実数の構成

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$は加算と乗算の対象となる体です。言い換えれば、
   • すべてのx、y、zについて${\displaystyle \mathbb {R} }$x + ( y + z ) = ( x + y ) + zおよびx × ( y × z ) = ( x × y ) × z。（加法と乗法の結合法則）
   • すべてのxとyについて${\displaystyle \mathbb {R} }$x + y = y + xおよびx × y = y × x。（加法と乗法の交換法則）
   • すべてのx、y、zについて${\displaystyle \mathbb {R} }$、x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) 。（乗法の加算に対する分配法則）
   • すべてのxに対して${\displaystyle \mathbb {R} }$、x + 0 = x 。（加法単位元の存在）
   • 0 は 1 と等しくなく、すべてのxに対して${\displaystyle \mathbb {R} }$、x × 1 = x。（乗法単位元の存在）
   • すべてのxに対して${\displaystyle \mathbb {R} }$要素− xが存在する${\displaystyle \mathbb {R} }$、 x + ( − x ) = 0となる。（加法逆元の存在）
   • すべてのx ≠ 0に対して${\displaystyle \mathbb {R} }$、要素x ^{− 1}が存在する${\displaystyle \mathbb {R} }$、 x × x ^{− 1} = 1となる。（乗法逆元の存在）
2. ${\displaystyle \mathbb {R} }$完全に注文済み${\displaystyle \leq }$。 言い換えると、
   • すべてのxに対して${\displaystyle \mathbb {R} }$、x ≤ x。（反射律）
   • すべてのxとyについて${\displaystyle \mathbb {R} }$x ≤ yかつy ≤ xならば、x = yとなる。（反対称性）
   • すべてのx、y、zについて${\displaystyle \mathbb {R} }$x ≤ yかつy ≤ zならば、x ≤ zである。（推移律）
   • すべてのxとyについて${\displaystyle \mathbb {R} }$、x ≤ yまたはy ≤ x。（全体）
3. 加算と乗算は順序と互換性があります。言い換えれば、
   • すべてのx、y、zについて${\displaystyle \mathbb {R} }$x ≤ yならば、 x + z ≤ y + zとなる。（加法における順序の保持）
   • すべてのxとyについて${\displaystyle \mathbb {R} }$0 ≤ xかつ 0 ≤ yの場合、0 ≤ x × yが成り立つ（乗算における順序の保持）。
4. 順序 ≤ は次の意味で完全である: 空でないすべての部分集合${\displaystyle \mathbb {R} }$上に制限されているものは、最小上界を持つ。言い換えれば、
   • Aが空でない部分集合である場合${\displaystyle \mathbb {R} }$、 Aに上限がある場合${\displaystyle \mathbb {R} ,}$すると、A には最小上界uが存在し、 Aの任意の上界vに対してu ≤ vが成り立つ。

実数とその算術の別の総合的公理化は、アルフレッド・タルスキによって与えられ、以下に示す8 つの公理と、実数と呼ばれる集合、すなわち 4 つの基本的な概念のみから構成されています。${\displaystyle \mathbb {R} }$二項関係${\displaystyle \mathbb {R} }$順序と呼ばれるもので、中置演算子< で表され、二項演算である。${\displaystyle \mathbb {R} }$加算と呼ばれ、中置演算子 + と定数 1 で表されます。

順序の公理（基本公理：${\displaystyle \mathbb {R} }$、<):

公理 1 . x < yならば、y < xではない。つまり、「<」は非対称関係である。

公理2．x <  zならば、x < yかつy < zとなるyが存在する。言い換えれば、「<」は稠密である。     ${\displaystyle \mathbb {R} }$。

公理 3 . "<" はデデキント完全である。より厳密には、すべてのX、Y ⊆に対して   ${\displaystyle \mathbb {R} }$すべてのx  ∈ Xおよびy ∈ Yに対してx < yならば、すべてのx ∈ Xおよびy ∈ Yに対して、z ≠ xかつz ≠ yならばx < zかつz < yとなるようなz が存在する。                 

上記の記述をもう少し明確にするために、X  ⊆ ${\displaystyle \mathbb {R} }$そしてY  ⊆ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ここで、私たちの目的に合った方法で、よく使われる英語の動詞を2つ定義します。

