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無限分割可能性は、哲学、物理学、経済学、順序理論（数学の一分野）、確率論（これも数学の一分野）など、さまざまな分野で異なる形で現れる。物質、空間、時間、お金、あるいは連続体のような抽象的な数学的対象について、無限分割可能性、あるいはその欠如について論じることができる。
西洋の伝統におけるこの考え方の起源は、紀元前5世紀に遡ることができ、古代ギリシャのソクラテス以前の哲学者デモクリトスとその師レウキッポスが、感覚で知覚できる範囲を超えて物質を分割できると理論づけ、最終的には分割不可能な原子に至るとしました。インドの哲学者マハリシ・カナダも原子論を提唱しましたが、この哲学者がいつ生きたかについては曖昧で、紀元前6世紀から2世紀の間とされています。紀元前500年頃、彼は物質（パダルタ）を分割し続けると、より小さな粒子が得られると仮定しました。最終的には、それ以上分割できない最小の粒子に遭遇する時が来るだろうと彼は考えました。彼はこれらの粒子をパルマヌと名付けました。別のインドの哲学者パクダ・カティヤヤマはこの教義を詳しく説明し、これらの粒子は通常、結合した形で存在し、さまざまな形態の物質を生み出すと述べました。[ 1 ] [ 2 ]原子論はプラトンの対話篇『ティマイオス』で考察されている。アリストテレスは長さと時間の両方が無限に分割可能であることを証明し、原子論を反駁している。[ 3 ]アンドリュー・パイルは著書『原子論とその批判』の最初の数ページで無限分割可能性について明快に説明している。そこで彼は、無限分割可能性にはリンゴのような何らかの拡張された物体が存在し、それを無限に分割できるが、点やいかなる種類の原子にも分割できないという考えが含まれることを示している。多くの哲学者は、無限分割可能性には無限の数の物体の集合（無限の分割があるため、無限の物体の集合が存在する必要がある）、または（まれに）点サイズの物体、あるいはその両方が含まれると主張している。パイルは、無限に分割可能な拡張の数学は、これらのどちらも含まない、つまり、無限の分割は存在するが、対象の集合は有限であり、点状の拡張を持たない項目に分割されることは決してないと述べている。
ゼノンの矢のパラドックスにおいて、ゼノンは、矢がひとつの瞬間にはここに静止していて、次の瞬間には別の場所に静止しているのに、どうして動くことができるのかという疑問を投げかけた。
しかし、ゼノンの推論は誤りである。彼は、等しい空間を占めるすべてのものは静止しており、運動しているものは常にそのような空間を占めているならば、飛んでいる矢は静止していると述べている。これは誤りである。なぜなら、他のいかなる量も分割不可能なものから構成されていないのと同様に、時間も分割不可能な瞬間から構成されているわけではないからである。[ 4 ]
—アリストテレス、『自然学』第6巻9章239b5
ゼノンの矢のパラドックスに関して、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは「無限の数の生成行為が有限時間内に起こり得るが、それは各生成行為が収束する系列でより小さくなる場合である」と述べている。[ 5 ]
この議論は、妥当な範囲において、次の2つの前提から矛盾を生じさせる。(i) 何かが（真実）なりつつあること、そして(ii) あらゆるなりつつある行為は、それ自体がなりつつある行為である前期と後期の部分に分割できること。例えば、1秒間のなりつつある行為を考えてみよう。この行為は2つの行為に分割でき、1つは1秒の前半、もう1つは後半である。したがって、1秒全体でなりつつあるものは、前半の半秒でなりつつあるものを前提としている。同様に、前半の半秒でなりつつあるものは、前半の四分の一秒でなりつつあるものを前提としており、以下無限に続く。したがって、問題の1秒の開始までの生成過程を考察し、その後何が起こるのかを問うならば、答えは得られない。なぜなら、私たちが示す被造物は、1秒の開始後に、かつ示された被造物に先行してなりつつある、より以前の被造物を前提としているからである。したがって、問題の1秒への移行をもたらすような、なりつつあるものは何もない。[ 5 ]
— A・N・ホワイトヘッド著『プロセスと現実』
量子力学が発見されるまでは、物質が無限に分割可能かどうかという問題と、物質を無限に小さな部分に分割できるかどうかという問題との間に区別はなかった。
その結果、文字通り「切断できない」という意味のギリシャ語átomos ( ἄτομος ) は、通常「分割できない」と訳されます。現代の原子は確かに分割可能ですが、実際には切断できません。つまり、原子の物質的な部分に対応するような空間の分割は存在しません。言い換えれば、物質の量子力学的記述は、もはや型にはまったパラダイムには適合しません。[ 6 ]これは、物質の分割可能性という古代の難問に新たな光を投げかけます。物質的対象の多重性、つまりその部分の数は、境界となる表面の存在ではなく、内部の空間的関係 (部分間の相対的な位置) に依存し、これらの関係には確定値がありません。素粒子物理学の標準モデルによれば、原子を構成する粒子(クォークと電子)は点粒子であり、空間を占めません。原子が空間を占める理由は、空間的に広がった「物質」が「空間を占有」し、それがどんどん小さな断片に分割できるからではなく、原子の内部空間関係の不確定性にある。
