コンパクトオブジェクト（数学）

数学において、コンパクト オブジェクトは、有限に提示されたオブジェクト、または有限提示のオブジェクトとも呼ばれ、特定の有限性条件を満たす カテゴリ内のオブジェクトです。

すべてのフィルターされた余極限（直接極限とも呼ばれる） を許容するカテゴリCの対象Xは、関数

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

はフィルタされた余極限と可換である、すなわち、自然写像

${\displaystyle \operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})}$

は、 C内の任意のフィルタリングされたオブジェクトのシステムに対して、全単射である。^[1]左側のフィルタリングされた余極限の要素は、あるiに対して、マップによって表されるため、上記のマップの全射性は、マップがいくつかの 上で因数分解されることを要求することに等しい。 ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X\to Y_{i}}$${\displaystyle X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

この用語は、後述する位相幾何学から生じる例に由来しています。代数的カテゴリにもっと密接に関連する用語を使用する著者もいます。Adámek & Rosický (1994) は、コンパクト オブジェクトの代わりに有限に提示されたオブジェクトという用語を使用しています。Kashiwara & Schapira (2006) は、これらを有限提示のオブジェクトと呼んでいます。

同じ定義は、 Cが∞-カテゴリである場合にも適用されます。ただし、上記の射の集合はC内のマッピング空間に置き換えられます(フィルターされた余極限は ∞-カテゴリの意味で理解され、フィルターされたホモトピー余極限と呼ばれることもあります)。

すべての余積を許容する三角形圏 Cに対して、ニーマン（2001）は、オブジェクトがコンパクトであるとは、

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

は余積と可換である。この概念と上記の関係は以下の通りである。Cが、すべてのフィルターされた余極限を許容する安定した ∞-カテゴリのホモトピー カテゴリとして発生すると仮定する。(この条件は広く満たされるが、自動的に満たされるわけではない。) このとき、 C内のオブジェクトがニーマンの意味でコンパクトであるのは、それが ∞-カテゴリの意味でコンパクトである場合に限る。その理由は、安定した ∞-カテゴリでは、有限余極限は極限であるため、常に有限余極限と可換であるためである。次に、フィルターされた余極限の表現を、無限余積の余等化子 (有限余極限) として使用する。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,-)}$

集合のカテゴリ内のコンパクトオブジェクトは、まさに有限集合です。

環Rに対して、 R加群のカテゴリ内のコンパクト オブジェクトは、まさに有限に提示された R加群です。特に、Rが体である場合、コンパクト オブジェクトは有限次元ベクトル空間です。

同様の結果は、等式法則に従う集合上の演算によって与えられる代数構造の任意のカテゴリに対しても成り立ちます。多様体と呼ばれるこのようなカテゴリは、ローヴェア理論を使用して体系的に研究できます。任意のローヴェア理論Tに対して、 Tのモデルのカテゴリ Mod( T )が存在し、 Mod( T ) 内のコンパクト オブジェクトは、まさに有限に提示されたモデルです。たとえば、T が群の理論であるとします。すると、 Mod( T ) は群のカテゴリであり、 Mod( T ) 内のコンパクト オブジェクトは、有限に提示された群です。

R加群の導来カテゴリ 内のコンパクト対象は、まさに完全複体です。 ${\displaystyle D(R-{\text{Mod}})}$

コンパクト位相空間は、位相空間のカテゴリにおけるコンパクト対象ではない。むしろ、これらは離散位相を備えた有限集合そのものである。^[2]位相におけるコンパクト性と上記のカテゴリ的コンパクト性の概念との関係は以下のとおりである。固定された位相空間 に対して、その対象が の開集合(および射としての包含)であるカテゴリが存在する。すると、 がコンパクト位相空間であるためには、 がの対象としてコンパクトでなければならない。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{開く}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{開く}}(X)}$

