点広がり関数

点像分布関数( PSF )は、点光源または点物体に対する焦点合わせされた光学画像システムの応答を表します。 PSF のより一般的な用語は、システムのインパルス応答です。PSF は、焦点合わせされた光学画像システムのインパルス応答またはインパルス応答関数 (IRF) です。 多くの文脈において、 PSF は、空間インパルスと見なされる単一の点物体を表す画像内の拡張された塊と考えることができます。 機能的には、これは画像システムの光学伝達関数 (OTF)の空間領域バージョン (つまり、逆フーリエ変換) です。 これは、フーリエ光学、天文画像、医療画像、電子顕微鏡、および3D 顕微鏡(共焦点レーザー走査顕微鏡など) や蛍光顕微鏡などの他の画像化技術で有用な概念です。

撮像システムにおける点物体の像の広がり（ぼやけ）の程度は、撮像システムの品質の尺度となる。蛍光顕微鏡、望遠鏡、光学顕微鏡などの非コヒーレント撮像システムでは、像形成プロセスは像強度に対して線形であり、線形システム理論によって記述される。これは、2 つの物体 A と B が非コヒーレント撮像システムによって同時に撮像された場合、結果として得られる像は独立して撮像された物体の合計に等しいことを意味する。言い換えれば、光子の非相互作用特性により、A の撮像は B の撮像の影響を受けず、その逆も同様である。空間不変システム、すなわち撮像空間のどこでも PSF が同じシステムでは、複雑な物体の像はその物体と PSF の畳み込みとなる。PSF は回折積分から導出できる。^[1]

光学的非コヒーレント画像システムの線形特性により、すなわち、

画像(オブジェクト₁ +オブジェクト₂ ) =画像(オブジェクト₁ ) +画像(オブジェクト₂ )

非コヒーレント結像システムとしての顕微鏡や望遠鏡における物体の像は、物体面フィールドを 2D インパルス関数の加重和として表現し、次に像面フィールドをこれらのインパルス関数の像の加重和として表現することによって計算できます。これは重ね合わせの原理として知られ、線形システムに有効です。個々の物体面インパルス関数の像は点像分布関数 (PSF) と呼ばれ、物体面内の数学的な光点が像面内で有限の領域を形成するという事実を反映しています。(数学や物理学の一部の分野では、これらはグリーン関数またはインパルス応答関数と呼ばれることがあります。PSF は結像システムのインパルス応答関数と見なされます。

物体がさまざまな強度の離散的な点物体に分割されると、画像は各点の PSF の合計として計算されます。PSF は通常、画像化システム (顕微鏡または望遠鏡) によって完全に決定されるため、システムの光学特性を知ることで画像全体を記述できます。この画像化プロセスは通常、畳み込み方程式によって定式化されます。顕微鏡画像処理や天文学では、測定装置の PSF を知ることは、デコンボリューションを使用して (元の) 物体を復元するために非常に重要です。レーザービームの場合、PSF はガウスビームの概念を使用して数学的にモデル化できます。^[3]たとえば、数学的にモデル化された PSF と画像のデコンボリューションにより、特徴の可視性が向上し、画像ノイズが除去されます。^[2]

点像分布関数は物体面の位置に依存しない場合があり、その場合、シフト不変と呼ばれます。さらに、システムに歪みがない場合、画像面座標は倍率 Mを介して物体面座標に次のように線形関係にあります。

${\displaystyle (x_{i},y_{i})=(Mx_{o},My_{o})}$。

イメージング システムが反転した画像を生成する場合、画像平面の座標軸がオブジェクト平面の軸と逆になっていると見なすことができます。PSF がシフト不変であり、歪みがないという 2 つの仮定に基づいて、画像平面の畳み込み積分を計算するのは簡単なプロセスです。

