有限差分

有限差分は、 f  ( x + b ) − f  ( x + a )という形式の数学的表現です。有限差分をb − aで割ると、差分商が得られます。有限差分による導関数の近似は、微分方程式、特に境界値問題の数値解法における有限差分法において中心的な役割を果たします。

差分演算子 は、一般に と表記され、関数f をで定義される 関数にマッピングする演算子です。差分方程式は、微分方程式が導関数 を含むのと同じように、有限差分演算子を含む関数方程式です。差分方程式と微分方程式には、特に解法において多くの類似点があります。特定の再帰関係は、反復記法を有限差分に置き換えることによって差分方程式として記述できます。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta [f]}$$${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

数値解析では、微分を近似するために有限差分が広く使用されており、「有限差分」という用語は「微分差分近似」の略語としてよく使用されます。^{[1] [2] [3]}有限差分近似は、上記の用語では有限差分商です。

有限差分は1715年にブルック・テイラーによって導入され、ジョージ・ブール（1860年）、LMミルン・トムソン（1933年）、カーロイ・ジョーダン（  1939年）の著作でも抽象的で自立した数学的対象として研究されてきた。有限差分の起源は、ヨスト・ビュルギのアルゴリズム（ 1592年頃）の1つと、アイザック・ニュートンを含む他の人々の著作に遡る。有限差分の形式的な計算は、無限小計算の代替として見ることができる。^[4]

一般的に考えられる基本的なタイプは、前方差分、後方差分、中心差分の3つです。^{[1] [2] [3]}

あ関数fの前方差分は次のように定義される関数である。 ${\displaystyle \Delta _{h}[f],}$ $${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

アプリケーションに応じて、間隔hは可変または定数になります。省略された場合、hは1とみなされます。つまり、 $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

あ後方差分は、 x + hと x値の代わりに、xとx − hの関数値を使用します。 $${\displaystyle \nabla_{h}[f](x)=f(x)-f(xh)=\Delta_{h}[f](xh).}$$

最後に、中心差は次のように与えられる。 $${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).}$$

有限差分は、典型的には数値微分 において、導関数の近似としてよく使用されます。

関数fの点xにおける微分は、次の極限 で定義される。 $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

hがゼロに近づくのではなく、固定された（ゼロでない）値を持つ場合、上記の式の右辺は次のように書かれます。 $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

したがって、 hが小さい場合、前進差分をhで割ると導関数を近似できる。この近似の誤差はテイラーの定理から導かれる。fが2回微分可能であると仮定すると、 $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

後方差分についても同じ式が当てはまります。 $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

しかし、中心差分（中心化差分とも呼ばれる）はより正確な近似値を与える。fが3回微分可能な場合、 $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

しかし、中心差分法の 主な問題^{[要出典]は、振動関数がゼロ導関数を生成する可能性があることです}。nが奇数の場合にf  ( nh ) = 1、n が偶数 の場合にf  ( nh ) = 2の場合、中心差分方式で計算するとf  ′( nh ) = 0 になります。これは、 fの定義域が離散的である場合に特に問題になります。対称導関数も参照してください。

有限差分が有限差分近似を意味すると考える著者は、前方差分/後方差分/中心差分をこのセクションで与えられた商として定義する（前のセクションで与えられた定義を使用する代わりに）。^{[1] [2] [3]}

同様の方法で、高階導関数と微分演算子の差分近似値を得ることができます。たとえば、f  ′( x + ⁠h/2⁠ ) およびf  ′( x − ⁠h/2⁠）に、 xにおけるf  ′ の微分に対する中心差分公式を適用すると、 fの2次微分の中心差分近似が得られます。

第二段階の中心

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

同様に、他の差分式を再帰的に適用することもできます。

2次順転送

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

2番目の順序逆

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

より一般的には、 n次の前方差分、後方差分、中心差分はそれぞれ次のように表される。

フォワード

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

後方

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

中央

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

これらの式では、和の符号の後に二項係数が使用され、次のように示される（^に
_私はパスカルの三角形の各行は、 iの各値の係数を示します。

中心差は、奇数のnに対しては、hに非整数を掛けたものになることに注意してください。これは離散化の間隔を変えることになるため、しばしば問題となります。この問題は 、および の平均を代入することで解決できます。 ${\displaystyle \ \delta ^{n}[f](\ x-{\tfrac {\ h\ }{2}}\ )\ }$${\displaystyle \ \delta ^{n}[f](\ x+{\tfrac {\ h\ }{2}}\ )~.}$

