アインシュタイン場の方程式

一般相対性理論では、アインシュタイン場方程式（EFE 、アインシュタイン方程式とも呼ばれる）は、時空の幾何学と、その内部における物質エネルギーの分布を関連付けている。^{[ 1 ]}

これらの方程式は、アルベルト・アインシュタインによって1915年にテンソル方程式の形で発表されました^{[ 2 ]。}これは局所的な時空の曲率（アインシュタインテンソル、その時空内の局所的なエネルギー、運動量応力エネルギーテンソル）。 ^{[ 3 ]}

電磁場がマクスウェル方程式を介して電荷と電流の分布に関連付けられるのと同様に、EFEは時空の幾何学を質量エネルギー、運動量、および応力の分布に関連付けます。つまり、時空における応力・エネルギー・運動量の特定の配置に対して、時空の計量テンソルを決定します。計量テンソルとアインシュタインテンソルの関係により、この方法で使用する場合、EFEは一連の非線形偏微分方程式として記述できます。EFEの解は計量テンソルの成分です。結果として得られる幾何学における粒子と放射の慣性軌道（測地線）は、測地線方程式を使用して計算されます。

EFEは局所的なエネルギー・運動量保存を意味するだけでなく、弱い重力場と光速よりはるかに小さい速度の極限ではニュートンの万有引力の法則に帰着する。^{[ 4 ]}

EFEの厳密解は、対称性などの単純化仮定の下でのみ得られます。厳密解の特殊なクラスは、回転するブラックホールや膨張する宇宙など、多くの重力現象をモデル化するため、最も頻繁に研究されています。時空が平坦な時空からわずかにずれているだけであると近似することで、さらに単純化が図られ、線形化されたEFEが得られます。これらの方程式は、重力波などの現象を研究するために使用されます。

アインシュタイン場の方程式 (EFE) は、次の形式で記述できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$

どこ$\displaystyle G_{\mu \nu }}$はアインシュタインテンソルです。$\displaystyle g_{\mu \nu }}$は計量テンソルであり、$\displaystyle T_{\mu \nu }}$は応力エネルギーテンソルであり、${\displaystyle \Lambda }$は宇宙定数であり、${\displaystyle \kappa }$はアインシュタインの重力定数です。

アインシュタインテンソルは次のように定義される。

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

どこ$\displaystyle R_{\mu \nu }}$はリッチ曲率テンソルであり、${\displaystyle R}$はスカラー曲率です。これは、計量​​テンソルとその1階および2階微分のみに依存する、対称で発散のない2次テンソルです。

アインシュタインの重力定数は次のように定義される^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$

どこ${\displaystyle G}$はニュートンの重力定数であり、${\displaystyle c}$は真空中の光速です。

EFEは次のようにも書ける。

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

標準単位では、左辺の各項はL ⁻²の次元を持つ。

左側の式は計量によって決定される時空の曲率を表し、右側の式は時空の応力・エネルギー・運動量を表します。したがって、EFEは、応力・エネルギー・運動量がどのように時空の曲率を決定するかを規定する一連の方程式として解釈できます。

これらの方程式は、一般相対性理論の数学的定式化の中核を成す。これらは、自由落下する試験物体が時空をどのように移動するかを規定する測地線方程式^{[ 9 ]}を容易に導き出す。^{[ 10 ]}

EFEは、対称な4  ×  4テンソルの集合を関連付けるテンソル方程式です。各テンソルは10個の独立した成分を持ちます。4つのビアンキ恒等式により、独立した方程式の数は10個から6個に減り、計量には4つのゲージ固定自由度が残ります。これは、座標系を選択する自由度に対応します。

アインシュタイン場の方程式は当初4次元理論の文脈で定式化されましたが、一部の理論家は、${\displaystyle n}$次元。^{[ 11 ]}一般相対性理論以外の文脈における方程式は、依然としてアインシュタイン場方程式と呼ばれている。真空場方程式（$\displaystyle T_{\mu \nu }}$（どこでもゼロ）アインシュタイン多様体を定義する。