数学的には、物体平面フィールドは次のように表すことができます。

${\displaystyle O(x_{o},y_{o})=\iint O(u,v)~\delta (x_{o}-u,y_{o}-v)~du\,dv}$

つまり、重み付けされたインパルス関数の合計としてですが、これは実際には 2D デルタ関数のシフト特性を述べているだけです (詳細は後述)。物体透過率関数を上記の形式で書き直すと、画像平面フィールドを個々のインパルス関数それぞれの画像の重ね合わせとして計算できます。つまり、物体平面と同じ重み付け関数を使用して、画像平面の重み付けされた点広がり関数の重ね合わせとして計算できます。数学的には、画像は次のように表現されます。 ${\displaystyle O(x_{o},y_{o})}$

${\displaystyle I(x_{i},y_{i})=\iint O(u,v)~\mathrm {PSF} (x_{i}/Mu,y_{i}/Mv)\,du\,dv}$

ここにインパルス関数の像があります。 ${\textstyle {\mbox{PSF}}(x_{i}/Mu,y_{i}/Mv)}$${\displaystyle \delta (x_{o}-u,y_{o}-v)}$

2D インパルス関数は、下の図に示すように、「正方形の柱」関数の 限界 (辺の寸法w がゼロに近づく) と見なすことができます。

オブジェクト プレーンは、このように正方形の領域に分解され、それぞれに正方形のポスト関数が関連付けられていると想像します。ポストの高さhが 1/w ²に維持されている場合、側面の寸法w が0 に近づくにつれて、高さhは無限大に近づき、体積 (積分) は 1 で一定に保たれます。これにより、2D インパルスにシフト プロパティ (上記の式で暗示されている) が与えられます。つまり、2D インパルス関数 δ( x  −  u , y  −  v ) を他の任意の連続関数f ( u , v )に対して積分すると、インパルスの位置、つまり点( x , y )でのfの値が「ふるいにかけられる」ということです。

完全な点光源オブジェクトの概念は、PSF の考え方の中心です。ただし、自然界には完全な数学的点光源放射体というものは存在しません。この概念は完全に非物理的であり、光学画像システムをモデル化して理解するために使用される数学的構成です。点光源の概念の有用性は、2D オブジェクト平面の点光源が、球面上のどこでも均一な強度を持つ完全に球状の外向きの位相面を持つ波 (ホイヘンス・フレネルの原理を参照) のみを放射できるという事実に由来します。このような均一な球面波のソースは、下の図に示されています。また、完全な点光源放射体は、伝播する平面波の均一なスペクトルだけでなく、指数関数的に減衰する (エバネッセント) 波の均一なスペクトルも放射し、これらが 1 波長よりも細かい解像度を実現することにも注意してください (フーリエ光学を参照)。これは、2D インパルス関数の次のフーリエ変換式から得られます。

${\displaystyle \delta (x,y)\propto \iint e^{j(k_{x}x+k_{y}y)}\,dk_{x}\,dk_{y}}$

二次レンズはこの球面波の一部を遮断し、像面のぼやけた点に再び焦点を合わせます。単一レンズの場合、物体面の軸上の点光源は像面にエアリーディスクPSF を生成します。平面物体から放射される場 (または、相反性により、平面像に収束する場) は、フーリエ変換(FT)関係を介して、対応する光源 (または像) 面の分布に関連付けられていることが示されます (フーリエ光学、ホイヘンス・フレネルの原理、フラウンホーファー回折を参照) 。さらに、円形領域上の均一関数 (1 つの FT 領域内) は、他の FT 領域のJ ₁ ( x )/ xに対応します。ここで、 J ₁ ( x )は第 1 種第 1 次ベッセル関数です。つまり、均一に照明された円形の開口部が収束する均一な球面波を通過させると、焦点面にエアリーディスク像が生成されます。サンプルのエアリーディスクのグラフを隣の図に示します。

