ゆっくり変化するエンベロープ近似

物理学において、緩やかに変化する包絡線近似^[1]（SVEA、緩やかに変化する非対称近似またはSVAAと呼ばれることもある）は、前進する波パルスの包絡線が周期または波長に比べて時間と空間で緩やかに変化するという仮定である。これには信号のスペクトルが狭帯域化される必要があるため、狭帯域近似とも呼ばれる。

緩やかに変化する包絡線近似がよく使用されるのは、結果として得られる方程式が多くの場合元の方程式よりも簡単に解けるため、最高次の偏導関数のすべてまたは一部の次数が減るためです。ただし、行われる仮定の妥当性は正当化される必要があります。

たとえば、次の電磁波方程式を考えてみましょう。

$${\displaystyle \nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0\ 、、}$$

どこ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}~.}$

k ₀とω _{0 が}信号E ( r , t )の（特性）搬送波の波数と角周波数である場合、次の表現が役立ちます。

$${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {\operatorname {Re} } \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {r} -\omega _{0}t)}\right],}$$

ここで、括弧内の量の実数部を表し、${\displaystyle \operatorname {Re} [\,\cdot \,]}$${\displaystyle i^{2}\equiv -1.}$

緩やかに変化する包絡線近似（SVEA）では、複素振幅 E ₀ ( r , t )はrとtに対して緩やかにしか変化しないと仮定する。これは本質的に、 E ( r , t ) が主にk ₀方向に前方に伝播する波を表すことを意味する。 E ₀ ( r , t )の緩やかな変化の結果として、微分を取る際に最高次の微分は無視できる：^[2]

${\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}\right|}$  そして​  ${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,}$    ${\displaystyle k_{0}\equiv \left|\mathbf {k} _{0}\right|.}$

その結果、波動方程式は SVEA では次のように近似されます。

$${\displaystyle 2i\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {2i\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{ 0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{ 0}=0~.}$$

分散関係を満たすようにk ₀とω _{0 を}選択するのが便利です。

$${\displaystyle k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}=0~。}$$

これにより、ゆっくり変化するエンベロープ近似の結果として、波動方程式に次の近似値が得られます。

$${\displaystyle \mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {\partial E_{ 0}}{\partial t}}=0~.}$$

これは、元の波動方程式のような双曲型偏微分方程式ですが、2 次ではなく 1 次です。これは、 k _{0方向に近い方向のコヒーレントな前方伝播波に有効です。E} 0_が変化する空間および時間スケールは、一般に、搬送波の空間波長および時間周期よりもはるかに長くなります。したがって、エンベロープ方程式の数値解は、はるかに大きな空間および時間ステップを使用できるため、計算量が大幅に少なくなります。

波動伝播は主にz方向であると仮定し、k _0はこの方向にとられる。SVEAはz方向と時間の2次空間微分にのみ適用される。がx × y平面のラプラス演算子である場合、結果は次のようになる。^[3]${\displaystyle \Delta _{\perp }\equiv \partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}}$

$${\displaystyle k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+{\frac {\omega _{0}}{c^2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0~.}$$

これは放物型偏微分方程式です。この方程式は完全な SVEA に比べて有効性が向上しており、z方向とは大きく異なる方向に伝播する波を表します。

1次元の場合、SVEAの妥当性のためのもう1つの十分条件は

${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}\gg \lambda }$  そして​  ${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}\gg \lambda \left(1-{\frac {v}{c}}\right)\,,}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k_{0}}}\,,}$

ここで、は放射パルスが増幅される長さ、はパルス幅、は放射システムの群速度である。^[4]${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}}$${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}}$${\displaystyle v}$

これらの条件は、自由電子レーザーの場合のように、 が 1 に近い相対論的極限では、SVEA の有効性に必要な通常の条件に比べて、はるかに制限が少なくなります。 ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$

• 超短パルス
• WKB近似