フレネル回折

積分を解く上での主な問題は、 rの表現です。まず、置換を導入することで代数を簡略化できます。 $${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.}$$

rの式に代入すると、次のようになる。 $${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.}$$

次に、二項展開により、 $${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }$$

私たちは表現することができます${\displaystyle r}$として $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

二項級数のすべての項を考慮すると、近似はありません。^{[ 5 ]}この式を積分内の指数関数の引数に代入してみましょう。フレネル近似の鍵は、第 3 項が非常に小さく無視できると仮定し、それ以降の高次の項も無視することです。これを可能にするには、ほぼゼロの項に対して指数関数の変動に寄与する必要があります。言い換えれば、複素指数関数の周期よりもはるかに小さくなければなりません。つまり、${\displaystyle 2\pi }$: $${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}$$

kを波長で 表すと、$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},}$$

次のような関係が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.}$$

両辺に${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3},}$我々は持っています $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},}$$

または、前の式を代入して${\displaystyle \rho ^{2},}$$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.}$$

この条件がx、x'、y、y'のすべての値に対して成り立つ場合、テイラー展開の第 3 項を無視できます。さらに、第 3 項が無視できるほど小さい場合、それより高次の項はさらに小さくなるため、それらも無視できます。

光波長に関わる用途では、波長λは通常、関連する物理的寸法よりも何桁も小さい。特に、 $${\displaystyle \lambda \ll z,}$$

そして $${\displaystyle \lambda \ll \rho .}$$

したがって、実際問題として、必要な不等式は、 $${\displaystyle \rho \ll z.}$$

そこで、最初の2項のみを用いて式を近似することができます。 $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.}$$

この方程式はフレネル近似であり、上記の不等式は近似の妥当性の条件である。

有効性の条件はかなり緩く、開口部が経路長に比べて小さい限り、すべての長さパラメータが同程度の値をとることができます。分母のrについては、さらに一歩進んで、最初の項のみで近似します。${\displaystyle r\approx z.}$これは特に、原点に近い小さな領域、すなわちxとyの値がzよりもはるかに小さい領域における場の挙動のみに関心がある場合に有効です。一般に、フレネル回折はフレネル数が約1の場合に有効です 。

フレネル回折の場合、点における電場は${\displaystyle (x,y,z)}$は次のように与えられる。 $${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.}$$

これはフレネル回折積分です。つまり、フレネル近似が有効な場合、伝搬場は開口部から発生しz軸方向に伝搬する球面波となります。この積分は球面波の振幅と位相を変調します。この式の解析解は、まれな場合にのみ可能です。回折源からかなり離れた距離でのみ有効な、さらに単純化されたケースについては、フラウンホーファー回折を参照してください。フラウンホーファー回折とは異なり、フレネル回折は波面の曲率を考慮して、干渉する波の相対位相を正しく計算します。

積分は、いくつかの数学的性質を用いて計算するために、他の方法で表現することもできます。関数を定義すると、 $${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},}$$

すると、積分は畳み込みを用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);}$$

言い換えれば、線形フィルタモデルを使用して伝搬を表現しているのです。そのため、この関数を次のように呼ぶことができます。${\displaystyle h(x,y,z)}$自由空間伝搬におけるインパルス応答。

もう一つの方法はフーリエ変換を用いることです。積分においてkを波長で表すと次のようになります。 $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

そして、横方向変位の各成分を展開します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}$$

すると、積分を2次元フーリエ変換を用いて表すことができます。次の定義を用いましょう。 $${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$$

ここで、pとqは空間周波数（波数）である。フレネル積分は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}}$$

つまり、まず伝播する場に複素指数関数を乗算し、その2次元フーリエ変換を計算し、${\displaystyle (p,q)}$と${\displaystyle \left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)}$そして、それを別の係数で乗算します。この式は、処理によって既知のフーリエ変換が得られる場合に他の式よりも優れており、フーリエ変換との関連性は、後述する線形正準変換においてより強固になります。

線形正準変換の観点から見ると、フレネル回折は時間周波数領域におけるせん断として捉えることができ、これはフーリエ変換が時間周波数領域における回転であることと一致する。