運動エネルギー

古典力学では、点状物体（質量が一点に集中しているとみなせるほど小さい物体）または回転しない剛体の運動エネルギーは、物体の質量と速度の両方に依存します。運動エネルギーは、質量と速度の二乗の積の半分に等しくなります。式で表すと次のようになります。

$${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$

どこ${\displaystyle m}$質量と${\displaystyle v}$は物体の速度（速度の大きさ）です。SI単位系では、質量はキログラム、速度はメートル毎秒、結果として生じる運動エネルギーはジュールで測定されます。

例えば、80  kg（約180 ポンド）の質量が 毎秒18メートル（約40  mph、または65  km/h）で移動する場合の運動エネルギーは次のように計算されます。

$$${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$$$

人がボールを投げるとき、ボールが手から離れるときに速度を与えるために、その人はボールに仕事をします。動いているボールは何かに当たってそれを押し、当たったものに仕事をします。動いている物体の運動エネルギーは、静止状態からその速度まで動かすのに必要な仕事、または静止状態になるまでの間に物体が行うことができる仕事に等しくなります。正味の力 × 変位 = 運動エネルギー、つまり、

$${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$

運動エネルギーは速度の二乗に比例して増加するため、速度が2倍になった物体は運動エネルギーが4倍になります。例えば、一定の制動力を仮定すると、別の車の2倍の速度で走行している車は、停止するまでに4倍の距離を必要とします。この速度の4倍化に伴い、速度を2倍にするには4倍の仕事が必要になります。

物体の運動エネルギーは、その運動量と次の式で関係付けられる。 $${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle p}$勢い
• ${\displaystyle m}$物体の質量

質量が一定の剛体の並進運動エネルギー、すなわち直線運動に伴う運動エネルギーについて${\displaystyle m}$重心が速度で直線上を移動している${\displaystyle v}$上記のように、

$${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$

どこ：

• ${\displaystyle m}$物体の質量
• ${\displaystyle v}$これは物体の重心の速度です。

あらゆる物体の運動エネルギーは、測定する基準系によって変化します。しかし、エネルギーの出入りがない孤立系、すなわちエネルギーが流入も流出もしない系の全エネルギーは、測定する基準系において時間とともに変化しません。したがって、ロケットエンジンによって運動エネルギーに変換される化学エネルギーは、選択した基準系によってロケット本体と排気流の間で異なる割合で分配されます。これはオーベルト効果と呼ばれます。しかし、運動エネルギー、燃料の化学エネルギー、熱などを含む系の全エネルギーは、基準系の選択に関わらず、時間とともに保存されます。ただし、異なる基準系で運動する異なる観測者は、この保存されたエネルギーの値について意見が一致しないでしょう。

このような系の運動エネルギーは、基準系の選択によって決まります。そのエネルギーが最小値となる基準系は、運動量中心系、すなわち系の全運動量がゼロとなる基準系です。この最小運動エネルギーは、系全体の不変質量に寄与します。

剛体 Q が質量の中心を通る任意の線を中心に回転している場合、回転運動エネルギー(${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$これは、その可動部分の運動エネルギーの合計であり、したがって次のように表されます。

$${\displaystyle E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$$

どこ：

• ωは物体の角速度である。
• rは、任意の質量dmからその線までの距離です。
• ${\displaystyle I}$は物体の慣性モーメントであり、${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$。

（この式では、慣性モーメントは質量中心を通る軸に関して計算する必要があり、ωで測定される回転はその軸を中心としたものでなければなりません。物体が偏心形状のために揺れるシステムについては、より一般的な式が存在します。）

物体の系は、系内の物体の相対運動によって内部運動エネルギーを持つことがあります。例えば、太陽系では惑星や小惑星が太陽の周りを公転しています。ガスタンクの中では、分子があらゆる方向に動いています。系の運動エネルギーは、系に含まれる物体の運動エネルギーの総和です。

静止している巨視的な物体（すなわち、物体の運動中心に対応する基準系が選択されている物体）は、分子レベルまたは原子レベルで様々な種類の内部エネルギーを持つ可能性があり、これは分子の並進運動、回転運動、振動運動、電子の並進運動とスピン運動、および原子核のスピン運動による運動エネルギーとみなすことができます。これらはすべて、特殊相対性理論によれば、物体の質量に寄与します。巨視的な物体の運動について議論する場合、通常、言及される運動エネルギーは巨視的な運動のみのエネルギーです。しかし、あらゆる種類の内部エネルギーはすべて、物体の質量、慣性、および総エネルギーに寄与します。

流体力学では、非圧縮性流体の流れ場の各点における単位体積あたりの運動エネルギーを、その点における動圧と呼ぶ。 ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$

体積の単位であるVで割ると：

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle q}$は動圧であり、ρは非圧縮性流体の密度である。

