多項式定理

数学において、多項式定理は、和の累乗をその和に含まれる項の累乗で展開する方法を説明します。これは、二項式定理を二項式から多項式に一般化したものです。

任意の正の整数mと任意の非負の整数nについて、多項式定理はm項の和 がn乗されたときにどのように拡張されるかを記述します。 ここで は 多項式係数 です。この和は、すべてのk _iの合計がnとなるような、非負の整数インデックスk ₁からk _mまでのすべての組み合わせにわたって取られます。つまり、展開の各項について、x _iの指数はnになる必要があります。^{[1] [a]}$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n\\k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0\end{array}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}$$$${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$

m = 2の場合、この命題は二項定理の命題に帰着する。^[1]

三項式a + b + cの 3 乗は次のように与えられます。 これは、加算に対する乗算の​​分配法則と同類項の結合を使用して手動で計算できますが、多項式定理を使用して (おそらくより簡単に) 行うこともできます。多項式係数の公式を使用して、項から多項式係数を「読み取る」ことができます。たとえば、項 には係数 があり、項 には係数などです。 $${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$$${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3}$${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6}$

定理の記述は、多重インデックスを使用して簡潔に記述できます。

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}$

どこ

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$

そして

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}}$

この多項式定理の証明では、二項式定理とmに対する帰納法を使用します。

まず、m = 1の場合、和にはk ₁ = nという項が 1 つだけあるため、両辺はx ₁ ⁿに等しくなります。帰納法のステップでは、 mに対して多項式定理が成り立つと仮定します。すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}}$

帰納仮説によって。最後の因子に二項定理を適用すると、

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

これで帰納法は完了です。最後のステップは、

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}$

次のように 3 つの係数を階乗で表すと簡単にわかります。

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}$

数字

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}$

定理に現れるのは多項式係数である。これらは、二項式係数や階乗の積など、さまざまな方法で表現できる。

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}}$

多項式定理に すべてのiについてx _i = 1を代入すると、

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}$

すぐにそれを与える

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.}$

多項式和の項の数# _{n , m}は、変数x ₁ , …, x _mの次数nの単項式の数に等しい。

${\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}$

星と棒の方式を使用すると、簡単にカウントできます。

多項式係数を割り切る素数pの最大累乗は、クンマーの定理の一般化を使用して計算できます。

スターリング近似、または同等の対数ガンマ関数の漸近展開により、例えば、$${\displaystyle \log {\binom {kn}{n,n,\cdots ,n}}=kn\log(k)+{\frac {1}{2}}\left(\log(k)-(k-1)\log(2\pi n)\right)-{\frac {k^{2}-1}{12kn}}+{\frac {k^{4}-1}{360k^{3}n^{3}}}-{\frac {k^{6}-1}{1260k^{5}n^{5}}}+O\left({\frac {1}{n^{6}}}\right)}$$$${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$$

多項式係数は、 n個の異なるオブジェクトをm個の異なるビンに配置する方法の数として、直接的な組み合わせ解釈が可能です。最初のビンにはk1_{個のオブジェクト、2番目のビンには}k2_個のオブジェクト、というように配置します。^[2]

統計力学と組合せ論では、ラベルの数分布がある場合、多項係数は二項係数から自然に生じます。 合計N個の項目のセットの数分布{ n _i }が与えられた場合、n _{i は}ラベルiが付与される項目の数を表します。(統計力学では、i はエネルギー状態のラベルです。)

配置の数は次のように求められる。

• 合計Nのうちn _{1 を}選択して1 とラベル付けします。これは、次の方法で実行できます。${\displaystyle {\tbinom {N}{n_{1}}}}$
• 残りのN − n _{1 個の}項目からn _{2 個}を選択して2 にラベルを付けます。これは次の方法で実行できます。${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}}{n_{2}}}}$
• 残りのN − n ₁ − n _{2個の項目から}n _{3 個}を選択して3 にラベルを付けます。これも、複数の方法で実行できます。${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}}$

各ステップで選択肢の数を掛け合わせると、次のようになります。

${\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .}$

キャンセルの結果は上記の式になります。

多項係数

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}$

は、n個の要素からなる多重集合を並べ替える異なる方法の数でもあります。ここで、 k _{i は}i番目の要素のそれぞれの多重度です。たとえば、MISSISSIPPI という単語には、1 つの M、4 つの I、4 つの S、2 つの P があり、その文字の異なる並べ替えの数は、

${\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}$

多項式定理を使用すると、パスカルの三角形またはパスカルのピラミッドをパスカルの単体に一般化できます。これにより、多項式係数の参照テーブルをすばやく生成できます。

• 多項分布
• 星と棒（組み合わせ論）