数列に適用された前進差分は、数列の二項変換と呼ばれることもあり、いくつかの興味深い組み合わせ特性を持ちます。前進差分は、ネルンド・ライス積分を使用して評価できます。これらの種類の数列の積分表現は興味深いもので、積分は漸近展開法や鞍点法を使用して評価できることが多いためです。対照的に、前進差分級数は、二項係数がn が大きいと急速に大きくなるため、数値的に評価するのが非常に困難です。

これらの高次の差とそれぞれの導関数の関係は単純であり、 $${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o\left(h^{2}\right).}$$

高階差分を使用して、より適切な近似を構築することもできます。前述のように、1 階差分は 1 階導関数をh階の項まで近似します。ただし、組み合わせは f  ′( x )をh ²階の項まで 近似します。これは、上記の式をテイラー級数に展開するか、以下で説明する差分法を使用して 証明できます。$${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$

必要に応じて、前方差分、後方差分、中心差分を混合して、任意の点を中心に差分を計算できます。

関数P ( x )で表現されるn ≥ 1の多項式において、実数a ≠ 0およびbと、より低次の項(存在する場合) がlotとしてマークされている場合: $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.}$$

n回のペアワイズ差を計算すると、次の結果が得られる。ここでh ≠0は算術差を表す実数である。^[5] $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

最高次の項の係数のみが残ります。この結果はxに関して一定であるため、それ以上のペアワイズ差は値0になります。

Q ( x ) を1次の多項式とします。 $${\displaystyle \Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!}$$

これは基本ケースでそれを証明します。

R ( x ) をm  − 1次多項式（ m ≥ 2 ）とし、最高次項の係数をa ≠ 0とする。次式がm  − 1次多項式すべてに当てはまると仮定する。 $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!}$$

S ( x ) をm次多項式とする。1つのペアワイズ差がある。 $${\displaystyle \Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)}$$

ahm ≠ 0なので、これはm − 1次多項式T ( x )となり、ahm は最高次項の係数となります。上記の仮定とm − 1 個のペアワイズ差分 ( S ( x )の合計ペアワイズ差分はm 個) を考慮すると、次のことがわかります。 $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!}$$

これで証明は完了です。

この恒等式は、 x軸上の 1 つの点から次の点までの差が定数h ≠ 0である複数の点( x、y )を横切る最低次多項式を見つけるために使用できます。たとえば、次の点があるとします。

差分表を使用できます。差分表では、最初のyの右側にあるすべてのセルについて、セル( a + 1、b + 1)に対して、すぐ左の列のセルとの次の関係が存在し、左上のセルの座標は(0、0)です。 $${\displaystyle (a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)}$$

最初の項を見つけるには、次の表を使用できます。

これは定数648になります。算術差は、上で述べたようにh = 3です。定数に達するために必要なペアワイズ差の数を考えると、これは3次多項式であると推測できます。したがって、上記の恒等式を使用すると、次のようになります。 $${\displaystyle 648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162}$$

を解くと、その値は4であることがわかります。したがって、多項式の最初の項は4 x ³です。

次に、多項式の次数を下げる最初の項を減算し、再び有限差を求めます。

ここでは、2 つのペアの差異のみで定数が達成されるため、次の結果が得られます。 $${\displaystyle -306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18}$$

−17であるaを解くと、多項式の2番目の項は−17 x ²になります。

2 番目の項を減算して次の項に進みます。

したがって、定数は 1 回のペアワイズ差分だけで達成されます。 $${\displaystyle 108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3}$$

a = 36なので、多項式の 3 番目の項は36 xであることがわかります。3 番目の項を引くと次のようになります。

ペアワイズ差がない場合、多項式の4番目で最後の項は定数−19であることがわかります。したがって、最初の表のすべての点を切る最低次多項式が見つかります。 $${\displaystyle 4x^{3}-17x^{2}+36x-19}$$

線形代数を使用すると、任意の次数の導関数に対して、評価点の左側の任意の数の点と右側の（異なる可能性のある）数の点を利用する差分近似を構築できます。これは、評価点の周りの点の合計のテイラー展開が、目的の導関数のテイラー展開に最も近似するように線形システムを解くことを含みます。このような式は、六角形またはダイヤモンド形のグリッド上にグラフィカルに表すことができます。 ^[6] これは、グリッドの端に近づくにつれて、片側でサンプリングする点の数が少なくなるグリッド上で関数を微分するのに役立ちます。^[7] 任意のステンシルと目的の導関数次数が与えられた場合、非標準（非整数）ステンシルの差分近似を構築できます。^[8]

• すべての正のkとnに対して $${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$$
• ライプニッツの法則:$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).}$$

