アッベ正弦条件

光学において、アッベ正弦条件とは、レンズやその他の光学系が軸上および軸外の物体の鮮明な画像を生成するために満たさなければならない条件である。これは、エルンスト・アッベが顕微鏡の文脈で定式化した。^[1]

アッベ正弦条件は、

物体空間の角度の正弦は像空間の角度の正弦に比例するはずである${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} }}$${\textstyle \alpha _{\mathrm {i} }}$

さらに、この比率はシステムの拡大率に等しくなります。数学的に言えば、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{\mathrm {o} }}{\sin \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\sin \beta _{\mathrm {o} }}{\sin \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|}$$

ここで、変数は、物体から出た 2 本の光線の角度 (光軸に対する) であり、は、同じ光線が像面 (カメラのフィルム面など) に到達したときの角度です。たとえば、 (は近軸光線(光軸とほぼ平行な光線)を表し、 は周辺光線(システムの絞りによって許容される最大角度の光線)を表します。すべての光線に対して が成り立つ光学画像システムは、アッベの正弦条件に従っていると言われます。 ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {o} })}$${\textstyle (\alpha _{\mathrm {i} },\beta _{\mathrm {i} })}$${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} },\alpha _{\mathrm {i} })}$${\textstyle (\beta _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {i} })}$

アッベの正弦条件はフェルマーの原理によって導くことができる。^[2]

代わりに、薄いレンズはを満たします。つまり、大きな角度ではアッベの正弦条件を満たしません。その差は のオーダーで、コマ収差に対応します。 $${\displaystyle {\frac {\tan \alpha _{\mathrm {o} }}{\tan \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\tan \beta _{\mathrm {o} }}{\tan \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|}$$${\displaystyle \alpha _{o}^{3}}$

フーリエ光学の枠組みを使えば、アッベ正弦条件の重要性を簡単に説明できる。光学系の物体面にある物体が、T ( x _o , y _o )という透過率関数を持っているとする。この透過率関数をフーリエ変換で表すと、次のように なる。

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j(k_{x}x_{\mathrm {o} }+k_{y}y_{\mathrm {o} })}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,,}$$

ここでは指数関数、 は虚数単位です。 ${\textstyle \exp(z)=e^{z}}$${\textstyle j={\sqrt {-1}}}$

ここで、簡単のため、システムには画像歪みがなく、画像平面座標が物体平面座標と次の関係で線形関係にあると 仮定する。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {i} }&=Mx_{\mathrm {o} }\\y_{\mathrm {i} }&=My_{\mathrm {o} }\,,\end{aligned}}}$$

ここで、Mはシステム倍率です。上記の物体面透過率は、わずかに修正された形式で書き直すことができます。

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}Mx_{\mathrm {o} }+{k_{y} \over M}My_{\mathrm {o} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}}$$

ここで、各項は単純に指数部でシステム倍率Mで乗算され、除算されている。ここで、上記の式を物体面座標で表した像面座標に代入すると、次の式が得られる。

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}x_{\mathrm {i} }+{k_{y} \over M}y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,.}$$

この時点で、物体面の波数スペクトルと像面の波数スペクトルを 関連付ける別の座標変換（すなわち、アッベ正弦条件）が提案される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{x}}{M}}\\k_{y}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{y}}{M}}\end{aligned}}}$$

像面座標と像面波数に関して像面フィールドの最終方程式を得るには次のようにします。

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=M^{2}\iint T\left(Mk_{x}^{\mathrm {i} },Mk_{y}^{\mathrm {i} }\right)\exp \left({j\left(k_{x}^{\mathrm {i} }x_{\mathrm {i} }+k_{y}^{\mathrm {i} }y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}^{\mathrm {i} }\,dk_{y}^{\mathrm {i} }}$$

フーリエ光学では、波数は球面座標系で次のよう に表せることが知られている。

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}&=k\sin \theta \cos \varphi \\k_{y}&=k\sin \theta \sin \varphi \,.\end{aligned}}}$$

のスペクトル成分を考慮すると、物体面と像面の波数間の座標変換は次の形になる。 ${\displaystyle \varphi =0}$

$${\displaystyle k^{\mathrm {i} }\sin \theta ^{\mathrm {i} }=k{\frac {\sin \theta }{M}}\,.}$$

これはアッベ正弦条件の別の書き方であり、フーリエ変換ペアの古典的な不確定性原理を単純に反映しています。つまり、任意の関数の空間範囲が拡大されると（拡大係数Mによって）、スペクトル範囲は同じ係数Mによって縮小し、空間帯域幅積は一定のままになります。

• ラグランジュ不変量
• スミス・ヘルムホルツ不変量
• ハーシェルの状態