リスクフリー債券

リスクフリー債券とは、利息と元本が確実に返済される理論上の債券です。その利回りはリスクフリー金利となります。これは、経済状況に関わらず常に1単位の利払いが行われる主要な証券です。${\displaystyle t+1}$したがって、どのような状態になってもその収益は同じである。つまり、投資家はそのような資産に投資してもリスクを負わない。

実際には、財政的に安定した国の国債はリスクフリー債券として扱われます。なぜなら、政府は税金を徴収したり、実際に紙幣を印刷して国内通貨の債務を返済することができるからです。^{[ 1 ]}

例えば、米国財務省証券や米国財務省債券は、リスクフリー債券とみなされることが多い。^{[ 2 ]}米国財務省証券の投資家は実際にはわずかな信用リスクに直面するものの、^{[ 3 ]}このリスクは無視できる程度とみなされることが多い。この信用リスクの一例として、 1998年のロシア金融危機で国内債務のデフォルトを起こしたロシアが挙げられる。

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金融文献では、オプションと原資産となる株式を含む、継続的にリバランスされるリスクフリーポートフォリオを導入することで、ブラック・ショールズ式を導出することが一般的である。裁定取引が存在しない場合、このようなポートフォリオからの収益は、リスクフリー債券の収益と一致する必要がある。この性質から、オプションの裁定価格が満たすブラック・ショールズ偏微分方程式が得られる。しかしながら、リスクフリーポートフォリオは自己資金調達戦略の正式な定義を満たしていないため、このブラック・ショールズ式の導出方法は欠陥があるように思われる。

本稿では、取引は時間的に連続的に行われ、資金の貸借は一定の金利で無制限に行えることを前提とする。さらに、市場は摩擦がなく、取引コストや税金は存在せず、空売りに対する差別もない。つまり、完全市場のケースを扱う。

短期金利が${\displaystyle r}$取引期間全体にわたって一定（ただし必ずしも非負とは限らない）である${\displaystyle [0,T^{*}]}$リスクフリー証券は、以下の率で継続的に複利的に価値が増加すると想定される。${\displaystyle r}$つまり、${\displaystyle dB_{t}=rB_{t}~dt}$我々は、通常の慣例に従って、${\displaystyle B_{0}=1}$価格は${\displaystyle B_{t}=e^{rt}}$すべての${\displaystyle t\in [0,T^{*}]}$ブラック・ショールズ・モデルを扱う場合、貯蓄口座をリスクフリー債券に置き換えることも可能です。満期が時点の単位ゼロクーポン債は、${\displaystyle T}$所定の日付に保有者に対して1単位の現金を支払う証券である。${\displaystyle T}$ 将来、債券の満期日として知られる日。${\displaystyle B(t,T)}$当時の価格を保証${\displaystyle t\in [0,T]}$満期を迎える債券${\displaystyle T}$1 回のペイオフを複製するには、${\displaystyle T}$投資するだけで十分です${\displaystyle B_{t}/B_{T}}$当時の現金単位${\displaystyle t}$貯蓄口座に${\displaystyle B}$これは、裁定取引の機会がない場合、債券価格が以下の条件を満たすことを示している。

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(Tt)}~~~,~~~\forall t\in [0,T]~.}$

任意の固定Tに対して、債券価格は常微分方程式を満たすことに注意してください。

${\displaystyle dB(t,T)=rB(t,T)dt~~~,~~~B(0,T)=e^{-rT}~.}$

ここで想定するのはリスクフリー債券であり、これは発行体が満期日に債券保有者に対して額面金額を支払う義務を履行しないことを意味する。

無リスク債券は、2つのアロー・ドブルー証券からなるポートフォリオで再現できます。このポートフォリオは、どの状態であっても1単位を支払うため、無リスク債券のペイオフと完全に一致します。これは、ポートフォリオの価格が無リスク債券の価格と異なる場合、経済に裁定取引の機会が存在するためです。裁定取引の機会が存在するということは、何らかの取引戦略によってリスクなしで利益を得られることを意味します。この場合、アロー・ドブルー証券のポートフォリオの価格が無リスク債券の価格と異なる場合、裁定取引戦略は、価格の低い方を購入し、価格の高い方を空売りすることです。それぞれのペイオフプロファイルがまったく同じであるため、この取引では純リスクはゼロになります（同じペイオフプロファイルを持つ証券を同量で売買しているため、一方のリスクが他方のリスクを相殺します）。しかし、低価格で購入し高価格で売却するため、利益を得ることができます。経済において裁定取引条件は存在し得ないため、リスクフリー債券の価格はポートフォリオの価格と等しくなります。^{[ 5 ]}

出典：^{[ 5 ]}

この計算はアロー・ドブルー証券に関連しています。時刻におけるリスクフリー債券の価格を としましょう。${\displaystyle t}$として${\displaystyle P(t,t+1)}$.${\displaystyle t+1}$これは、債券が満期を迎える時点を指します。${\displaystyle t+1}$前述のとおり、リスクフリー債券は、2 つの Arrow-Debreu 証券、1 つの株式、${\displaystyle A(1)}$そして1株${\displaystyle A(2)}$。

価格の公式を使用して ${\displaystyle n}$アロー・ドブルー証券

${\displaystyle A(k)=p_{k}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}},~~~~~k=1,\dots ,n}$

これは、異時点間の限界代替率（時間経過に伴う限界効用の比率であり、状態価格密度および価格カーネルとも呼ばれる）の比率と、アロー・ドブルー証券が1単位のペイオフをもたらす状態が発生する確率の積である。ポートフォリオの価格は単純に

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}{u^{\prime }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(2))}{u^{\prime }(C_{t})}}}$

${\displaystyle P(t,t+1)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

したがって、リスクフリー債券の価格は、確率測度に関して取られた期待値にすぎない。${\displaystyle \mathbb {P} =\{p_{1},p_{2}\}}$異時点間限界代替率の。金利${\displaystyle r}$は、債券価格の逆数を用いて定義されるようになった。

${\displaystyle 1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}}$

したがって、基本的な関係は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{1+r}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

それは、あらゆる経済における金利を定義するものである。

状態 1 が発生する確率は 1/4、状態 2 が発生する確率は3/4 であると仮定します。また、価格設定カーネルは状態 1 に対して 0.95、状態 2 に対して 0.92 であると仮定します。 ^{[ 5 ]}

価格設定カーネルを次のように表す。${\displaystyle U_{k}}$すると、2つのアロー・ドブルー証券が得られます。${\displaystyle A(1),~A(2)}$パラメータ付き

${\displaystyle p_{1}=1/4~~,~~U_{1}=0.95~,}$

${\displaystyle p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0.92~.}$

そして、前述の式を用いて債券価格を計算できます。

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0.95+3/4\cdot 0.92=0.9275~.}$

金利は次のように表されます。

${\displaystyle r={\frac {1}{P(t,t+1)}}-1={\frac {1}{0.9275}}-1=7.82\%~.}$

このように、アロー・ドブルー価格の集合、すなわちアロー・ドブルー証券の価格が分かれば、債券の価格設定と金利の決定は簡単に行えることが分かる。

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