差分法の重要な応用は数値解析、特に常微分方程式と偏微分方程式の数値解を求める数値微分方程式です。微分方程式に現れる導関数を、それを近似する差分に置き換えるという考え方です。結果として得られる方法は、差分法と呼ばれます。

有限差分法の一般的な応用分野は、熱工学、流体力学など の計算科学および工学分野です。

ニュートン級数は、アイザック・ニュートンにちなんで名付けられたニュートン前進差分方程式の項から構成されます。本質的には、1687年にニュートンが『プリンキピア・マセマティカ』で初めて発表したグレゴリー・ニュートン補間公式^[9]（アイザック・ニュートンとジェームズ・グレゴリーにちなんで名付けられました）であり、 ^{[10] [11]}連続テイラー展開の離散アナログです。

これは、任意の多項式関数fと多くの（ただしすべてではない） 解析関数に対して成立します。（ fが指数型 のときは成立しません。これは、正弦関数が の整数倍で消えることから簡単にわかります。この場合、すべての有限差分がゼロなので、対応するニュートン級数も常にゼロです。しかし、明らかに、正弦関数はゼロではありません。）ここで、式 は 二項係数、 は 「下降階乗」または「下降階乗」であり、空の積( x ) _{0は 1 と定義されています。この特定のケースでは、以下の一般化の}x、h = 1の値の変化に対して単位ステップの仮定があります。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$$${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$

この結果がテイラーの定理と形式的に対応していることに注目してください。歴史的に、これはチュー・ヴァンデルモンドの恒等式 （それから導かれ、二項定理に対応する）とともに、陰影 計算の体系へと成熟した観察に含まれています。 $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$

ニュートン級数展開は、量子スピン（ホルスタイン-プリマコフ変換を参照）、ボゾン演算子関数、離散計数統計などの離散量に適用する場合、テイラー級数展開よりも優れている場合があります。 ^[12]

ニュートンの公式を実際にどのように使用するかを説明するために、フィボナッチ数列 f = 2, 2, 4, ...の最初の数項を 2 倍にしたときのことを考えてみましょう。まず差分表を計算し、次にx ₀ (下線部) に対応する差分を次のように式に代入することで、これらの値を再現する多項式を見つけることができます。 $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

xの値が一様でないステップの場合、ニュートンは差商、 積の 級数を計算し、 結果として得られる多項式はスカラー積である、^[13]$${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$$${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ $${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

p進数の解析では、マーラーの定理によれば、 fが多項式関数であるという仮定は、fが単に連続であるという仮定まで弱められる可能性がある。

カールソンの定理は、ニュートン級数が存在する場合、それが一意となるための必要かつ十分な条件を提供します。ただし、ニュートン級数は一般には存在しません。

ニュートン級数は、スターリング級数やセルバーグ級数とともに、一般差分級数の特殊なケースであり、これらはすべて適切にスケールされた前進差分によって定義されます。

圧縮され、やや一般的な形式と等距離ノードでは、式は次のようになります。 $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

前進差分は差分演算子と呼ばれる演算子として考えることができ、関数fをΔ _h [  f  ]にマッピングします。^{[14] [15]}この演算子は次のようになります。ここで、  T _hはステップhのシフト演算子で、T _h [  f  ]( x ) = f  ( x + h )で定義され 、 I は 恒等演算子です。 $${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} \ ,}$$  

高次の差分は、Δとして再帰的に定義できる。 ⁿ
_時間≡ Δ _h (Δ^{n − 1}
_時間)  。別の同等の定義はΔ ⁿ
_時間≡[T _h − I ] ⁿ  。

差分演算子Δ _hは線形演算子なので、Δ _h [  α f + β g  ]( x ) = α Δ _h [  f  ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x )を満たします 。 

これは特別なライプニッツの規則も満たします:

${\displaystyle \ \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}\ f(x)\ g(x)\ {\bigr )}\ =\ {\bigl (}\ \operatorname {\Delta } _{h}f(x)\ {\bigr )}\ g(x+h)\ +\ f(x)\ {\bigl (}\ \operatorname {\Delta } _{h}g(x)\ {\bigr )}~.}$

同様のライプニッツの規則は、後方差異と中心差異にも当てはまります。

テイラー級数をhに関して形式的に適用すると、演算子方程式が得られます 。 ここで、D は、 f をその導関数f  ′にマッピングする、従来の連続微分演算子を表します 。この展開は、両辺が解析関数に作用する場合に、十分に小さいhに対して有効です。導関数の級数が終了する特別な場合（操作される関数が有限多項式である場合）では、すべての有限ステップサイズhに対して、式は正確です。したがって、T _h = e ^{h D}であり 、指数関数を形式的に反転すると、 この式が得られます。この式は、両方の演算子を多項式に適用したときに同じ結果になるという意味で成り立ちます。 $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} \ ,}$$   $${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$