したがって、上の図に示す収束（部分）球面波は、像面にエアリーディスクを生成します。関数J ₁ ( x )/ xの引数は重要です。エアリーディスクのスケーリング（つまり、像面におけるディスクの大きさ）を決定するためです。 Θ _maxが収束波がレンズ軸となす最大角度、r が像面における半径距離、波数 k  = 2π/λ（λ = 波長）の場合、関数の引数はkr tan(Θ _max )です。 Θ _maxが小さい場合（収束球面波のごく一部だけが像の形成に使用できます）、関数の全引数が中心点から離れる前に、半径距離 r が非常に大きくなければなりません。言い換えると、Θ _maxが小さい場合、エアリーディスクは大きくなります (これはフーリエ変換ペアに対するハイゼンベルクの不確定性原理の別の表現であり、つまり、一方の領域での小さな範囲はもう一方の領域での広い範囲に対応し、この 2 つは空間帯域幅積 を介して関連しています)。このため、通常は Θ _maxの値が小さい(アッベの正弦条件により) 高倍率システムでは、PSF が広くなるため、画像のぼやけが大きくなります。PSF のサイズは倍率 に比例するため、ぼやけは相対的には悪化しませんが、絶対的には確実に悪化します。

上の図は、レンズによる入射球面波の切断を示しています。レンズの点像分布関数 (またはインパルス応答関数) を測定するために、空間のすべての方向に完全な球面波を放射する完全な点光源は必要ありません。これは、レンズの (角度) 帯域幅、つまり有限の切片角しかないためです。したがって、レンズのエッジ角を超えて広がる (つまり、システムの帯域幅の外側にある) 光源に含まれる角度帯域幅は、レンズがそれを処理するために切片にすることができないため、基本的に無駄な光源帯域幅です。結果として、完全な点像分布関数を測定するために完全な点光源は必要ありません。必要なのは、テスト対象のレンズと少なくとも同じ角度帯域幅を持つ (そしてもちろん、その角度セクター全体で均一である) 光源だけです。言い換えると、必要なのは、レンズのエッジ角よりも大きい半角を持つ収束 (均一) 球面波によって生成される点光源だけです。

イメージングシステムの固有の限られた解像度のため、測定されたPSFは不確実性から逃れることはできません。^{[4 ] イメージングでは、}アポダイゼーション技術によってイメージングビームのサイドローブを抑制することが望まれます。ガウスビーム分布を持つ透過イメージングシステムの場合、PSFは次の式でモデル化されます。^[5]

${\displaystyle \mathrm {PSF} (f,z)=I_{r}(0,z,f)\exp \left[-z\alpha (f)-{\dfrac {2\rho ^{2}}{0.36{\frac {cka}{{\text{NA}}f}}{\sqrt {{1+\left({\frac {2\ln 2}{c\pi }}\left({\frac {\text{NA}}{0.56k}}\right)^{2}fz\right)}^{2}}}}}\right],}$

ここで、k 係数は打ち切り比と放射照度のレベルに依存し、NAは開口数、cは光速、fはイメージング ビームの光子周波数、I _rは参照ビームの強度、aは調整係数、は対応するz 平面上のビームの中心からの半径位置です。 ${\displaystyle \rho}$

点像分布関数の回折理論は、19 世紀にエアリーによって初めて研究されました。彼は、収差のない完全な機器 (いわゆるエアリー ディスク) の点像分布関数の振幅と強度を表す式を開発しました。最適焦点面に近い収差のある点像分布関数の理論は、1930 年代から 1940 年代にかけてゼルニケとナイボアによって研究されました。彼らの解析で中心的な役割を果たしたのは、回転対称性を持つあらゆる光学系の収差を効率的に表現できるゼルニケの円多項式です。最近の解析結果により、点像分布関数の評価に対するナイボアとゼルニケのアプローチを、最適焦点の周りの大きな体積に拡張することが可能になりました。この拡張されたナイボア-ゼルニケ (ENZ) 理論により、非理想的な画像化条件下での共焦点顕微鏡法や天文学における 3 次元物体の不完全な画像化を研究できます。 ENZ理論は、焦点を通した強度分布を測定し、適切な逆問題を解くことによって、光学機器の収差に関する特性評価にも適用されています。

