ホワイトノイズ分析

数学の一分野である確率論において、白色雑音解析（別名：飛田計算）は、ガウス白色雑音確率空間に基づく無限次元確率計算の枠組みであり、ウィーナー過程に基づくマリアバン計算と比較される。^{[ 1 ]}これは、飛田武之が1975年のカールトン数学講義ノートで提唱したものである。^{[ 2 ]}

ホワイトノイズという用語は、もともとスペクトルが平坦な信号に対して用いられた。

ホワイトノイズの確率尺度${\displaystyle \mu }$宇宙で${\displaystyle S'(\mathbb {R} )}$緩められた分布の特性関数は^{[ 3 ]}である。

${\displaystyle C(f)=\int _{S'(\mathbb {R} )}\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\,d\mu (\omega )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }f^{2}(t)\,dt\right),\quad f\in S(\mathbb {R} ).}$

ホワイトノイズ解析の基礎となるのはヒルベルト空間である。

${\displaystyle (L^{2}):=L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right),}$

ヒルベルト空間の一般化${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n},e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}d^{n}x)}$無限次元へ。

ホワイトノイズテスト機能を使用する

${\displaystyle \varphi _{f}(\omega ):=\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S),\quad f\in S(\mathbb {R} )}$

白色雑音分布の「T変換」を導入する${\displaystyle \Psi }$設定することで

${\displaystyle T\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi _{f}\right\rangle \!\right\rangle .}$

同様に、

${\displaystyle \phi _{f}(\omega ):=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int f^{2}(t)\,dt\right)\exp \left(-\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S)}$

白色雑音分布の「S変換」を定義する${\displaystyle \Psi }$による

${\displaystyle S\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\phi _{f}\right\rangle \!\right\rangle ,\quad f\in S(\mathbb {R} ).}$

一般化された関数については、${\displaystyle \Psi }$カーネル付き${\displaystyle \psi _{n}}$のように、 S変換は単に

${\displaystyle S\Psi (f)=\sum n!\left\langle \psi _{n},f^{\otimes n}\right\rangle .}$

ゲルファンド三重項の選択に応じて、白色雑音テスト関数と分布は、S変換またはT変換の対応する成長特性と解析特性によって特徴付けられます。^{[ 3 ] [ 4 ]}

テスト機能の場合${\displaystyle \varphi \in (S)}$偏微分や方向微分が存在する。

${\displaystyle \partial _{\eta }\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \eta )-F(\omega )}{\varepsilon }}}$

どこ${\displaystyle \omega }$任意の一般化関数によって変化する可能性がある${\displaystyle \eta }$特に、ディラック分布の場合${\displaystyle \eta =\delta _{t}}$「飛騨微分」を定義すると、

${\displaystyle \partial _{t}\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \delta _{t})-F(\omega )}{\varepsilon }}.}$

ガウス積分を部分的に行うと、分布空間上の双対演算子が得られる。

$${\displaystyle \partial _{t}^{\ast }=-\partial _{t}+\omega (t)}$$

無限次元勾配

${\displaystyle \nabla$ :(S)\rightarrow L^{2}(R,dt)\otimes (S)}

は

${\displaystyle \nabla F(t,\omega )=\partial _{t}F(\omega ).}$

ラプラシアン${\displaystyle \triangle }$（「ラプラス・ベルトラミ演算子」）

${\displaystyle -\triangle =\int dt\;\partial _{t}^{\ast }\partial _{t}\geq 0}$

は無限次元解析において重要な役割を果たし、フォック空間数演算子の像である。

適切な族に対して、確率積分であるヒツダ・スコロホッド積分を定義することができる。${\displaystyle \Psi (t)}$白色雑音分布のペティス積分

${\displaystyle \int \partial _{t}^{\ast }\Psi (t)\,dt\in (S)^{\ast },}$

適応被積分関数を超えて伊藤積分を一般化する。

一般的に、ホワイトノイズ解析には、応用において顕著な特徴が 2 つあります。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

まず、ホワイトノイズは、各時点で独立した値を持つ一般化された確率過程です。 ^{[ 12 ]}したがって、さまざまな文脈で、たとえば工学や数理ファイナンスで発生するより一般的なプロセスをホワイトノイズの観点から表現することが有益であるという意味で、独立座標の一般化されたシステムの役割を果たします。^{[ 13 ] [ 9 ] [ 10 ]}

第二に、上述の特性化定理により、様々な経験的表現を白色雑音の一般化関数として識別することが可能になります。これは、いわゆる「関数積分」に明確な数学的意味を与える上で特に有効です。特にファインマン積分は、多くの量子力学モデルに対して厳密な意味を与えられています。

この理論の非可換拡張は量子白色雑音という名のもとに発展し、最終的に、白色雑音の特性関数の回転不変性は、無限次元回転群の表現のための枠組みを提供する。