解析関数の定義域の拡張（数学）
数学 の一分野である 複素解析 において 、 解析接続は 与えられた 解析関数の 定義域 を拡張する手法である。解析接続は、例えば 関数を最初に定義した 無限級数表現が 発散 する新しい領域などで、関数のさらなる値を定義することにしばしば成功する 。
しかしながら、段階的接続法は困難に直面するかもしれない。これらは本質的に位相的な性質を持ち、矛盾（複数の値を定義する）につながるかもしれない。あるいは、 特異点の存在に関係しているかもしれない。 複素変数が複数ある場合は、特異点が孤立した点である必要はなく、その調査が 層コホモロジー の開発の主な理由であるため、 状況はかなり異なる 。
最初の議論 自然対数の解析接続（虚数部） f が 複素平面 の 空でない 開部分集合 U上で定義された 解析関数 である とする 。V が U を 含む のより大きな開部分集合であり 、 F が V 上で定義された解析関数で あって 、
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
ふ （ ず ） = ふ （ ず ） ∀ ず ∈ あなた 、
{\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}
すると、 F は f の解析接続と呼ばれます 。言い換えると、 Fの U へ の 制限は 、最初に使用した関数 f です。
解析接続は次の意味で一意である： Vが 2つの解析関数 F 1 と F 2の 連結 領域であり 、 Uが V に含まれ、 U に含まれるすべての z に対して
ふ
1
（ ず ） =
ふ
2
（ ず ） = ふ （ ず ） 、
{\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}
それから
ふ
1
=
ふ
2
{\displaystyle F_{1}=F_{2}}
V の全体にわたって成り立つ 。これは、 F 1 − F 2が f の 開連結領域 U上で消滅する解析関数であるため、その領域全体で消滅する必要があるためである。これは、 正則関数 の 恒等定理 から直接導かれる 。
アプリケーション 複素解析で関数を定義する一般的な方法は、まず小さな領域でのみ関数を指定し、次に解析接続によって関数を拡張するというものです。
実際には、この接続は、まず 小さな領域で何らかの 関数方程式を確立し、次にこの方程式を使用して領域を拡張することによって行われることが多い。例としては、 リーマンゼータ関数 や ガンマ関数 がある。
普遍被覆 の概念は、 解析関数 の解析接続の自然な領域を定義するために最初に開発されました。関数の最大解析接続を見つけるという考えは、今度は リーマン面 のアイデアの発展につながりました 。
解析接続は リーマン多様体において、 アインシュタイン方程式 の解の文脈で用いられる 。例えば、 シュヴァルツシルト座標は クラスカル・シェケレス座標 に解析接続することができる 。 [1]
実例 U （1を中心とする）から V （a=(3+i)/2を中心とする）へ の解析接続 特定の解析関数 から始めます 。この場合、 を 中心とするべき 級数 で与えられます。
ふ
{\displaystyle f}
ず = 1
{\displaystyle z=1}
ふ （ ず ） =
∑
け = 0
∞
（ − 1
）
け
（ ず − 1
）
け
。
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}
コーシー・アダマールの定理 により 、その収束半径は 1 です。つまり、 は 境界 を持つ 開集合上で定義され、解析的です 。実際、この級数は で発散します 。
f
{\displaystyle f}
U
=
{
|
z
−
1
|
<
1
}
{\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}
∂
U
=
{
|
z
−
1
|
=
1
}
{\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}
z
=
0
∈
∂
U
{\displaystyle z=0\in \partial U}
それを知らないふりをして 、冪級数を別の点に再中心化することに焦点を当てます 。
f
(
z
)
=
1
/
z
{\displaystyle f(z)=1/z}
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
(
z
−
a
)
k
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.}
を計算し、この新しいべき級数 が に含まれない 開集合に収束するかどうかを判定します。収束する場合は、 よりも確実に大きい 領域まで 解析的に進みました 。
a
k
{\displaystyle a_{k}}
V
{\displaystyle V}
U
{\displaystyle U}
f
{\displaystyle f}
U
∪
V
{\displaystyle U\cup V}
U
{\displaystyle U}
からまで の距離は です 。 を の周りの 半径の円板と し 、 を その境界とします。すると となります 。 コーシーの微分公式を 使用して新しい係数を計算すると、次の式が得られます。
a
{\displaystyle a}
∂
U
{\displaystyle \partial U}
ρ
=
1
−
|
a
−
1
|
>
0
{\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}
0
<
r
<
ρ
{\displaystyle 0<r<\rho }
D
{\displaystyle D}
r
{\displaystyle r}
a
{\displaystyle a}
∂
D
{\displaystyle \partial D}
D
∪
∂
D
⊂
U
{\displaystyle D\cup \partial D\subset U}
a
k
=
f
(
k
)
(
a
)
k
!