X が Y より先行するのは、すべてのx ∈ Xおよびすべてのy ∈ Yに対して、x < yである場合に限る。      

実数z がXとYを分離するのは、 x ≠ zであるすべてのx ∈ Xとy ≠ zであるすべてのy ∈ Yに対して、x < zかつz < yである場合に限る。            

公理3は次のように述べることができる。

「ある実数の集合が別の実数の集合より前に来る場合、その2つの集合を隔てる実数が少なくとも1つ存在する。」

加算の公理（基本公理：${\displaystyle \mathbb {R} }$、<、+):

公理４．x  +  ( y  + z ) = ( x + z ) + y。       

公理 5 . すべてのx、yに対して、 x + z = yとなるzが存在する。    

公理 6 . x  + y < z + wならば、x < zまたはy < w である。         

1 の公理(基本要素:${\displaystyle \mathbb {R} }$、<、+、1):

公理 7 . 1  ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$。

公理8．1 <  1  +  1  。

これらの公理は、${\displaystyle \mathbb {R} }$は、加法に関して線形順序付けられたアーベル群であり、特異要素は 1 である。${\displaystyle \mathbb {R} }$また、デデキント完全かつ可除である。

Rを有理数のコーシー列の集合とする。すなわち、数列

有理数の集合であって、任意の有理数ε > 0に対して、すべての自然数m , n > Nに対して| x _m − x _n | < εとなるような整数Nが存在する。ここで、縦棒は絶対値を表す。

コーシー数列( x _n )と( y _n )は、次のように加算および乗算できます。

2 つのコーシー数列( x _n )と( y _n )は、それらの差がゼロに近づく場合に限り同値であると呼ばれます。つまり、任意の有理数ε > 0に対して、すべての自然数n > Nに対して| x _n − y _n | < εとなるような整数Nが存在します。

これは、上記で定義された演算と互換性のある同値関係を定義し、すべての同値クラスの集合Rは、実数のすべての公理を満たすことが示されます。${\displaystyle \mathbb {Q} }$は、${\displaystyle \mathbb {R} }$有理数rをコーシー列( r , r , r , ...)の同値類と同一視することによって。

実数間の比較は、コーシー列間の次の比較を定義することによって得られます。( x _n ) ≥ ( y _n )は、 xがyと等しい場合 、またはすべての n > Nに対してx _n ≥ y _nとなるような整数Nが存在する場合に限ります。

構成上、すべての実数xは有理数のコーシー列で表されます。この表現は決して一意ではありません。x に収束するすべての有理数列は、xを表すコーシー列です。これは、同じ実数を近似するために異なる数列を使用できることが多いという観察を反映しています。^{[ 5 ]}

定義から容易に導かれない唯一の実数公理は、≤の完全性、すなわち最小上界の性質である。これは次のように証明できる。Sをの空でない部分集合とする。${\displaystyle \mathbb {R} '}$そして、U をSの上限とする。必要に応じてより大きな値を代入すれば、Uは有理数であると仮定できる。Sは空集合ではないので、 Sのあるsに対してL < sとなるような有理数L を選択できる。ここで、有理数の列( u _n )と( l _n )を次のように定義する。

u ₀ = Uおよびl ₀ = Lとします。各nについて、数 m _n = ( u _n + l _n )/2を考えます。m n が S の上限である場合、_u n +1 = m _nおよびl n ₊₁ = l _nとします_。そうでない場合は、 l _{n +1} = m _nおよびu _{n +1} = u _nとします。

これにより、2 つの有理数のコーシー列が定義され、実数l = ( l _n )およびu = ( u _n )が定義されます。 nに関する帰納法により、すべてのnに対してu _nがSの上限であり、 l n_がどのnに対してもSの上限ではないことは容易に証明できます。

したがって、uはSの上限です。これが最小上限であることを確認するには、( u _n − l _n )の極限が0であることに注目し、l = uであることを確認します。次に、b < u = lがSのより小さい上限であると仮定します。( l _n )は単調増加であるため、あるnに対してb < l _{n で}あることは容易にわかります。しかし、l _nはSの上限ではないため、bも上限ではありません。したがって、uはSの最小上限であり、≤は完全です。

通常の十進表記は、自然な方法でコーシー数列に変換できます。たとえば、表記π = 3.1415...は、 πがコーシー数列(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)の同値類であることを意味します。方程式0.999... = 1は、数列(0, 0.9, 0.99, 0.999,...)と(1, 1, 1, 1,...)が同値である、つまり、それらの差が0に収束することを示しています。