これらの方程式は見た目よりも複雑です。応力エネルギーテンソルの形で物質とエネルギーの特定の分布が与えられた場合、EFEは計量テンソルの方程式であると理解されます。$\displaystyle g_{\mu \nu }}$リッチテンソルとスカラー曲率の両方が複雑な非線形な方法で計量に依存するため、EFE を完全に書き出すと、10 個の連立非線形双曲楕円型偏微分方程式のシステムになります。^{[ 12 ]}

アインシュタイン場の方程式では $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$ 宇宙定数を含む項${\displaystyle \Lambda }$彼が最初に発表したバージョンには含まれていなかった。アインシュタインはその後、膨張も収縮もしない宇宙を想定するために、宇宙定数にその項を追加した。しかし、この試みは失敗に終わった。理由は以下のとおりである。

• この方程式で記述される任意の望ましい定常状態解は不安定であり、
• エドウィン・ハッブルの観測により、私たちの宇宙は膨張していることが明らかになった。

アインシュタインはその後放棄した${\displaystyle \Lambda }$ジョージ・ガモフに「宇宙論用語の導入は彼の人生最大の失策だった」と語った。^{[ 20 ]}

この項を含めることで矛盾は生じません。長年にわたり、宇宙定数はほぼ普遍的にゼロであると仮定されていました。より最近の天文学的観測では、宇宙の加速膨張が示されており、これを説明するために、正の値の${\displaystyle \Lambda }$が必要である。^{[ 21 ] [ 22 ]}宇宙定数の影響は、銀河またはそれ以下のスケールでは無視できる。

アインシュタインは宇宙定数を独立したパラメータと考えていたが、場の方程式におけるその項は代数的に反対側に移項して、応力エネルギーテンソルの一部として組み込むこともできる。 $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

このテンソルは、エネルギー密度を持つ真空状態を表します。${\displaystyle \rho _{\text{vac}}}$等方性圧力${\displaystyle p_{\text{vac}}}$これらは固定定数であり、次のように与えられる。 $${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$ ここで想定されるのは${\displaystyle \Lambda }$SI単位はm ⁻²で、${\displaystyle \kappa }$上記のように定義される。

宇宙定数の存在は、真空エネルギーと符号が逆の圧力の存在と等価である。このため、一般相対性理論では「宇宙定数」と「真空エネルギー」という用語が同義語として用いられるようになった。

エネルギー・運動量テンソル${\displaystyle T_{\mu \nu }}$検討対象領域で がゼロである場合、場の方程式は真空場の方程式とも呼ばれる。 を設定することで${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$トレース反転場方程式では、真空場方程式（「アインシュタイン真空方程式」（EVE）とも呼ばれる）は次のように書くことができる。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

宇宙定数がゼロでない場合、方程式は次のようになる。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

真空場方程式の解は真空解と呼ばれます。平坦なミンコフスキー空間は、真空解の最も単純な例です。非自明な例としては、シュワルツシルト解やカー解などがあります。

リッチテンソルがゼロとなる多様体、${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$はリッチ平坦多様体と呼ばれ、リッチテンソルが計量に比例する多様体はアインシュタイン多様体と呼ばれます。

エネルギー・運動量テンソル${\displaystyle T_{\mu \nu }}$これは自由空間における電磁場のそれ、つまり電磁応力エネルギーテンソルが$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$ が使用される場合、アインシュタイン場の方程式はアインシュタイン-マクスウェル方程式と呼ばれます（宇宙定数付き）。${\displaystyle \Lambda }$（従来の相対性理論ではゼロとみなされる）： $${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