=
1
2
π
i
∫
∂
D
f
(
ζ
)
d
ζ
(
ζ
−
a
)
k
+
1
=
1
2
π
i
∫
∂
D
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
ζ
−
1
)
n
d
ζ
(
ζ
−
a
)
k
+
1
=
1
2
π
i
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∫
∂
D
(
ζ
−
1
)
n
d
ζ
(
ζ
−
a
)
k
+
1
=
1
2
π
i
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∫
0
2
π
(
a
+
r
e
i
θ
−
1
)
n
r
i
e
i
θ
d
θ
(
r
e
i
θ
)
k
+
1
=
1
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∫
0
2
π
(
a
−
1
+
r
e
i
θ
)
n
d
θ
(
r
e
i
θ
)
k
=
1
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∫
0
2
π
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
(
a
−
1
)
n
−
m
(
r
e
i
θ
)
m
d
θ
(
r
e
i
θ
)
k
=
1
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
(
a
−
1
)
n
−
m
r
m
−
k
∫
0
2
π
e
i
(
m
−
k
)
θ
d
θ
=
1
2
π
∑
n
=
k
∞
(
−
1
)
n
(
n
k
)
(
a
−
1
)
n
−
k
∫
0
2
π
d
θ
=
∑
n
=
k
∞
(
−
1
)
n
(
n
k
)
(
a
−
1
)
n
−
k
=
(
−
1
)
k
∑
m
=
0
∞
(
m
+
k
k
)
(
1
−
a
)
m
=
(
−
1
)
k
a
−
k
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}r^{m-k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(m-k)\theta }d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}.}
最後の和は 等比級数 の k 次の微分から得られ、次の式を与える。
1
(
1
−
x
)
k
+
1
=
∑
m
=
0
∞
(
m
+
k
k
)
x
m
.
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}
それから、
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
(
z
−
a
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
a
−
k
−
1
(
z
−
a
)
k
=
1
a
∑
k
=
0
∞
(
1
−
z
a
)
k
=
1
a
1
1
−
(
1
−
z
a
)
=
1
z
=
1
(
z
+
a
)
−
a
{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}
は の周囲に 収束半径を持ちます。 を 選択した場合 、 は のサブセットではなく 、 の面積は よりも大きくなります 。プロットは の結果を示しています。
|
a
|
{\displaystyle |a|}
0
{\displaystyle 0}
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
V
{\displaystyle V}
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
a
=
1
2
(
3
+
i
)
.