建設の利点${\displaystyle \mathbb {R} }$完成として${\displaystyle \mathbb {Q} }$この方法は、あらゆる距離空間の完成に使用できるという点です。単に、あらゆる場所で置き換えるだけで済みます。${\displaystyle |xy|}$⁠と共に⁠${\displaystyle d(x,y)}$⁠、そこで⁠${\displaystyle d}$⁠ は距離空間の距離を表します。特に、 p進数の体は、他の絶対値、 p進絶対値に関する有理数の完備化として定義できます。

順序体におけるデデキントカットとは、(A, B) の分割であり、Aは空集合ではなく下方閉集合、Bは空集合ではなく上方閉集合であり、Aには最大元が存在しない。実数は、有理数のデデキントカットとして構成することができる。^{[ 6 ] [ 7 ]}

便宜上、下のセットを取る${\displaystyle A\,}$任意のデデキントカットの代表として${\displaystyle (A,B)\,}$、 以来${\displaystyle A}$完全に決定する${\displaystyle B}$こうすることで、実数はそれより小さいすべての有理数の集合で表されると直感的に考えることができる。より詳しく言うと、実数は${\displaystyle r}$は集合の任意の部分集合である${\displaystyle {\textbf {Q}}}$以下の条件を満たす有理数: ^{[ 8 ]}

1. ${\displaystyle r}$空ではありません
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$
3. ${\displaystyle r}$下方へ閉じている。言い換えれば、すべての${\displaystyle x,y\in {\textbf {Q}}}$そのため${\displaystyle x<y}$、 もし${\displaystyle y\in r}$それから${\displaystyle x\in r}$
4. ${\displaystyle r}$最大の要素は含まれていません。言い換えれば、${\displaystyle x\in r}$すべての${\displaystyle y\in r}$、${\displaystyle y\leq x}$

• 私たちはセットを形成します${\displaystyle {\textbf {R}}}$実数のすべてのデデキント切断の集合として${\displaystyle A}$の${\displaystyle {\textbf {Q}}}$実数上の全順序を次のように定義する。${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• 我々は、有理数を実数に埋め込むことで、有理数を実数と同一視する。${\displaystyle q}$より小さい有理数の集合とともに${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$[ ^{8 ]}有理数は稠密であるため、このような集合は最大の要素を持たず、したがって上記の実数であるための条件を満たします^。
• 追加。${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$^{[ 8 ]}
• 引き算。${\displaystyle AB:=\{ab:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$どこ${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$の相対補数を表す${\displaystyle B}$で${\displaystyle {\textbf {Q}}}$、${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$
• 否定は減算の特殊なケースです。${\displaystyle -B:=\{ab:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
• 乗算を定義するのはそれほど簡単ではない。^{[ 8 ]}
  • もし${\displaystyle A,B\geq 0}$それから${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • どちらか${\displaystyle A\,}$または${\displaystyle B\,}$負の場合、恒等式を使用します${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$変換する${\displaystyle A\,}$および/または${\displaystyle B\,}$正の数に変換してから、上記の定義を適用してください。
• 分割の定義も同様に定義します。
  • もし${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ かつ }}B>0}$それから${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • どちらか${\displaystyle A\,}$または${\displaystyle B\,}$負の場合、恒等式を使用します${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$変換する${\displaystyle A\,}$非負の数および/または${\displaystyle B\,}$正の数に変換してから、上記の定義を適用します。
• 上限。空でない集合の場合${\displaystyle S}$実数の上限は${\displaystyle {\textbf {R}}}$すると、最小上界は${\displaystyle {\textbf {R}}}$それは${\displaystyle \bigcup S}$[ ^{8 ]​}

無理数を表すデデキントカットの例として、2の正の平方根を考えてみましょう。これは、集合によって定義できます。${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$[ ^{9 ]}上記の定義から^、${\displaystyle A}$は実数であり、${\displaystyle A\times A=2\,}$しかし、どちらの主張も即座には成り立たない。${\displaystyle A\,}$実在することを示す必要がある${\displaystyle A}$最大要素を持たない、つまり任意の正の有理数に対して${\displaystyle x\,}$と${\displaystyle x\times x<2\,}$合理的な理由がある${\displaystyle y\,}$と${\displaystyle x<y\,}$そして${\displaystyle y\times y<2\,.}$選択${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$動作します。それから ${\displaystyle A\times A\leq 2}$しかし、平等を示すには、もし${\displaystyle r\,}$は任意の有理数で、${\displaystyle r<2\,}$すると、プラスの${\displaystyle x\,}$で${\displaystyle A}$と${\displaystyle r<x\times x\,}$。