解析関数の場合でも、右側の級数は収束する保証はなく、漸近級数になることがあります。ただし、これを使用して導関数のより正確な近似値を得ることができます。たとえば、級数の最初の 2 つの項を保持すると、セクション§ 高次差分の最後で説明したf  ′( x )の 2 次近似値が得られます。

後方差分演算子と中心差分演算子の類似の式は、 $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

差分法は組合せ論の暗黒計算と関連している。この驚くほど体系的な対応は、暗黒量の交換子が連続量（h → 0の極限）と等価であることによる。

関数  f  ( x )を含む標準的な微分積分​​の形式的な微分関係の多く  は、f  ( x Tを含む暗黒差分類似物に体系的にマッピングされます。 ⁻¹
_時間)  。

たとえば、単項式x ⁿの陰影類似体は、上記の下降階乗 (ポッホハマーの k 記号) の一般化である ため 、 上記のニュートン補間式 (任意の関数  f  ( x )の展開で係数を  そのような記号に一致させることによって) などとなります。 $${\displaystyle \ (x)_{n}\equiv \left(\ x\ \operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)\ h{\bigr )}\ ,}$$$${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n\ (x)_{n-1}\ ,}$$

例えば、陰影正弦は $${\displaystyle \ \sin \left(x\ \operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots \ }$$

連続体極限と同様に、 ⁠の固有関数は  Δ_時間/h⁠ は  指数関数でもあるので、

${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}\ ,}$

したがって、連続関数のフーリエ和は、暗部フーリエ和に容易に忠実にマッピングされ、つまり、これらの暗部基底指数を乗じた同じフーリエ係数を含む。^{[16]この暗部指数は、したがって、}ポッホハマー記号の指数生成関数に相当する。

例えば、ディラックのデルタ関数は、その対応する基数 正弦関数などにマッピングされます 。^[17]差分方程式は、微分方程式を解くのと非常によく似た手法で解くことができることがよくあります。 $${\displaystyle \ \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}}\ ,}$$

前進差分演算子の逆演算子、つまり陰積分は、不定和または反差分演算子です。

導関数を求める規則と同様に、次のようになります。

• 定数ルール: cが定数の場合、$${\displaystyle \ \Delta c=0\ }$$
• 直線性： aとbが定数の場合、$${\displaystyle \ \Delta (a\ f+b\ g)=a\ \Delta f+b\ \Delta g\ }$$

上記の規則はすべて、 δと∇ を含むΔに関する任意の差分演算子に等しく適用されます 。 

• 製品ルール:$${\displaystyle {\begin{aligned}\ \Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\ \end{aligned}}}$$
• 商の法則：または$${\displaystyle \ \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)}$$$${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}\ }$$
• 合計規則:$${\displaystyle {\begin{aligned}\ \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\ \end{aligned}}}$$

参考文献を参照。^{[18] [19] [20] [21]}

• 一般化された差分は通常、次のように定義されます。ここで、μ = ( μ ₀ , …, μ _N )は係数ベクトルです。無限差分はさらに一般化されたもので、上記の有限和が無限級数に置き換えられます。一般化のもう 1 つの方法は、係数μ _{k を}点xに依存させることです。μ _k = μ _k ( x ) 。これにより、重み付き差分が考慮されます。また、ステップh を点xに依存させることもできます。h = h ( x ) 。このような一般化は、異なる連続性係数を構成するのに役立ちます。$${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$
• 一般化された差分は多項式環R [ T _h ]として見ることができ、差分代数につながります。
• 差分演算子は、半順序集合上のメビウス反転に一般化されます。
• 畳み込み演算子として:接続代数の形式論により、差分演算子やその他のメビウス反転は、メビウス関数μと呼ばれるポセット上の関数との畳み込みによって表すことができます。差分演算子の場合、μはシーケンス(1, −1, 0, 0, 0, …)です。

有限差分は、複数の変数で考えることができます。これは、複数の変数での偏微分に類似しています。

いくつかの偏微分近似は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

あるいは、 fの計算が 最もコストのかかるステップであり、1次導関数と2次導関数の両方を計算する必要があるアプリケーションの場合、最後のケースのより効率的な式は次の ようになります。これは、前の4つの式でまだ必要とされていない計算対象の値がf  ( x + h , y + k ) とf  ( x − h , y − k )だけであるためです。 $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$