]}回折波の経路r _2は、余弦定理を使用して、別の回折波の経路r ₁と2 つの回折点間の距離bで表すことができます。

$${\displaystyle {r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.}$$

これは、式を に関して 2 次までテイラー展開することで展開できます。${\displaystyle {\frac {b}{r_{1}}}}$、 $${\displaystyle {r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.}$$

経路r ₂とr ₁に沿って伝搬する波の位相差は、波数λ を光の波長として、次のようになる。 $${\displaystyle k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .}$$

もし$${\displaystyle k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi }$$それで${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1}$すると位相差は${\displaystyle kr_{2}-kr_{1}\おおよそ -kb\sin \theta }$この式から得られる幾何学的意味は、経路r ₂とr ₁がほぼ平行であるということです。回折観測面が存在する場合、光軸に平行な直線に対する角度が0 に近い回折波経路が存在するため、この近似条件はさらに次のように簡略化できます。${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$ここで、Lは光軸に沿った2つの平面間の距離です。回折面への入射波は実質的に平面波であるため、${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$ここで、Lは回折面と点波源間の距離であり、フラウンホーファー条件が満たされる。${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$ここで、Lは2つの距離のうち小さい方であり、一方は回折面と観測面との間の距離、もう一方は回折面と点波源との間の距離である。

遠方場では、開口部上の各点から観測点までの波動の伝搬経路はほぼ平行であり、正レンズ（集光レンズ）は平行光線をレンズに向かって焦点面上の点に集束させる（焦点面上の焦点位置は、光軸に対する平行光線の角度に依存する）。したがって、焦点距離が十分に長い正レンズ（焦点における波動の電場方向の差を無視できるほど長い）を開口部の後に配置すると、平行光線が焦点で交わるため、レンズは実質的に開口部のフラウンホーファー回折パターンを焦点面に形成する。^{[ 9 ]}

スリットの幅はWです。フラウンホーファー回折パターンは、強度と角度θの関係を示すグラフとともに画像に示されています。^{[ 10 ]}このパターンはθ = 0で最大強度を持ち、強度が徐々に減少する一連のピークがあります。回折光のほとんどは最初の最小値の間にあります。これら 2 つの最小値がなす角度αは次のように与えられます。^{[ 11 ]}

$$\displaystyle \alpha \approx \frac {2\lambda }{W}}}$$

したがって、開口部が小さいほど、回折帯がなす角度αは大きくなる。距離zにおける中心帯の大きさは次式で与えられる。

$${\displaystyle d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}}$$

例えば、幅0.5mmのスリット に波長0.6μmの光を照射し 、1000mmの距離から観察すると 、回折パターンの中央の帯の幅は2.4mmとなる 。

スリットと照明も無限に広がっているため、干渉縞はy方向に無限に広がっている。

W < λの場合、回折光の強度はゼロにならず、${\displaystyle D\ll \lambda }$回折波は円筒形である。

単スリット回折の半定量的解析

回折光において最初の最小値が得られる角度は、以下の推論によって求めることができます。入射光の波長に等しい距離CDで角度θで回折された光を考えます。スリットの幅は距離ACです。点Aから放出されθ方向に伝搬する波動成分は、スリットの中央にある点Bからの波動と逆位相であるため、角度θにおけるこれら2つの波動の正味の寄与はゼロになります。AとBのすぐ下の点についても同様であり、以下同様です。したがって、 θ方向に伝搬する全波動の振幅はゼロになります。次の式が得られます。

$$\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$$

中心の両側にある最初の極小値がなす角度は、上記のとおりです。

$${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$$

回折パターンの極大値を求めるための、そのような単純な議論は存在しない。

ホイヘンスの原理を用いた単スリット回折

振幅が均一で位相も同じ点源の連続アレイの遠方場の式を導出できます。右図に示すように、長さaのアレイが原点を中心として y 軸に平行であるとします。すると、微分場は次のようになります。 ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy}$$

どこ${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$。 しかし${\displaystyle r_{1}=ry\sin \theta }$そして統合する${\displaystyle -a/2}$に${\displaystyle a/2}$、

$${\displaystyle E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy}$$ どこ${\displaystyle A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}}$。

積分すると次のようになります $${\displaystyle E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)}$$

賃貸${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$ここで、配列の長さはラジアンで表され、${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$すると、^{[ 12 ]}$${\displaystyle E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$$

長方形の開口部によって生じる回折パターンの形状は、右の図（またはタブレット形式では上）に示されています。^{[ 13 ]}中央には半長方形のピークがあり、水平方向と垂直方向の縞模様が並んでいます。中央の縞模様の寸法は、単一スリットの場合と同じ関係でスリットの寸法と関連付けられており、回折像の大きい方の寸法がスリットの小さい方の寸法に対応します。縞模様の間隔もスリットの寸法に反比例します。

