超幾何関数

数学において、ガウス関数または通常の超幾何関数 ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) は、超幾何級数で表される特殊な関数であり、特定のケースまたは極限ケースとして他の多くの特殊関数を含みます。これは、2 次線形常微分方程式(ODE) の解です。3 つの正規特異点を持つすべての 2 次線形 ODE は、この方程式に変換できます。

超幾何関数に関する何千もの公開された恒等式の一部の体系的なリストについては、 Erdélyi ら (1953) および Olde Daalhuis (2010) の参考文献を参照してください。すべての恒等式を体系化する既知のシステムは存在しません。実際、すべての恒等式を生成できる既知のアルゴリズムは存在しません。異なる一連の恒等式を生成するさまざまなアルゴリズムが知られています。恒等式のアルゴリズムによる発見の理論は、現在も活発な研究テーマとなっています。

「超幾何級数」という用語は、ジョン・ウォリスが1655 年に著した著書『Arithmetica Infinitorum』で初めて使用されました。

超幾何級数はレオンハルト・オイラーによって研究されましたが、初めて完全に体系的な扱いをしたのはカール・フリードリヒ・ガウス (1813) でした。

19 世紀の研究には、エルンスト・クンマー (1836) の研究や、ベルンハルト・リーマン (1857) による、超幾何関数が満たす微分方程式による超幾何関数の基本的な特徴付けが含まれていました。

_{リーマンは、複素平面上で調べた2} F ₁ ( z )の2階微分方程式が、（リーマン球面上で）3つの正則な特異点によって特徴付けられることを示した。

解が代数関数となるケースは、ヘルマン・シュワルツ（シュワルツのリスト）によって発見されました。

超幾何関数は| z | < 1に対してべき級数で定義される。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$$

c が非正の整数に等しい場合、それは未定義（または無限大）です。ここで、( q ) _{n は}（上昇）ポッホハマー記号^{[注 1]}であり、次のように定義されます。

$${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$$

aまたはb のいずれかが非正の整数の場合、この級数は終了し、その場合、関数は多項式に簡約されます。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$$

| z | ≥ 1の複素引数zについては、分岐点 1 と無限大を避ける複素平面上の任意のパスに沿って解析的に継続できます。実際には、超幾何関数のほとんどのコンピュータ実装では、直線z  ≥ 1に沿った分岐カットが採用されています。

c → − m（mは非負の整数）のとき、 ₂ F ₁ ( z ) → ∞となる。ガンマ関数の値Γ( c )で割ると、次の極限が得られる。

$${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$$

₂ F ₁ ( z )は、最も一般的なタイプの一般化超幾何級数 _p F _qであり、単にF ( z )と表記されることが多い。

等式を用いて、 ${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$$

そしてより一般的には、

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$$

一般的な数学関数の多くは、超幾何関数、またはその極限ケースで表現できます。いくつかの典型的な例を以下に示します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$$

a =1かつb = cのとき、この級数は単純な等比級数に簡約される。すなわち、

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={}_{1}F_{0}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

したがって、超幾何関数と呼ばれます。この関数は、等比級数の一般化として考えることができます。

合流型超幾何関数（またはクンマー関数）は、超幾何関数の極限として与えられる。

$${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$$

したがって、ベッセル関数など、本質的にその特殊なケースであるすべての関数は、超幾何関数の極限として表現できます。これらには、数理物理学で一般的に使用される関数のほとんどが含まれます。

ルジャンドル関数は3つの正規特異点を持つ2階微分方程式の解であり、超幾何関数を使ってさまざまな方法で表現できる。例えば、

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$$

ヤコビ多項式 Pを含むいくつかの直交多項式^(α,β)
_nおよびその特殊なケースであるルジャンドル多項式、チェビシェフ多項式、ゲーゲンバウアー多項式、ゼルニケ多項式は、次のように超幾何関数で表すことができる。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$$

その他の特殊な多項式には、Krawtchouk 多項式、Meixner 多項式、Meixner–Pollaczek 多項式などがあります。

が与えられた場合、 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

$${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}$$

それから

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}$$

はモジュラーラムダ関数であり、

$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}$$

j不変量、つまりモジュラー関数は、 における有理関数です。 ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

不完全ベータ関数 B _x ( p , q )は次のように関係する。

$${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}$$

完全楕円積分 KとEは^[1]で与えられる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}$$

超幾何関数はオイラーの超幾何微分方程式の解である。

$${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$$

この方程式には 3 つの正則特異点0、1、∞があります。この方程式を任意の 3 つの正則特異点に一般化すると、リーマンの微分方程式になります。3 つの正則特異点を持つ任意の 2 次線形微分方程式は、変数変換によって超幾何微分方程式に変換できます。

_{超幾何微分方程式の解は、超幾何級数2} F ₁ ( a , b ; c ; z )から構築されます。この方程式には、2 つの線形独立な解があります。3 つの特異点 0、1、∞ のそれぞれにおいて、通常、x ^s倍のxの正則関数の形式の 2 つの特殊解があります。ここで、s は指数方程式の 2 つの根の 1 つであり、x は正規特異点で消える局所変数です。これにより、次の 3 × 2 = 6 の特殊解が得られます。