が任意のカテゴリである場合、前層のカテゴリ（つまり、集合からへの関数のカテゴリ）はすべての余極限を持ちます。元のカテゴリは、米田埋め込みによってに接続されます。の任意のオブジェクトに対して、はコンパクトオブジェクト（）です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$${\displaystyle C^{op}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$ ${\displaystyle h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle h_{X}}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$

同様に、任意のカテゴリは、のind オブジェクトのカテゴリの完全なサブカテゴリと見なすことができます。 このより大きなカテゴリのオブジェクトと見なすと、の任意のオブジェクトはコンパクトです。 実際、 のコンパクト オブジェクトは、のオブジェクトとまったく同じです(より正確には、 におけるそれらのイメージです)。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$

非コンパクト位相空間のアーベル群の層の 非有界導来圏では、一般にコンパクト生成圏ではない。このことの証拠は、 の非コンパクト性を利用して有限部分被覆に細分化できない開被覆を考え、写像${\displaystyle D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi \in {\text{Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}}\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

である。この写像を要素に持ち上げるには${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \psi \in {\underset {i\in I}{\text{colim}}}{\text{ Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

何らかの を因数分解する必要があるが、これは保証されていない。これを証明するには、任意のコンパクトオブジェクトが の何らかのコンパクト部分集合にサポートされていることを示し、次にこの部分集合が空であることを示す必要がある。^[3]${\displaystyle \mathbb {Z} _{U_{i}}}$${\displaystyle X}$

正特性上の代数スタック の場合、準コヒーレント層の非有界導来カテゴリは、が準コンパクトで準分離であっても、一般にコンパクト生成されません。^[4]実際、代数スタックの場合、ゼロオブジェクト以外のコンパクトオブジェクトは存在しません。この観察は、次の定理に一般化できます。スタックが次のような 安定化群を持つ場合、${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle G}$正の特性を持つ体上で定義される${\displaystyle k}$
2. ${\displaystyle {\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}}$は、${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

の唯一のコンパクト オブジェクトはゼロ オブジェクトです。特に、カテゴリはコンパクトに生成されません。 ${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$

この定理は、例えば、埋め込みによって、単位行列のプラスの最初の行の- 番目の列に点を送ることによって適用されます。 ${\displaystyle G=GL_{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}\to GL_{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {G} _{a}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

ほとんどのカテゴリでは、コンパクトであるという条件は非常に強いため、ほとんどのオブジェクトはコンパクトではありません。カテゴリがコンパクトに生成されるのは、任意のオブジェクトが 内のコンパクト オブジェクトのフィルターされた余極限として表現できる場合です。たとえば、任意のベクトル空間Vは、その有限次元 (つまり、コンパクト) 部分空間のフィルターされた余極限です。したがって、ベクトル空間のカテゴリ (固定体上) はコンパクトに生成されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

コンパクトに生成され、すべての余極限を許容するカテゴリは、アクセス可能なカテゴリと呼ばれます。

行儀の良いテンソル積を持つカテゴリCの場合 (より正式には、 C はモノイドカテゴリであることが要求される)、ある種の有限性を課す別の条件、つまりオブジェクトが双対化可能であるという条件があります。 Cのモノイド単位がコンパクトであれば、任意の双対化可能なオブジェクトもコンパクトです。たとえば、RはRモジュールとしてコンパクトであるため、この観察を適用できます。実際、Rモジュールのカテゴリでは、双対化可能なオブジェクトは有限に提示された射影モジュールであり、特にコンパクトです。 ∞-カテゴリのコンテキストでは、双対化可能なオブジェクトとコンパクトなオブジェクトはより密接にリンクされる傾向があり、たとえば、 Rモジュールの複合体の ∞-カテゴリでは、コンパクトオブジェクトと双対化可能なオブジェクトは一致します。この例と、双対化可能なオブジェクトとコンパクトオブジェクトが一致するより一般的な例は、Ben-Zvi、Francis、Nadler (2010) で説明されています。