Loading article…
数学において、カテゴリ Ord は、順序付き集合をオブジェクトとして、順序保存関数を射として持ちます。2 つの順序保存関数の合成が順序保存であり、恒等写像が順序保存であるため、これはカテゴリです。Ordは異なる特性を持つカテゴリですが、順序付き群のカテゴリOrdGrpはより複雑な図を提示しますが、それでも両方とも順序付き接続を意味します。[1]
空集合（順序付き集合としてみなされる）はOrdの初期オブジェクトであり、終端オブジェクトはまさに単一の順序付き集合です。したがって、 Ordにはゼロオブジェクトは存在しません。
Ordにおけるカテゴリカル積は、直積における積順序によって与えられます。
忘却関手 Ord → Setがあり、これは各順序付きセットに基礎セットを割り当て、各順序保存関数に基礎関数 を割り当てます。この関手は忠実であるため、Ord は具体的なカテゴリです。この関手には、左随伴関数(すべてのセットを等式関係を備えたセットに送る) と右随伴関数 (すべてのセットを全関係を備えたセットに送る) があります。
2カテゴリ構造
2 つの前順序間の射 (順序保存関数) の集合は、実際には集合よりも構造化されています。点ごとの関係によって、それ自体を前順序集合にすることができます。
- ( f ≤ g ) ≡ ( ∀ x f ( x ) ≤ g ( x ))
この順序付き集合は、今度はカテゴリとして考えることができ、Ord は2 カテゴリになります(2 カテゴリの追加公理は、平行射の任意の方程式が位置カテゴリで真であるため、自明に成り立ちます)。
この 2 カテゴリー構造では、カテゴリーCからOrdへの擬似関数Fは 2 関数と同じデータで与えられますが、緩和された特性を持ちます。
- ∀ x ∈ F( A )、F( id A )( x ) ≃ x、
- ∀ x ∈ F( A )、F( g ∘ f )( x ) ≃ F( g )(F( f )( x ))、
ここでx ≃ y はx ≤ yかつy ≤ xを意味します。
参照
参考文献
- ^ クレメンティーノ、マリア・マヌエル;マルティンス・フェレイラ、ネルソン。モントリ、アンドレア（2019年10月1日）。 「事前順序付けされたグループのカテゴリカルな動作について」。純粋代数と応用代数のジャーナル。 4226–4245ページ。土井：10.1016/j.jpaa.2019.01.006。