この構成の利点は、各実数が一意のカットに対応することです。さらに、カットの定義の最初の 2 つの要件を緩和することで、拡張実数システムは、${\displaystyle -\infty }$空集合と${\displaystyle \infty }$すべてと共に${\displaystyle {\textbf {Q}}}$。

超実数と同様に、超有理数を構成する。${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$超フィルターを用いて有理数から。^{[ 10 ]}ここで、超有理数は定義により2つの超整数 の比である。環を考える${\displaystyle B}$すべての有限要素のうち${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$。 それから${\displaystyle B}$独自の最大理想を持つ${\displaystyle I}$無限小の超有理数。商環${\displaystyle B/I}$フィールドを与える${\displaystyle \mathbb {R} }$実数の集合。^{[ 11 ]}この構成では、選択公理によって存在が保​​証される自然数の集合上の非主超フィルターを使用します。

極大イデアルは、次の順序を尊重することが判明した。${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$したがって、得られる体は順序体である。完全性は、コーシー列からの構成と同様の方法で証明できる。

順序体はすべて超現実数に埋め込むことができる。実数はアルキメデス的（つまり、実数に無限大も無限小もない）な極大部分体を形成する。この埋め込みは一意ではないが、標準的な方法で選択することができる。

あまり知られていない構成法では、整数の加法群のみを用いて実数を定義することができる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$異なるバージョンで。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} この構成をスティーブン・シャヌエルの未発表の研究に帰属させるアーサン（2004）は、この構成をエウドクソス実数と呼び、古代ギリシャの天文学者で数学者のクニドスのエウドクソスにちなんで名付けた。シェニッツァー（1987）とアーサン（2004）が指摘しているように、比例の挙動を用いたエウドクソスの量の扱いが、この構成の基礎となった。この構成は、IsarMathLibプロジェクトによって、デデキント完全順序体を与えることが正式に検証されている。 ^{[ 15 ]}

準同型写像を写像とする${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$その集合が${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$有限である（同等に、${\displaystyle f(n+m)-f(m)-f(n)}$（有界である）。（注意：${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$はすべての準同型写像である${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.) ほぼ準同型写像は、点ごとの加算に関してアーベル群を形成します。2 つのほぼ準同型写像は、${\displaystyle f,g}$セットがほぼ等しい場合${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$有限である（同等に、${\displaystyle f(n)-g(n)}$（有界である）。これは、ほぼ準同型写像の集合上の同値関係を定義します。実数は、この関係の同値類として定義されます。あるいは、有限個の値しか取らないほぼ準同型写像は部分群を形成し、実数の基礎となる加法群は商群です。このように定義された実数を加算するには、それらを表すほぼ準同型写像を加算します。実数の乗算は、ほぼ準同型写像の関数合成に対応します。${\displaystyle [f]}$は、ほぼ準同型写像によって表される実数を表す。${\displaystyle f}$私たちは言う${\displaystyle 0\leq [f]}$もし${\displaystyle f}$境界が定められているか、${\displaystyle f}$無限個の正の値をとる${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$（同等に、${\displaystyle 0<[f]}$もし${\displaystyle f}$上限はありません）。これは、このように構成された実数の集合上の線形順序関係を定義します。

ファルティンら（1975）は次のように述べている。「実数ほど多くの改訂を受け、多くの形で提示されてきた数学的構造はほとんどない。どの世代も、その価値観と数学的目標に照らして実数を再検討する。」^{[ 16 ]}

他にもいくつかの構成が、以下の者によって提案されている。

• デ・ブルーイン (1976)、デ・ブルーイン (1977)
• リーガー（1982）
• クノップマッハー&クノップマッハー (1987)、クノップマッハー&クノップマッハー (1988)

概要については、Weiss (2015)を参照のこと。

ある書評家が指摘したように、「詳細はすべて含まれているが、いつものように退屈で、あまりためにならない。」^{[ 17 ]}