照明光がスリットの垂直方向全体を照射しない場合、垂直方向の縞の間隔は照明光の大きさによって決まります。下の二重スリット回折パターンを詳しく調べると、主スポットの上下に非常に細かい水平方向の回折縞があるだけでなく、より明瞭な水平方向の縞も存在することがわかります。

円形開口部によって生じる回折パターンを右の図に示す。^{[ 14 ]}これはエアリー回折パターンとして知られている。光の大部分が中央の円盤に集中していることがわかる。この円盤（エアリー円盤として知られる）がなす角度は、

$$\displaystyle \alpha \approx \frac {1.22\lambda }{W}}}$$ ここで、Wは開口部の直径である。

エアリーディスクは、近接した物体を識別する撮像システムの能力を制限する重要なパラメータとなり得る。

ガウス分布を持つ開口部、例えば透過率がガウス分布する写真スライドによって得られる回折パターンもガウス関数です。関数の形状は右側（タブレットの場合は上）にプロットされており、長方形または円形の開口部によって生成される回折パターンとは異なり、二次リングがないことがわかります。^{[ 15 ]}この技術はアポダイゼーションと呼ばれるプロセスで使用できます。開口部をガウスフィルターで覆うことで、二次リングのない回折パターンが得られます。

シングルモードレーザービームの出力プロファイルはガウス強度プロファイルを持つ可能性があり、回折方程式を使用すると、光源からどれだけ遠くまで伝搬してもそのプロファイルが維持されることを示すことができる。^{[ 16 ]}

二重スリット実験では、2 つのスリットに 1 つの光線が照射されます。スリットの幅が十分に小さい場合 (光の波長よりも小さい場合)、スリットは光を円筒波に回折します。これらの 2 つの円筒波面は重ね合わされ、合成波面の任意の点における振幅、したがって強度は、2 つの波面の大きさと位相の両方に依存します。^{[ 17 ]}これらの干渉縞は、ヤングの干渉縞としてよく知られています。

干渉縞の角度間隔は次のように表される。 $${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$$

スリットから距離zにおける干渉縞の間隔は^{[ 18 ]で与えられる。}$${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$$ ここで、dはスリット間の間隔である。

写真の干渉縞は 、ナトリウムランプ（波長＝589 nm）の黄色光を0.25 mm間隔のスリットで照射し、デジタルカメラ の像面に直接投影することで得られたものです。

二重スリット干渉縞は、厚紙に2つのスリットを切り込み、レーザーポインターで光を照射し、1mの距離で回折光を観察することで観察できます 。スリット間隔が0.5mm  、レーザーの波長が600nmの場合 、1mの距離で観察される干渉縞の間隔は 1.2mmになります 。

二重スリット干渉縞の半定量的説明

2つの波の位相差は、2つの波が伝わった距離の差によって決まる。

スリット間の間隔に比べて観測距離が大きい場合（遠視野）、図に示す幾何学的配置を用いて位相差を求めることができる。角度θで伝搬する2つの波の経路差は次式で与えられる。 $${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$$

2つの波が同位相、すなわち経路差が波長の整数倍に等しい場合、振幅の合計、したがって強度の合計は最大となり、位相が逆、すなわち経路差が半波長、1.5波長などに等しい場合、2つの波は打ち消し合い、強度の合計はゼロになります。この現象は干渉と呼ばれます。

干渉縞の最大値は、 $${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$ ここでλは光の 波長である。干渉縞の角度間隔は次式で与えられる。$${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$$

スリットと観察面との距離がzの場合、干渉縞の間隔はzθに等しく、上記と同じである。 $${\displaystyle w=z\lambda /d.}$$

ボーンとウルフの著書では、回折格子は「入射波に振幅または位相、あるいはその両方の周期的な変化を与えるあらゆる配置」と定義されている。

素子間隔がSの回折格子は、垂直に入射する光線を、次の式で与えられる角度θ _nで一連の光線に回折します。^{[ 19 ]}

$${\displaystyle ~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

これは回折格子方程式として知られています。回折格子の間隔が細かいほど、回折光の角度分離は大きくなります。

光が角度θ₀で入射する場合、回折格子の式は次のようになります _。$${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

繰り返しパターンの詳細な構造は、個々の回折光の形状と相対的な強度を決定する一方、回折格子の間隔は常に回折光の角度を決定する。

右側の画像は、レーザー光が回折格子によってn =0と±1の2つの光に回折された様子を示しています。1次光の角度は約20°です。レーザー光の波長を600nmと仮定すると 、回折格子の間隔は約1.8μmと推測できます 。

半定量的説明

単純な回折格子は、スクリーンに一連のスリットを設けたものです。各スリットから角度θで進む光が、隣接するスリットに対して1波長の光路差を持つ場合、これらの波はすべて加算され、回折光の強度が最大になるのは次の条件を満たすときです。

$${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

これは、上記で示した関係と同じです。