物理的な空間はしばしば無限に分割可能であると考えられている。つまり、空間内のどんなに小さな領域でも、さらに細かく分割できると考えられているのだ。時間も同様に無限に分割可能であると考えられている。
しかし、物理学で現在最も広く受け入れられている理論である標準模型によれば、ある距離（量子論の父の一人であるマックス・プランクにちなんで名付けられたプランク長、1.616229(38)×10 −35メートル）とそれに伴う時間間隔（真空中で光がその距離を移動するのにかかる時間、5.39116(13) × 10 −44秒、プランク時間として知られる）において標準模型が破綻すると予想されており、事実上、これが現在意味のある記述ができる最小の物理的スケールとなっている。より小さな距離における時空と素粒子の物理的挙動を予測するには、これまで相容れなかった量子力学と一般相対性理論を統一する新しい量子重力理論が必要となる。
1ドル、または1ユーロは100セントに分けられ、支払いは1セント単位でしかできません。ガソリンなどの一部の商品の価格は、1ガロンまたは1リットルあたり10分の1セント単位で設定されているのが一般的です。ガソリンが1ガロンあたり3.979ドルで、10ガロン購入する場合、「余分な」9/10セントは10倍の「余分な」9セントになるため、その場合は1セントが支払われます。お金は実数体系に基づいているという意味で無限に分割可能です。しかし、現代の硬貨は分割できません（過去には、取引ごとに硬貨の重さを量り、特に制限を意識せずに分割可能と考えられていたものもありました）。このような少額のお金は人間にとって取るに足らないため、各取引における精度は無意味です。価格が乗算されるほど、精度が重要になる可能性があります。例えば、100万株の株式を購入する場合、買い手と売り手は10分の1セントの価格差に関心を持つかもしれませんが、それはあくまで選択肢の一つに過ぎません。ビジネスにおける測定や選択に関するあらゆる事柄は、当事者の関心度に応じて同様に分割可能です。例えば、財務報告書は年次、四半期、または月次で報告される場合があります。一部の経営者は、キャッシュフロー報告書を1日に複数回作成します。
時間は無限に分割可能かもしれないが、証券価格のデータは離散的な時点で報告される。例えば、1920年代の株価記録を見ると、各日の終わりの価格は見つかるかもしれないが、午後12時47分から300分の1秒後の価格は見つからないかもしれない。しかし、理論的には、新しい方法を用いれば、報告速度を2倍にすることができ、報告速度のさらなる向上を妨げることはないだろう。逆説的ではあるが、金融市場に適用される技術的な数学は、無限に分割可能な時間を近似値として用いる方が、しばしば単純になる。そのような場合でも、作業を行うための精度が選択され、測定値はその近似値に丸められる。人間の相互作用という観点から言えば、お金と時間は分割可能であるが、それ以上分割しても意味がない点までしか分割できず、その点を正確に決定することはできない。
有理数体が無限に分割可能である（すなわち、位数が理論的に稠密である）とは、任意の2つの有理数の間に別の有理数が存在することを意味する。これに対し、整数環は無限に分割可能ではない。
無限分割性はギャップレス性を意味しません。有理数は最小上界の性質を持ちません。つまり、有理数を2つの空でない集合AとBに分割し、 Aにはある無理数（例えばπ）より小さいすべての有理数が含まれ、 Bにはそれより大きいすべての有理数が含まれるとすると、Aには最大の要素がなく、Bには最小の要素がありません。これに対し、実数体は無限分割性とギャップレス性の両方を持ちます。無限分割性とギャップレス性を持ち、かつ複数の要素を持つ線形順序集合は、非可算無限です。証明については、カントールの非可算性の最初の証明を参照してください。無限分割性だけでは無限性は意味しますが、非可算性は意味しません。有理数がその例です。
実数直線上の確率分布F が無限に分割可能であるということは、分布がFである任意の確率変数Xに対して、任意の正の整数nに対して、分布がXと等しくなるn個の独立で同一の分布を持つ確率変数X 1、 ...、X nが存在することを意味します(これらの他のn個の確率変数は通常、 Xと同じ確率分布を持ちません)。
ポアソン分布、スタッタリングポアソン分布、負の二項分布、ガンマ分布は、無限分割可能な分布の例です。正規分布、コーシー分布、および安定分布族の他のすべての分布も同様です。歪正規分布は、無限分割不可能な分布の例です。（Domínguez-MolinaおよびRocha-Arteaga（2007）を参照）。
無限に分割可能な確率分布はすべて、自然な形でレヴィ過程、すなわち定常独立増分を持つ確率過程{ X t : t ≥ 0 } に対応します（定常とは、 s < tの場合、X t − X sの確率分布がt − sのみに依存することを意味します。独立増分とは、その差が[ s , t ]と重ならない任意の区間における対応する差とは独立であり、同様に任意の有限個の区間についても同様です）。
確率分布の無限分割可能性という概念は、1929年にブルーノ・デ・フィネッティによって提唱された。
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