ホップフィアン天体

数学の分野である圏論では、ホップフ対象とは、 AからAへの任意のエピモーフィズムが必ず自己同型となるような対象A のことである。双対概念はコホップフ対象であり、これはBからBへの任意の単同型が必ず自己同型となるような対象Bである。この 2 つの条件は、群、環、加群、位相空間のカテゴリで研究されてきた。

「ホップフィアン」と「コホップフィアン」という用語は 1960 年代から使われており、ハインツ・ホップと、彼が曲面の基本群に関する研究でホップフィアン群の概念を使用したことに敬意を表して作られたと言われています。(Hazewinkel 2001、p. 63)

どちらの条件も、そのカテゴリにおける有限性条件の一種とみなすことができます。たとえば、選択公理を持つツェルメロ-フランケル集合論を仮定し、集合のカテゴリで作業する場合、ホップフ対象とコホップフ対象はまさに有限集合です。このことから、すべての有限群、有限加群、有限環が、そのカテゴリにおいてホップフ対象とコホップフ対象であることが簡単にわかります。

ホップオブジェクトとコホップオブジェクトは、射影オブジェクトおよび入射オブジェクトと基本的な相互作用を持ちます。 2 つの結果は次のとおりです。

• 入射ホップフィアンオブジェクトはコホップフィアンです。
• 射影コホプフィアンオブジェクトはホプフィアンです。

最初のステートメントの証明は簡単です。A をホップフの単射オブジェクトとし、f​​ をAからAへの単射射とします。単射性により、f はA上の恒等写像I _Aを介して因数分解され、 gf = I _Aとなる射gが生成されます。結果として、g は全射射であり、したがって自己同型であり、f は必然的にgの逆自己同型です。この証明は双対化して 2 番目のステートメントを証明できます。

ここに、加群のカテゴリにおけるいくつかの基本的な結果を示します。R R が加群としてホップフィアンまたはコホップフィアンであることは、R が環としてホップフィアンまたはコホップフィアンであることとは異なることを覚えておくことが_特に重要です。

• ネーター加群はホップ加群であり、アルティン加群はコホップ加群です。
• 加群R _Rがホップフィアンとなるのは、R が直接有限環である場合に限ります。対称的に、これら 2 つは加群_R Rがホップフィアンであることと同値です。
• 上記とは対照的に、モジュールR _Rまたは_R R は、任意の組み合わせでコホプフィアンであるかそうでないかのどちらかです。片側はコホプフィアンだがもう片側はそうではない環の例は、(Varadarajan 1992) に示されています。ただし、これら 2 つのモジュールのいずれかがコホプフィアンである場合、R は両側でホプフィアンであり ( R は左モジュールまたは右モジュールとして射影的であるため)、直接有限です。

環のカテゴリにおける状況は、加群のカテゴリとはまったく異なります。単位元を持つ環のカテゴリにおける射は、恒等性を保つこと、つまり 1 対 1 を送ることが求められます。

• R がイデアル上の昇順連鎖条件を満たす場合、Rはホップフィアンです。これは、ネーター加群の事実との類推によって証明できます。ただし、「コホップフィアン」に対応するアイデアは存在しません。なぜなら、f が単位元を保存するRからRへの環準同型であり、fの像がRでない場合、その像は確かにRのイデアルではないからです。いずれにせよ、これは片側ネーター環またはアルティン環が常にホップフィアンであることを示しています。
• 任意の単純環はホップ体である。なぜなら、任意の自己準同型の核はイデアルであり、単純環では必ず 0 となるからである。対照的に、(Varadarajan 1992) では、非コホップ体の例が与えられた。
• 可算次元ベクトル空間の完全線型環End D ₍ V) はホップ環であるが、これは 3 つのイデアルしか持たないため、加群としてはホップ環ではないが、直接有限ではない。論文 (Varadarajan 1992) には、加群としてはコホップ環ではないコホップ環の例も示されている。
• また、(Varadarajan 1992)では、ブール環 Rとそれに関連するストーン空間 Xについて、環R が環のカテゴリでホップフィアンであるための必要十分条件は、位相空間のカテゴリでコホップフィアンである場合であり、環としてRがホップフィアンであるための必要十分条件は、位相空間としてXがホップフィアンである場合であることが示されています。

• (Varadarajan 1992) には、コンパクト多様体に関する一連の結果が含まれています。まず、ホップフィアンであるコンパクト多様体は有限離散空間のみです。次に、境界のないコンパクト多様体は常にコホップフィアンです。最後に、空でない境界を持つコンパクト多様体はコホップフィアンではありません。

• Baumslag, Gilbert (1963)、「ホップフィシティとアーベル群」、アーベル群の話題 (Proc. Sympos.、ニューメキシコ州立大学、1962)、イリノイ州シカゴ: Scott, Foresman and Co.、pp. 331–335、MR  0169896
• ヘイズウィンケル、M.編(2001)、数学百科事典。補足。 Vol. III、ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers、pp. viii+557、ISBN 1-4020-0198-3、MR  1935796
• Varadarajan, K. (1992)、「ホプフィアンおよび共ホプフィアン オブジェクト」、Publicacions Matemàtiques、36 (1): 293–317、doi :10.5565/PUBLMAT_36192_21、ISSN  0214-1493、MR  1179618
• Varadarajan, K. (2001)、「ホップフィシティ、コホップフィシティ、および関連する特性に関する最近の結果」、国際環理論シンポジウム、Trends Math.、Birkhäuser Boston、pp. 371–392、MR  1851216

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• 共同ホップフィアングループ