点z  = 0の周囲では、cが非正の整数でない場合、2つの独立した解が存在します。

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

そして、 cが整数でない という条件で、

$${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

cが非正の整数 1− mの場合、最初の解は存在しないため、 で置き換える必要があります。2 番目の解は、 cが 1 より大きい整数の場合は存在せず、cが他の整数の場合は最初の解またはその代替と等しくなります。 そのため、cが整数の場合、2 番目の解にはより複雑な式を使用する必要があります。これは、最初の解に ln( z )を掛けたものに等しく、ディガンマ関数を含むzの累乗の別の級数を追加します。 詳細については、Olde Daalhuis (2010) を参照してください。 ${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$

z = 1の周りで、 c  −  a  −  bが整数でない  場合、2つの独立した解が存在する。

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

そして

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

z  = ∞の周りで、 a  −  bが整数でない場合、2つの独立した解が存在する。

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

そして

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

繰り返しになりますが、非整数条件が満たされない場合は、より複雑な他の解決策が存在します。

上記の6つの解のうち3つは、解の空間が2次元であるため線形関係を満たし、次の式が得られます（⁶
₃） = 20 それらの間の線形関係を接続式と呼びます。

n個の特異点を持つ2 階のフックス方程式には、その解に (射影的に) 作用する対称性の群があり、これは2 ^{n −1} n ! の位数を持つコクセター群W( D _n ) と同型である。超幾何方程式はn = 3の場合で、位数 24 の群は、クンマーによって最初に記述された 4 点の対称群と同型である 。対称群の出現は偶然であり、3 つ以上の特異点には類似するものがなく、この群を 3 点の対称群 (3 つの特異点の順列として作用する) をクライン 4 群(その要素は、偶数個の特異点における指数の差の符号を変える) によって拡張したものと考える方がよい場合がある。クンマーの 24 変換群は、解F ( a , b ; c ; z ) を次のいずれかの 1 つに 取る 3 つの変換によって生成される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

これらは、4つの点1、2、3、4上の対称群との同型の下での転置(12)、(23)、(34)に対応する。(これらの最初と3番目は実際にはF ( a、b、c、z )に等しいが、2番目は微分方程式の独立した解である。)

クンマーの24 = 6×4変換を超幾何関数に適用すると、3つの特異点のそれぞれにおける2つの可能な指数に対応する6 = 2×3の解が得られる。これらの特異点は、恒等式によりそれぞれ4回現れる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

超幾何微分方程式はQ形式にすることができる。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

u = wvと置き換えて一次導関数項を消去すると、

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

そしてvは次のように解かれる。

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

それは

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

Q形式はシュワルツ微分との関係において重要である（Hille 1976、pp. 307–401）。

シュワルツの三角写像またはシュワルツのs関数は、解のペアの比です。

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

ここでkは0, 1, ∞のいずれかの点である。

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

も時々使用されます。接続係数は三角形マップ上の メビウス変換になることに注意してください。

各三角形写像はそれぞれz ∈ {0, 1, ∞} において正則であり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$ そして $${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

λ、μ、ν が実数で、0 ≤ λ、μ、ν < 1 である特殊なケースでは、s 写像は、円弧で囲まれたリーマン球面上の三角形への上半平面Hの等角写像です。この写像は、シュワルツ-クリストッフェル写像を円弧を持つ三角形に一般化したものです。特異点 0、1、∞ は三角形の頂点に送られます。三角形の角度はそれぞれ πλ、πμ、πν です。

さらに、整数p、q、rに対して λ=1/ p、 μ=1/ q、 ν=1/ rの場合、 λ + μ + ν – 1 が正、ゼロ、負のいずれであるかに応じて、三角形は球面、複素平面、または上半平面をタイル張りします。また、s-写像は三角形群〈p、  q、  r〉 = Δ( p、  q、  r )の自己同型関数の逆関数です。

超幾何方程式のモノドロミーは、同じ点に戻るz平面の経路を解析的に辿ったときに、基本解がどのように変化するかを表します。つまり、経路が ₂ F ₁の特異点の周りを曲がっている場合、終点の解の値は開始点とは異なります。

超幾何方程式の 2 つの基本解は線形変換によって相互に関連付けられます。したがって、モノドロミーはマッピング (群準同型) です。

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

ここでπ _1は基本群である。言い換えれば、モノドロミーは基本群の2次元線形表現である。方程式のモノドロミー群はこの写像の像、すなわちモノドロミー行列によって生成される群である。基本群のモノドロミー表現は、特異点の指数によって明示的に計算することができる。^[2] (α, α')、(β, β')、(γ, γ') が0、1、∞における指数である場合、z _{0 を}0の近くでとると、0と1の周りのループにはモノドロミー行列がある。

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

どこ

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

1− a、c − a − b、a − bが分母がk、l、mである非整数有理数である場合、モノドロミー群が有限であるための必要十分条件は、 です。シュワルツのリストまたはコバチッチのアルゴリズムを参照してください。 ${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