{\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}
このプロセスを続けることができます。 を選択し 、 で冪級数を中央に置き 、新しい冪級数が収束する場所を決定します。領域に に含まれない点が含まれている場合は、 さらに 解析的に継続します。この特定の処理は 、穴の開いた複素平面全体に解析的に継続できます。
b
∈
U
∪
V
{\displaystyle b\in U\cup V}
b
{\displaystyle b}
U
∪
V
{\displaystyle U\cup V}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
C
∖
{
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}
この特定のケースでは、連続する中心が正の虚数部を持つか負の虚数部を持つ場合、得られた の値は同一になります。これは常に当てはまるわけではありません。特に、 上記の関数の
不定 積分である 複素 対数 の場合は当てはまりません。
f
(
−
1
)
{\displaystyle f(-1)}
以下に定義される冪級数は、 芽 の概念によって一般化される。解析接続の一般理論とその一般化は、 層理論 として知られている。
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
α
k
(
z
−
z
0
)
k
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}
円板 D r ( z 0 )、 r > 0
に収束する べき級数 で、次のように定義される。
D
r
(
z
0
)
=
{
z
∈
C
:
|
z
−
z
0
|
<
r
}
{\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}
。 ここでも以下でも、一般性を失うことなく、 r が∞であっても、常にそのような r が最大であると仮定することに注意してください。また、小さな開集合上で定義された解析関数から始めるのと同等であることにも注意してください。ベクトル
g
=
(
z
0
,
α
0
,
α
1
,
α
2
,
…
)
{\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}
はf の 芽 です 。 g の 基底 g 0 は z 0 、 g の 幹 は (α 0 、 α 1 、 α 2 、 ...)、 g の トップ g 1 はα 0です。 g のトップは z 0 における f の値です 。
任意のベクトル g = ( z 0 , α 0 , α 1 , ...) は、ある収束半径 r > 0 を持つ z 0 の 周りの解析関数の冪級数を表す場合、細菌です。 したがって、細菌の集合について安全に話すことができます 。
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
細菌の集合のトポロジー g と h を 芽 とする 。 もし r が g の収束半径であり 、 g と h によって定義されるべき級数が 2 つの領域の共通部分で同一の関数を指定する場合、 h は g によって生成される（または g と互換性がある）といい、 g ≥ h と書きます。この互換性条件は推移的でも対称的でも反対称的でもない。 推移性 によって関係を 拡張する と対称関係が得られ、したがってこれは芽 上の 同値関係 でもある（順序付けではない）。推移性 によるこの拡張は解析接続の 1 つの定義である。同値関係は と表記される 。
|
h
0
−
g
0
|
<
r
{\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}
≅
{\displaystyle \cong }
上の 位相 を 定義することができます 。r > 0とし、
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
U
r
(
g
)
=
{
h
∈
G
:
g
≥
h
,
|
g
0
−
h
0
|
<
r
}
.
{\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}
集合 U r ( g ) は、すべての r > 0 に対して、 上の位相の 開集合の基底 を定義します 。
g
∈
G
{\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
の 連結成分 （ すなわち同値類）は 層 と呼ばれます。また、によって 定義される写像 （rは g の収束半径）は チャート であることにも注意してください。このようなチャートの集合は の 地図帳 を形成し 、したがって は リーマン面 です 。は 普遍解析関数 と呼ばれることもあります 。
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
ϕ
g
(
h
)
=
h
0
:
U
r
(
g
)
→
C
,
{\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
解析接続の例
L
(
z
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
(
z
−
1
)
k
{\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}
はz = 1付近の 自然対数 に対応するべき級数である。このべき級数は 胚芽 に変換することができる。
g
=
(
1
,
0
,
1
,
−
1
2
,
1
3
,
−
1
4
,
1
5
,
−
1
6
,
…
)
{\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}
この芽の収束半径は 1 なので、それに対応する 層 S が存在します。これが対数関数の層です。
解析関数の一意性定理は、解析関数の層にも適用されます。解析関数の層にゼロ芽が含まれる場合 (つまり、層が近傍で一様にゼロになる場合)、層全体がゼロになります。この結果を踏まえると、上記のように対数関数の 層 Sの任意の芽 g を取り、それをべき級数 f ( z ) に変換すると、この関数は exp( f ( z )) = z という特性を持つことがわかります。解析関数に 逆関数定理 のバージョンを使用すると 、指数写像のさまざまな逆写像を構築できますが、それらはすべて S 内の何らかの芽によって表されることがわかります。その意味で、 S は 指数写像の「唯一の真の逆写像」です。
古い文献では、解析関数の層は 多価関数 と呼ばれていました。 一般的な概念については
層を参照してください。
自然の境界 べき級数の収束半径が r で、その円の内部に解析関数 fが定義されているとします。収束円上の点を考えます。 f が 解析拡張を持つ 近傍がある点は 正則 で、そうでない場合は 特異 です 。円のすべての点が特異である場合、円は 自然な境界 です。
より一般的には、 f が解析的である任意の開連結領域に定義を適用し 、領域の境界の点を正則または特異として分類することができます。すべての点が特異であれば、領域境界は自然境界であり、その場合、領域は 正則領域 です。
例 I: ゼロに自然境界を持つ関数 (素数ゼータ関数) いわゆる 素数ゼータ関数を 次のように
定義する 。
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
P
(
s
)
:=
∑
p
prime
p
−
s
.
