ほぼ整数

娯楽数学では、ほぼ整数（または近似整数）とは、整数ではないが 1 に非常に近い数値を指します。ほぼ整数は、予期しない状況で出現した場合に興味深いものと見なされることがあります。

ほぼ整数の例としては、黄金比 の高次累乗が挙げられます。たとえば、次のようになります。 ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}}$

これらの累乗が整数に近づくという事実は偶然ではありません。黄金比はピソット・ヴィジャヤラガヴァン数だからです。

フィボナッチ数やルーカス数の比率もほぼ整数になることがあります。たとえば、

• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Fib} (360)}{\operatorname {Fib} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195}$
• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497}$

上記の例は、次のシーケンスによって一般化できます。これは、精度が増すにつれて Lucas 数に近づく近似整数を生成します。

• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Fib} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})}$
• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)}$

nが増加すると、 a ( n )の 10 分の 1 の桁から始まる連続する 9 または 0 の数は無限に近づきます。

一致しない近似整数の他の発生には、3つの最大のヒーグナー数が含まれます。

• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007}$

ここでの非一致は、一般的な単純な形式で表現するとよりよく理解できる。^[2]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-(2.225\ldots )\times 10^{-4}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-(1.337\ldots )\times 10^{-6}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-(7.499\ldots )\times 10^{-13}}$

どこ

${\displaystyle 21=3\times 7,\quad 231=3\times 7\times 11,\quad 744=24\times 31}$

正方形になっている理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものです。この定数はラマヌジャン定数 と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

数学定数πとeを含む整数のほとんどは、数学者を困惑させてきました。例を挙げると、この一見驚くべき偶然の説明は、2023年9月にA. Domanによって与えられたもので、次のように ヤコビのシータ関数 に関連する合計の結果です。 最初の項が優勢です。なぜなら、合計の項の合計は であるためです。したがって、合計は に切り捨てられ、を解く と が得られます 。 の近似値を書き直し、 の近似値を使用すると が得られます。 したがって、項を並べ替えると が得られます。皮肉なことに、 の粗い近似値は、精度の桁違いの精度をもたらします。 ^[1]${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.999099979189\ldots }$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle \sim 0.0003436.}$${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle 7\pi \approx 22}$$${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$${\displaystyle 7\pi }$

これらの定数を含む別の例は次のとおりです。${\displaystyle e+\pi +e\pi +e^{\pi }+\pi ^{e}=59.9994590558\ldots }$

• 統合失調症の数

• JS マルコビッチ 偶然、データ圧縮、そしてマッハの思考の経済性の概念