Bがベータ関数であれば

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

ただし、z は1 以上の実数ではない。これは、 二項定理を使用して(1 − zx ) ^{− a}を展開し、絶対値が 1 より小さいzについて項ごとに積分し、他の場所では解析接続によって証明できます。z が 1 以上の実数のときは、解析接続を使用する必要があります。これは、積分のサポート内のある点で (1 −  zx ) がゼロになり、積分の値が定義できなくなる可能性があるためです。これは 1748 年にオイラーによって示され、オイラーとパフの超幾何変換を意味します。

他の枝に対応する他の表現は、同じ積分関数をとり、積分の経路を様々な順序で特異点を囲む閉じたポッホハマーサイクルとすることで与えられます。このような経路はモノドロミー作用に対応します。

バーンズは留数理論を用いてバーンズ積分を 評価した。

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

として

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

ここで、等高線は極 0、1、2... を極 − a、 − a  − 1、...、 − b、 − b  − 1、... から分離するように描かれます。これは、z が非負の実数でない限り有効です。

ガウス超幾何関数はジョン変換として表すことができます(Gelfand、Gindikin、Graev 2003、2.1.2)。

6つの機能

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$$

_は2 F ₁ ( a , b ; c ; z )に連続していると呼ばれる。ガウスは₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) は、 a、b、c、zに関して有理係数を持つ、任意の2つの連続関数の線形結合として表すことができることを示した。これは、

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$$

関係は、図の右側の任意の2つの線を特定することによって与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$$

ここで、F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z )、F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z )などである。これらの関係を繰り返し適用すると、次の形式の任意の3つの関数間の C (z)上の線形関係が得られる。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$$

ここでm、n、lは整数である。^[3]

ガウスは連続関係を利用して、2 つの超幾何関数の商を連分数として表すいくつかの方法を示しました。たとえば、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

変換式は、引数zの異なる値における 2 つの超幾何関数を関連付けます。

オイラー変換は、 オイラーの積分表現から導かれる 2つのパフ変換を組み合わせることによって導かれる 。オイラーの第1および第2変換の拡張については、Rathie & Paris (2007)およびRakha & Rathie (2011)を参照のこと。これは線形結合として書くこともできる。 $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

1 −  c、c  − 1、a  −  b、b  −  a、a  +  b  −  c、c  −  a  −  bの 2 つの数が等しいか、そのうちの 1 つが 1/2 である場合、超幾何関数の二次変換が存在し、二次方程式で関連付けられた異なるz値に接続されます。最初の例は Kummer (1836) によって示され、完全なリストは Goursat (1881) によって示されました。典型的な例は次のとおりです。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

1− c、a − b、 a + b − cの符号が異なるか、そのうちの2つが1/3または-1/3である場合、超幾何関数の3次変換があり、3次方程式で関連付けられた異なるz値に接続されます。最初の例はGoursat（1881）によって示されました。典型的な例は次のとおりです。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

4次と6次の変換もいくつかある。他の次の変換は、a、b、cが特定の有理数である場合にのみ存在する（Vidunas 2005）。例えば、 $${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

特別な点における合計式のリストについては、Slater (1966、付録 III) を参照してください。そのほとんどは Bailey (1935) にも記載されています。Gessel & Stanton (1982) は、より多くの点での評価をさらに示しています。Koepf (1995) は、これらの恒等式のほとんどがコンピューター アルゴリズムによって検証できることを示しています。

ガウスの和定理はカール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられ、

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

これは、 z  = 1と置くことでオイラーの積分公式から導かれます。特別なケースとして、 ヴァンデルモンド恒等式が含まれます。

特別なケースとして、 ${\displaystyle a=-m}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

ダガルの公式はこれをz = 1における両側超幾何級数に一般化します 。

 超幾何関数は、二次変換を使用してz  = −1 をz = 1 に変更し、ガウスの定理を使用して結果を評価することで、 z = −1で評価できる場合が多数あります 。典型的な例は、エルンスト・クンマーにちなんで名付けられたクンマーの定理です。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

これはクンマーの二次変換から導かれる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

 ガウスの定理は、最初の恒等式に z = −1を置くことで成り立ちます。クンマーの和の一般化については、Lavoie、Grondin、Rathie (1996) を参照してください。

ガウスの第二の和定理は

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

ベイリーの定理は

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

ガウスの第 2 和定理とベイリーの和定理の一般化については、Lavoie、Grondin、Rathie (1996) を参照してください。

パラメータの特別な有理値において超幾何関数を代数数として与える式は他にもたくさんあり、そのいくつかはGessel & Stanton (1982)やKoepf (1995)に挙げられている。いくつかの典型的な例を以下に示す。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

これは次のように言い換えることができる。

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

−π < x < π かつTが（一般化）チェビシェフ多項式である場合。

• アペルシリーズ
• 基本的な超幾何級数
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• 一般超幾何関数
• 一般化された超幾何級数
• 超幾何分布
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• リーマンの微分方程式

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