{\displaystyle P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.}
この関数は、リーマンゼータ関数 の総和形式に類似しており 、 と同じ総和関数であるが、 すべての正の 自然数にわたって総和をとるのではなく、 添え字が素数 のみに制限されている点が異なる。素ゼータ関数は、 となるすべての 複素数 に解析接続を持ち、この事実は、 を リーマンゼータ関数 の対数で 表すことから次 のように導かれる。
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
0
<
ℜ
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\Re (s)<1}
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
P
(
s
)
=
∑
n
≥
1
μ
(
n
)
log
ζ
(
n
s
)
n
.
{\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.}
は に単純で除去不可能な極を持つ ので、 は に単純極を持つ ことがわかります 。点の集合は
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
s
:=
1
{\displaystyle s:=1}
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
s
:=
1
k
,
∀
k
∈
Z
+
{\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}
Sing
P
:=
{
k
−
1
:
k
∈
Z
+
}
=
{
1
,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
…
}
{\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}}
に蓄積点 0（ としての列の極限 ）があることから、ゼロは の自然な境界を形成することがわかります 。これは、ゼロより左（またはゼロにおける）の s について が解析接続を持たないこと 、つまり の ときへの接続は不可能であることを意味します。注意点として、この事実は、たとえば に対して 、実部がゼロについて対称な区間で複素路積分を実行する場合、問題になる可能性があります。ここで、被積分関数は 、本質的に に
依存する分母を持つ関数です。
k
↦
∞
{\displaystyle k\mapsto \infty }
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
0
≥
ℜ
(
s
)
{\displaystyle 0\geq \Re (s)}
I
F
⊆
C
such that
ℜ
(
s
)
∈
(
−
C
,
C
)
,
∀
s
∈
I
F
{\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{such that}}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}}
C
>
0
{\displaystyle C>0}
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
例 II: 典型的な空隙級数 (単位円の部分集合としての自然境界) 整数に対して 、 c 次の級数展開によって
c 次の 空隙級数を定義する。
c
≥
2
{\displaystyle c\geq 2}
L
c
(
z
)
:=
∑
n
≥
1
z
c
n
,
|
z
|
<
1.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.}
明らかに、 を 満たす 任意の z に対して の関数方程式が存在する。任意 の
整数 に対して の別の関数方程式が存在する ことも容易に分かる。
c
n
+
1
=
c
⋅
c
n
{\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
L
c
(
z
)
=
z
c
+
L
c
(
z
c
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})}
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
L
c
(
z
)
=
∑
i
=
0
m
−
1
z
c
i
+
L
c
(
z
c
m
)
,
∀
|
z
|
<
1.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.}
任意の正の自然数 c に対して、空隙級数関数は で発散します。 を 他の複素数 z に解析接続する問題について考えます。 後で説明するように、任意の に対して 、 関数は1 の - 乗根 で発散します。したがって、そのようなすべての根によって形成される集合は単位円の境界上で稠密であるため、 係数が 1 を超える
複素数 z への の解析接続は存在しません。
z
=
1
{\displaystyle z=1}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
|
z
|
>
1.