顕微鏡では、PSF を実験的に決定するには、解像度以下の（点状の）放射源が必要です。この目的では通常、量子ドットと蛍光 ビーズが考慮されます。 ^{[6] [7]} 一方、上記の理論モデルを使用すると、さまざまなイメージング条件での PSF の詳細な計算が可能になります。通常は、PSF の最もコンパクトな回折限界形状が好まれます。ただし、適切な光学素子（空間光変調器など）を使用することで、PSF の形状をさまざまなアプリケーションに合わせて設計できます。

観測天文学では、点光源（恒星またはクエーサー）が豊富にあるため、PSF の実験的決定は非常に簡単です。PSF の形式とソースは、機器とそれが使用される状況に応じて大きく異なる場合があります。

電波望遠鏡や回折限界の宇宙望遠鏡の場合、PSF の主な項はフーリエ領域での開口部の構成から推測できます。実際には、複雑な光学システムのさまざまなコンポーネントによって複数の項が寄与される場合があります。PSF の完全な説明には、検出器内の光 (または光電子) の拡散や、宇宙船または望遠鏡の 追跡エラーも含まれます。

地上の光学望遠鏡では、大気の乱流（天文シーイングと呼ばれる）がPSFに大きく影響します。高解像度の地上画像では、PSFは画像内の位置によって変化することがよくあります（異方性プラナティズムと呼ばれる効果）。地上の適応光学システムでは、PSFはシステムの開口部と補正されていない大気項の組み合わせです。^[8]

PSFは、従来の焦点合わせによる穴の画像化の基本的な制限でもあり、^[9]最小印刷サイズは0.6～0.7波長/NAの範囲にあり、NAは画像化システムの開口数です。 ^{[10] [11]たとえば、波長13.5 nm、NA=0.33の}EUVシステムの場合、画像化できる最小の個々の穴サイズは25～29 nmの範囲です。位相シフトマスクには180度の位相エッジがあり、より細かい解像度を可能にします。^[9]

点広がり関数は、最近、臨床眼科における有用な診断ツールとなっている。患者はシャック・ハルトマン 波面センサーで測定され、特別なソフトウェアがその患者の眼の PSF を計算する。この方法により、医師は患者に対する潜在的な治療をシミュレートし、それらの治療が患者の PSF をどのように変えるかを予測することができる。さらに、測定された PSF は、適応光学システムを使用して最小化することができる。これは、CCDカメラと適応光学システムと組み合わせて、錐体光受容体などの生体内では見えない解剖学的構造を視覚化するために使用できる。 ^[12]

• エアリーディスク
• 錯乱円は、一般的な写真撮影に密接に関連するトピックです。
• デコンボリューション
• 包囲されたエネルギー
• インパルス応答関数
• 顕微鏡
• マイクロスフィア
• PSFラボ

• Hagai Kirshner、François Aguet、Daniel Sage、Michael Unser (2013)。「蛍光顕微鏡の 3D PSF フィッティング: 実装と位置特定アプリケーション」( PDF )。Journal of Microscopy。249 ( 2013 年 1 月): 13–25。doi :10.1111/ j.1365-2818.2012.03675.x。PMID 23126323。S2CID  5318333  。
• Rachel Noek、Caleb Knoernschild、Justin Migacz、Taehyun Kim、Peter Maunz、True Merrill、Harley Hayden、CS Pai、Jungsang Kim (2010)。「点光源からの強化光収集のためのマルチスケール光学」( PDF )。Optics Letters。35 (2010 年 6 月): 2460–2。arXiv : 1006.2188。Bibcode : 2010OptL ... 35.2460N。doi : 10.1364 /OL.35.002460。hdl : 10161/4222。PMID 20634863。S2CID 6838852  。