さらに、共変マックスウェル方程式は自由空間にも適用可能です。^{[ 23 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta$$ ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta  ;\gamma }+F_{\beta \gamma  ;\alpha }+F_{\gamma \alpha  ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0,\end{aligned}}} ここで、セミコロンは共変微分を表し、角括弧は反対称化を表します。最初の式は、 2形式の4発散が${\displaystyle F}$1つ目は、その外微分がゼロであること、2つ目は、その外微分がゼロであることです。後者から、ポアンカレの補題により、座標図において電磁場ポテンシャルを導入できることが導かれます。${\displaystyle A_{\alpha }}$そのため^{[ 23 ]}$${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha$$ ;\beta }-A_{\beta  ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }} ここで、コンマは偏微分を表します。これは、導出された共変マックスウェル方程式と同等とみなされることがよくあります。 ^{[ 24 ]}ただし、この方程式には、大域的に定義されたポテンシャルを持たない可能性のある大域解が存在します。 ^{[ 25 ]}

アインシュタイン場の方程式の解は時空の計量です。これらの計量は、時空内の物体の慣性運動を含む時空の構造を記述します。場の方程式は非線形であるため、常に完全に解けるとは限りません（つまり、近似を行わずに解けるとは限りません）。たとえば、2つの質量を持つ物体が存在する時空（たとえば、連星系の理論モデル）の完全な解は知られていません。しかし、このような場合、通常は近似が行われます。これらは一般にポストニュートン近似と呼ばれます。それでも、場の方程式が完全に解かれたケースがいくつかあり、それらは厳密解と呼ばれます。^{[ 11 ]}

アインシュタイン方程式の厳密解の研究は、宇宙論における重要な研究分野の一つである。この研究は、ブラックホールの存在予測や、宇宙の進化に関する様々なモデルの構築につながる。

また、エリスとマッカラムが先駆的に行った直交フレーム法によって、アインシュタイン場の方程式の新しい解を発見することもできます。^{[ 26 ]}このアプローチでは、アインシュタイン場の方程式は、連立非線形常微分方程式のセットに還元されます。HsuとWainwrightが議論したように、^{[ 27 ]}アインシュタイン場の方程式の自己相似解は、結果として得られる力学系の固定点です。これらの方法を使用して、LeBlanc ^{[ 28 ]}とKohliとHaslam ^{[ 29 ]}によって新しい解が発見されています。

EFEの非線形性により、厳密解を見つけるのは困難です。場の方程式を解く一つの方法は、近似を行うことです。すなわち、重力源から遠く離れた場所では重力場が非常に弱く、時空はミンコフスキー空間に近似するというものです。この場合、計量はミンコフスキー計量と、真の計量とミンコフスキー計量とのずれを表す項の和として表され、高次の項は無視されます。この線形化手順は、重力放射現象を研究するために使用できます。

EFEは記述どおりに計量テンソルの逆行列を含んでいますが、計量テンソルを多項式形式で含み、逆行列を含まない形式に整理することができます。まず、4次元における計量の行列式は次のように記述できます。 $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$レヴィ＝チヴィタ記号 を用いると、4次元における計量の逆数は次のように表される。 $${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

この計量の逆数の式を方程式に代入し、両辺に適切なべき乗を掛けると${\displaystyle \det(g)}$分母からそれを消去すると、計量テンソルとその1階および2階導関数に関する多項式方程式が得られます。方程式が導出されるアインシュタイン・ヒルベルト作用も、場の適切な再定義によって多項式形式で記述できます。^{[ 30 ]}

一般相対性理論に関する資料を参照してください。

• ミスナー、チャールズ・W. 、ソーン、キップ・S.、ウィーラー、ジョン・アーチボルド（1973）。重力。サンフランシスコ：WHフリーマン。ISBN 978-0-7167-0344-0。
• ワインバーグ、スティーブン（1972）。重力と宇宙論。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-92567-5。
• ピーコック、ジョン A. (1999).宇宙論物理学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-41072-4。

• 「アインシュタイン方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• カリフォルニア工科大学による相対性理論のチュートリアル― アインシュタインの場の方程式への簡単な入門。
• アインシュタイン方程式の意味― アインシュタインの場の方程式、その導出、そしてそのいくつかの帰結についての解説
• MIT物理学教授エドモンド・バーツィンガーによるアインシュタインの場方程式に関するビデオ講義。
• アーチと足場：アインシュタインはいかにして場の方程式を発見したか Physics Today 2015年11月号、場の方程式の発展の歴史