{\displaystyle |z|>1.}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
c
n
{\displaystyle c^{n}}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
この事実の証明は、 [2]の 場合の標準的な議論から一般化される。 すなわち、整数に対して 、
c
:=
2.
{\displaystyle c:=2.}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
R
c
,
n
:=
{
z
∈
D
∪
∂
D
:
z
c
n
=
1
}
,
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},}
ここで、 は 複素平面上の単位開円を表し、 、すなわち、 となる単位円上または単位円内に存在する 異なる 複素数 z が存在する 。ここで、証明の重要な部分は、 のときの関数方程式を使用して、 である ことを示すこと
である。
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
|
R
c
,
n
|
=
c
n
{\displaystyle |{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}}
c
n
{\displaystyle c^{n}}
z
c
n
=
1
{\displaystyle z^{c^{n}}=1}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
∀
z
∈
R
c
,
n
,
L
c
(
z
)
=
∑
i
=
0
c
n
−
1
z
c
i
+
L
c
(
z
c
n
)
=
∑
i
=
0
c
n
−
1
z
c
i
+
L
c
(
1
)
=
+
∞
.
{\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}
したがって、単位円の境界上の任意の弧について、 この弧内には となる点 z が無数に存在します。この条件は、 の任意の固定された選択に対して、円が 関数の自然な境界を形成する と言うことと同等です。 したがって、これらの関数には単位円の内部を超えて解析接続はありません。
L
c
(
z
)
=
∞
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }
C
1
:=
{
z
:
|
z
|
=
1
}
{\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=1\}}
L
c
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}
c
∈
Z
c
>
1.
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} \quad c>1.}
モノドロミー定理 モノドロミー定理は、直接的な解析接続 （つまり、解析関数のより大きな集合上の解析関数への拡張）
の存在に対する十分な条件を与えます。
が開集合で、 f が D 上の解析関数であると します 。 G が D を 含む 単連結 領域 で 、 f が D 内の ある不動点 aから始まる G 内のあらゆるパスに沿って解析接続を持つ 場合、 f は G に直接解析接続を持ちます 。
D
⊂
C
{\displaystyle D\subset \mathbb {C} }
上記の言語では、これは、 G が 単連結な領域であり、 Sが基底点の集合に G が 含まれる層である場合、 S に属する芽を持つ G 上の 解析関数 f が 存在することを意味します。
アダマールのギャップ定理 べき級数の場合
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
z
n
k
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}
と
lim inf
k
→
∞
n
k
+
1
n
k
>
1
{\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}
収束円は自然な境界である。このようなべき級数は 隙間級数と呼ばれる。この定理は、オイゲン・ファブリ（ ファブリのギャップ定理 を参照）と ジョージ・ポリア によって実質的に一般化された 。
ポリアの定理 させて
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
α
k
(
z
−
z
0
)
k
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}
が冪級数であるとき、 ε k ∈ {−1, 1}
が存在し、
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
ε
k
α
k
(
z
−
z
0
)
k
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}
自然な境界として、
z 0 の周りの f の収束円を持ちます。
この定理の証明にはアダマールのギャップ定理が利用されます。
参照
参考文献
^ Kruskal, MD (1960-09-01). 「シュワルツシルト計量の最大拡張」. 物理評論 . 119 (5): 1743–1745. Bibcode :1960PhRv..119.1743K. doi :10.1103/PhysRev.119.1743. ^ 自然境界については、 MathWorld ページの例を参照してください。
ラース・アルフォース (1979) 『複素解析』 （第3版） マグロウヒル pp. 172, 284。 ルートヴィヒ・ビーバーバッハ (1955)。 分析要項 。スプリンガー・フェルラーク。 P. ディーン (1957)。 『テイラー級数：複素変数関数理論入門 』ニューヨーク：Dover Publications, Inc.
外部リンク 