単一物体の速度、ひいては運動エネルギーは、基準系に依存します（相対的）。適切な慣性基準系を選択することで、非負の値をとることができます。たとえば、観測者を通過する弾丸は、この観測者の基準系では運動エネルギーを持ちます。同じ弾丸は、弾丸と同じ速度で移動する観測者からは静止しているように見えるため、運動エネルギーはゼロになります。^{[ 12 ]}対照的に、物体のシステム全体の運動エネルギーは、すべての物体が同じ速度でない限り、適切な慣性基準系を選択してもゼロにすることはできません。それ以外の場合、すべての物体が静止しているような慣性基準系を選択できないため、運動エネルギー全体の最小値はゼロではありません。この最小運動エネルギーは、基準系に依存しないシステムの不変質量に寄与します。

システムの全運動エネルギーは、慣性系に依存します。それは、運動量中心系における全運動エネルギーと、質量全体が重心に集中している場合に持つであろう運動エネルギーの合計です。

これは簡単に示すことができます。${\displaystyle \textstyle \mathbf {V} }$をフレームkにおけるフレームiの重心の相対速度とする。

$${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},}$$

それから、

$${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$$

${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$は重心系における運動エネルギーであり、${\textstyle \int dm=M}$は総質量です。${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$は重心系における全運動量であり、定義によりゼロである。代入すると、次のようになる。^{[ 13 ]}

$${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$$

したがって、系の運動エネルギーは、運動量中心座標系、すなわち質量中心が静止している座標系（質量中心座標系、または他の運動量中心座標系）において最小となる。他の座標系では、質量中心の速度で運動する全質量に対応する追加の運動エネルギーが存在する。運動量中心座標系における系の運動エネルギーは不変量である（すべての観測者から同じ値に見える）。

物体の全運動エネルギーを、物体の重心の並進運動エネルギーと重心周りの回転エネルギー（回転エネルギー）の合計に分割すると便利な場合がある。

$${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$$

どこ：

• E _kは全運動エネルギーである
• E _tは並進運動エネルギーである
• E _rは、静止系における回転エネルギーまたは角運動エネルギーである。

したがって、飛行中のテニスボールの運動エネルギーは、回転による運動エネルギーと並進運動による運動エネルギーの合計である。

この計算の数学的な副産物は、質量とエネルギーが本質的に同じものであるという質量エネルギー等価式である。 ^{[ 15 ] : 51 [ 16 ] : 121}

$${\displaystyle E_{\text{rest}}=mc^{2}}$$

低速 ( v ≪ c ) では、相対論的運動エネルギーは古典的運動エネルギーでよく近似されます。これを確認するには、二項近似を適用するか、テイラー展開の最初の 2 項をべき乗で取ります。${\displaystyle v^{2}}$逆平方根の場合：^{[ 15 ]： 51}

$${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$

つまり、総エネルギーは${\displaystyle E_{k}}$静止質量エネルギーと低速時の非相対論的運動エネルギーに分割することができる。

物体が光速よりもはるかに遅い速度で移動する場合（例えば、地球上の日常的な現象）、級数の最初の 2 項が支配的になります。テイラー級数近似の次の項は

$${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$$

低速では小さい値になります。たとえば、10 km/s (22,000 mph)の速度では、非相対論的運動エネルギーの補正は 0.0417 J/kg (非相対論的運動エネルギーが 50 MJ/kg の場合) であり、100 km/s の速度では 417 J/kg (非相対論的運動エネルギーが 5 GJ/kg の場合)です。       

運動エネルギーと運動量の相対論的関係は次のように表される。

$${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$$

これはテイラー級数として展開することもでき、その最初の項はニュートン力学からの単純な式です。^{[ 17 ]}

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

これは、エネルギーと運動量の公式が特別な公理ではなく、質量とエネルギーの等価性および相対性理論の原理から生じる概念であることを示唆している。

慣例に従って

$${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}}$$

ここで粒子の4元速度は

$${\displaystyle u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$$

そして${\displaystyle \tau }$は粒子の固有時間であり、一般相対性理論では粒子の運動エネルギーを表す式も存在する。

粒子が運動量を持っている場合

$${\displaystyle p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }}$$

4元速度u _obsを持つ観測者の前を通過するとき、観測された粒子の全エネルギー（局所慣性系で測定）の式は次のようになる。

$${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }}$$

運動エネルギーは、全エネルギーから静止エネルギーを引いたものとして表すことができる。

$${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.}$$

対角かつ空間的に等方的な計量 ( g _tt、g _ss、g _ss、g _ss ) の場合を考えてみましょう。

$${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}}$$

ここで、v ^αは座標系に関して測定された通常の速度であり、

$${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$$

u ^tを解くと次のようになります

$${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$$

したがって、静止観測者（v = 0）の場合

$${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$$

したがって、運動エネルギーは次の形をとる。

$${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$$

残りのエネルギーを除外すると次のようになります。

$${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.}$$

この式は、平坦空間計量の場合の特殊相対論的ケースに帰着し、

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$$

一般相対性理論のニュートン近似では

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}}$$

ここでΦはニュートン重力ポテンシャルである。これは、質量のある天体の近くでは時計の進みが遅くなり、測定棒が短くなることを意味する。