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数学の圏論の分野では、集合の圏（Setで表される）は、対象が集合である圏である。集合AとBの間の矢印または射は、 AからBへの関数であり、射の合成は関数の合成である。
他の多くの圏（例えば、群準同型を矢印とする群の圏など）は、集合の圏の対象に構造を追加したり、矢印を特定の種類の関数に制限したりします（あるいはその両方）。
集合は、関数の合成が結合法則を満たすこと、およびすべての集合X が関数合成の単位元として機能する恒等関数id X : X → Xを持つことから、カテゴリの公理を満たします。
Setにおける全射準同型写像は全射写像であり、単射準同型写像は単射写像であり、同型写像は全単射写像である。
空集合は、空の関数を射とするSetの初期オブジェクトとして機能します。すべてのシングルトンは終端オブジェクトであり、関数はソース集合のすべての要素を単一のターゲット要素に写像する射として機能します。したがって、 Setにはゼロオブジェクトは存在しません。
カテゴリーSet は完全かつ余完全です。このカテゴリーの積は、集合の直積によって与えられます。余積は、互いに素な和集合によって与えられます。つまり、あるインデックス集合I 上の iが与えられたとき、余積はA i × { i }の和集合として構成されます( iとの直積は、すべての構成要素が互いに素であることを保証します)。
集合は具体的なカテゴリーの原型であり、他のカテゴリーは、何らかの明確な方法で集合を「基盤として構築」されている場合に具体的なカテゴリーとなる。
2要素の集合はすべて、Setにおける部分対象分類子として機能します。集合Aの冪対象は、その冪集合によって与えられ、集合AとBの指数対象は、 AからBへのすべての関数の集合によって与えられます。したがって、Setは初等トポスであり(特にBarr の意味でデカルト閉かつ完全です)、実際、一点位相空間上に層化された の圏であるグロタンディーク・トポスの代表的な例です。
空でないすべての集合は、集合Setにおける単射対象である。すべての集合は、集合Setにおける射影対象である（選択公理を仮定する）。
Setにおける有限表現可能な対象は有限集合である。すべての集合はその有限部分集合の直接極限であるため、圏Set は局所的に有限表現可能な圏である。
Cが任意の圏である場合、 CからSetへの反変関手はしばしば重要な研究対象となります。A が C の対象である場合、XをHom C ( X , A ) (C における X から A への射の集合) に送るCからSetへの関手は、そのような関手の一例です。Cが小さな圏(すなわち、その対象の集合が集合を形成する)である場合、 CからSetへの反変関手は、射としての自然変換とともに、C上の前層の圏として知られる新しい圏、関手圏を形成します。
ツェルメロ＝フレンケル集合論では、すべての集合の集合は集合ではありません。これは基礎公理から導かれます。集合ではない集合の集合は、固有クラスと呼ばれます。固有クラスは集合のように扱うことはできません。特に、これらの固有クラスが集合（集合または固有クラス）に属すると書くことはできません。これは、この設定では集合の圏を直接形式化できないことを意味するため、問題となります。集合のような、対象の集合が固有クラスを形成する圏は、対象が集合を形成する小さな圏と区別するために、大きな圏として知られています。
この問題を解決する一つの方法は、NBG集合論のように、適切なクラスに形式的な地位を与えるシステムで作業することです。この設定では、集合から形成されるカテゴリは小さいカテゴリと呼ばれ、（Setのように）適切なクラスから形成されるカテゴリは大きいカテゴリと呼ばれます。
別の解決策は、グロタンディーク宇宙の存在を仮定することです。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは、それ自体が ZF(C) のモデルである集合です (例えば、ある集合が宇宙に属する場合、その要素と冪集合も宇宙に属します)。グロタンディーク宇宙の存在 (空集合と集合を除く)すべての遺伝的に有限な集合の集合）は、通常の ZF 公理では暗示されません。これは、強く到達不可能な基数の存在とほぼ同等の、追加の独立した公理です。この追加の公理を仮定すると、Setの対象を特定の宇宙の要素に限定することができます。（このモデルには「すべての集合の集合」はありませんが、すべての内部集合のクラスU、つまりUの要素について推論することは可能です。）
このスキームの変形の一つでは、集合のクラスは、グロタンディーク宇宙の塔全体の和集合です。（これは必然的に適切なクラスですが、各グロタンディーク宇宙は、より大きなグロタンディーク宇宙の要素であるため、集合です。）しかし、「すべての集合のカテゴリ」を直接扱うことはありません。代わりに、定理は、十分に大きなグロタンディーク宇宙Uの要素を対象とするカテゴリSet Uの観点から表現され、 Uの特定の選択に依存しないことが示されます。カテゴリ理論の基礎として、このアプローチは、適切なクラスについて直接推論できないタルスキー-グロタンディーク集合論のようなシステムに適しています。主な欠点は、定理がすべてのSet Uに対しては真であっても、Setに対しては真ではない可能性があることです。
